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1、-离散型随机变量的期望值和方差讲义-第 3 页离散型随机变量的期望值和方差一、基本知识概要：1、 期望的定义：一般地，若离散型随机变量的分布列为x1x2x3xnPP1P2P3Pn则称E=x1P1+x2P2+x3P3+xnPn+为的数学期望或平均数、均值，简称期望。它反映了:离散型随机变量取值的平均水平。若=a+b(a、b为常数)，则也是随机变量，且E=aE+b。 E(c)= c特别地，若B(n，P)，则E=nP2、 方差、标准差定义：D=(x1-E)2P1+(x2-E)2P2+(xn-E)2Pn+称为随机变量的方差。D的算术平方根=叫做随机变量的标准差。随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量
2、取值的稳定与波动、集中与离散的程度。且有D(a+b)=a2D,可以证明D=E2- (E)2。若B(n，p)，则D=npq，其中q=1-p.3、特别注意：在计算离散型随机变量的期望和方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要准确应用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度。二、例题：例1、（1）下面说法中正确的是 （）A离散型随机变量的期望E反映了取值的概率的平均值。B离散型随机变量的方差D反映了取值的平均水平。C离散型随机变量的期望E反映了取值的平均水平。D离散型随机变量的方差D反映了取值的概率的平均值。（2）、（2001年高考题）一个袋子里装有大小相同的3个
3、红球和2个黄球，从中同时取出两个，则其中含红球个数的数学期望是 。例2、设是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求E、D101P12练习：已知的分布列为-101P(1)求E,D,，(2) 若=2+3,求E,D例3、人寿保险中（某一年龄段），在一年的保险期内，每个被保险人需交纳保险费元，被保险人意外死亡则保险公司赔付3万元，出现非意外死亡则赔付1万元，经统计此年龄段一年内意外死亡的概率是，非意外死亡的概率为，则需满足什么条件，保险公司才可能盈利？例4：把4个球随机地投入4个盒子中去，设表示空盒子的个数，求E、D例5、已知两家工厂，一年四个季度上缴利税如下：（单位：万元）季度一二三四季平均值甲厂
4、7050804060乙厂5565556560试分析两厂上缴利税状况，并予以说明。例6、(1)设随机变量具有分布列为P(=k)=(k=1，2，3，4，5，6)，求E、E(2+3)和D。(2) 设随机变量的分布列为P(=k)= (k=1，2，3，n)，求E和D。(3)一次英语测验由50道选择题构成，每道有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得3分，选错或不选均不得分，满分150分，某学生选对每一道题的概率为，求该生在这次测验中的成绩的期望与方差。三、课堂小结：1、利用离散型随机变量的方差与期望的知识，可以解决实际问题。利用所学知识分析和解决实际问题的题型，越来越成为高考的热点，应予重视。2、 常生产生活中的一些问题，我们可以转化为数学问题，借助于函数、方程、不等式、概率、统计等知识解决。同时，要提高分析问题和解决问题的能力，必须关注生产和生活。四、布置作业：教材P195页闯关训练