动力学方程拉格朗日方程.ppt
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1、1.3 拉格朗日方程,为了得到广义坐标表示的完整力学系的动力学方程 拉格朗日方程,需要先导出达朗伯拉格朗日方程。,一、达朗伯拉格朗日方程,设受完整约束的力学体系有n个质点,体系中每一个质点都 服从如下形式的牛顿运动定律,设第i个质点受主动力,受约束 反力,则,:称为达朗伯惯性力或称有效力,注意:这个达朗伯惯性力与力学中定义过的惯性力不是一个概念, 那里的惯性力是对某一非惯性系而言的,而上式中各质点的 并不相等,所以这里并不存在一个统一的非惯性系。,以 点乘上式后,再对 i 取和,得,理想约束条件下:,则,这是达朗伯原理与虚功原理的结合,称为达朗伯 拉格朗日方程,由于存在约束,各 并不彼此独立,
2、因此 不能令上式中 前面的所有乘式都等于零,否则就成为自由 质点的运动微分方程了。,二、基本形式的拉格朗日方程,现在我们从达朗伯拉格朗日方程出发,把各并不彼此 独立的坐标 用各彼此独立的广义坐标 重新表述,从而导出适用于受理想约束的完整力学系所遵守的 动力学方程拉格朗日方程。,设n个质点受k个约束,因是完整约束,体系的自由度数 应为 s3nk。以广义坐标 表出,则,代入达朗伯拉格朗日方程,上式中的两个取和号互不相关,故可以互易,则,令,则,因各 q 互相独立,所以 PQ,改写,由,令,显然 T 是体系的动能,则有,即,这就是著名的拉格朗日方程,也称基本形式的拉格朗日 方程(或称第二类拉格朗日方
3、程)。其中广义坐标 qq(t), 所以上式是以 t 为自变量的广义坐标 q 的s 个二阶常微分方程 组。只要我们能写出以为变量时体系的动能T和广义力 Q1,Q2,Qs,就可以代入上式,从而得到体系的动力学 方程组,再求解,就可得到体系的运动方程。,三、广义动量与广义力的计算,对于单个质点来说,动能对某速度分量的导数是对应的动量分量,与此类比,可以定义广义动量 p 为,注意:广义动量可以是线动量,也可以是角动量等等, 视广义坐标的选择而定。,而广义力:,广义力可以是力,也可以是力矩等,视广义坐标的选择而定。计算广义力的方法可以有两种:一种方法是从上定义式直接计算,另一种方法是从主动力所作的虚功来
4、计算。,1、从主动力所作的虚功来计算,如求Q1,令 q2 q3 q s0,则,2、从定义式直接计算,求任一广义力Q时,例3 计算一自由质点取 平面极坐标的广义力。 设质点P受力,广义坐标 q1r,q2 。与此两 广义坐标对应的广义力为 Q r 和Q 。求 Q r与Q , 用两种方法。,解 方法一:,从定义式计算。 将定义式用于极坐标,因 粒子数 n1,则,又因 x r cos,yr sin,则,可见广义力的径向分量就是的径向分量,说明 Qr 是一个力。,另外,上式括号中的第一项为 Fx 在 方向的投影,第二项 是 Fy在 方向的投影。 所以两者之和就是 在 方向的投影 F ,因此 Q r F(
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