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1、-用三垂线法求二面角的方法(新)-第 9 页用三垂线法求二面角的方法三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。已知：如图, PB是平面的斜线, PA是平面的垂线, 直线a平面,直线a垂直;射影AB.ABP求证： aPB证明：PA是平面的垂线, 直线a平面 直线aPA又直线aAB ABPA直线a平面PAB 而PB平面PAB aPB总结：定理论述了三个垂直关系，垂线PA和平面垂直;射影AB和直线a垂直;斜线PB和直线a垂直.三垂线定理揭示了一个平面和四条直线所构成的三种垂直关系的内在联系，是线面垂直的性质，在立体几何中有广泛的应用。求二面角是高考考
2、查的热点，三垂线法是求二面角最常用的方法,应用好定理的关键是实现斜线与其在面内射影垂直关系的转化，因此寻找垂线、斜线及其射影至关重要。运用三垂线法求二面角的一般步骠：作：过二面角的其中一个平面上一点作(找)另一个平面的垂线,过垂足作二面角的棱的垂线。.证：证明由所得的角是二面角的平面角(符合二面角的定义) 。求： 二面角的平面角的大小(常用面积相等关系求垂线段长度) 。ABDC1、如右图所示的四面体中，平面BCD，且，求二面角的大小；求二面角的大小；1解： 面 为二面角的平面角且=二面角的大小为面 由三垂线定理得 为二面角的平面角 平面BCD 在中，二面角的大小为方法点拨：本题的方法是直接运用
3、二面角的定义求解,本题的关键是找出垂线AB、斜线AC及其射影BC,。从而得到二面角的平面角为。22正视图侧视图2如图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为正三角形，俯视图为正方形（尺寸如图所示），E为VB的中点 求二面角AVBD的余弦值VEADBC2俯视图 2 解:取AB的中点P,连结VP、DE，则由题意可知VP平面ABCD，DAVP又 ADAB AD平面VAB 是正三角形，E为VB的中点，AEVB， 由三垂线定理得VBDE. 所以就是所求二面角的平面角.由已知得DA=2,AE=DE=故二面角AVBD的余弦值为方法点拨：本题的关键是过二面角的一个平面VBD上一点D到二面角的另一个平面A
4、VB的垂线D则斜线为DE,其射影为AE从而得到二面角的平面角为。,。.3一个三棱锥的三视图、直观图如图求二面角的正切值3 解：由正视图、俯视图知；由正视图、侧视图知，点B在平面SAC上的正投影为AC的中点D，则，平面，；由俯视图、侧视图知，点S在平面ABC上的正投影为DC的中点O，则，平面，如图作于H，作交AB于E，则，连接SE，因OE是SE在底面ABC内的射影，而，故由三垂线定理得，为二面角的平面角ABC中，易求得，由ABO的面积相等关系：，得，中，故二面角的正切值为.方法点拨：本题的难点是过二面角的一个平面SAB上一点S作二面角的另一个平面ABC的垂线SO,再过垂足O作二面角的棱AB的垂线
5、,从而得到斜线SE及其射影OE,从而得到二面角的平面角为。4如图，是以为直角的三角形，平面ABC，SCDBNASA=BC=2，AB= 4. N、D分别是AB、BC的中点。求二面角SN DA的正切值4. 解： 过A作AF DN且与DN的延长线相交于点F，连接SF平面ABC由三垂线定理得就是二面角SNDA的平面角，SCDBNFA在中,在中，故二面角SNDA的正切值为 方法点拨：本题的关键是找到从二面角的一个平面SND上一点S到二面角的另一个平面AND的垂线AF,过垂足A作二面角的棱DN的垂线AF,从而得到斜线AF及其射影AF, 从而得到二面角的平面角为。5.如图所示，圆柱底面的直径长度为，为底面圆
6、心，正三角形的一个顶点在上底面的圆周上，为圆柱的母线，的延长线交于点，的中点为.求二面角的正切值.5.解：取BC的中点K 取OC的中点N则KNF是PB的中点 FKPC为圆柱的母线平面 FK平面正三角形中，为AB的中点 由三垂线定理的逆定理得由三垂线定理得CEFN 为二面角的平面角由已知得 = ,即二面角的正切值为.方法点拨：本题的难点是找到二面角的一个平面BCE的垂线PC,则过二面角的一个平面FCE上一点F作PC的平行线FK就是二面角的另一个平面BCE的垂线,过垂足K作二面角的棱CE的垂线KN,从而得到斜线FN及其射影KN, 从而得到二面角的平面角为。BACDPF6、 如图，P-AD-C是直二
7、面角，四边形ABCD是BAD=1200的菱形，PA=AB=2，PA AD，试问在线段AB(不包括端点)上是否存在一点F，使得二面角A-PF-D的大小为450?若存在，请求出AF的长，若不存在，请说明理由6.解：设AF=x,过点D作BA延长线的垂线DH，垂足为H。PAAD，二面角P-AD-C是直二面角，BACDPFHOPA面ABCD，PADH由于DHAB，DHPA,且PAAB=A，故DH平面PAB过H作PF的垂线HO,O为垂足，再连接D0，由三垂线定理得：D0PF，所以HOD就为二面角A-PF-D的平面角。在RtADH中，求得：AH=1,DH= 在RtFHD中，FH=AF+AH=x+1,由的面积
8、相等关系得,OH=在RtHOD中，当HOD=45,则有：OH=DH,此时：，解得：x=所以,在AB上存在一点F，使得二面角A-PFD的大小为45，此时AF=.方法点拨：本题的难点是过二面角的一个平面PFD上一点D作二面角的另一个平面PAF的垂线DH,再过垂足H作二面角的棱PF的垂线DO,从而得到斜线DO及其射影OH,从而得到二面角的平面角为。ABCDS7如图，在底面是直角梯形的四棱锥ABCD中，面ABCD，SAAB，求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值7.解法一：延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱 ABCDSE，面ABCD，得面SEB面EBC，EB是交线. 又，面S
9、EB，故SB是SC在面SEB上的射影，CS，所以是所求二面角的平面角 即所求二面角的正切值为 解法二：延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱ABCDSEF 过A作AFSE，垂足为F，连结FD 面ABCD ADSA 又， ADAB而DA面SAE 由三垂线定理得：SEDF DFA是所求二面角的平面角 由已知得A为BE的中点 AE1 ，SE 由面积相等关系得 在中， 即所求二面角的正切值为解法三（提示）：取SC的中点Q，BC的中点H，连结QH、DH、DQ，则,从而平面QHD平面SBA， 所以面QHD与面SCD所成二面角的大小等于面SCD与面SBA所成二面角的大小ABCDSQH而面
10、QHD与面SCD的公共棱为QD，。 面ABCD SABC,又BC面SAB CH面QHD由已知得: SD=CD,又Q为SC的中点 由三垂线逆定理得： 所以,是面QHD与面SCD所成二面角的平面角由已知得: 在中,解法四（提示用面积投影法）：面ABCD SABC,又BC面SAB BC/AD AD面SAB C在平面SAB上的射影为B, D在平面SAB上的射影为A,面的投影面为面，设Q为S C的中点,所求二面角的大小为，则由已知得: 从而求得方法点拨：本题的难点是作二面角的公共棱,方法是先延展两个面SCD与面SBA得到公共棱SE,然后找其中一个面SBA的重线DA或CB, 方法是先平移面SBA到面HQD
11、得到公共棱QD,然后找其中一个面HQD的垂线,解法3用二面角的定义得 面QHD与面SCD所成二面角的平面角为,解法四用三垂线法得 面QHD与面SCD所成二面角的平面角为.8.（本小题满分14分）已知所在的平面互相垂直，且，求：直线AD与平面BCD所成角的大小； 直线AD与直线BC所成角的大小；二面角A-BD-C的余弦值8. 解：如图，在平面ABC内，过A作AHBC，垂足为H，所在的平面互相垂直AH平面DBC，ADH即为直线AD与平面BCD所成的角 由题设知AHB AHD，则DHBH，AH=DH，ADH 45.5分BCDH，且DH为AD在平面BCD上的射影， BCAD，故AD与BC 所成的角为9
12、0 9分过H作HRBD，垂足为R，连结AR，则由三垂线定理知，ARBD，故ARH为二面角ABDC的平面角的补角 ， 设BC=a,则由题设知，AH DH =,在HDB中，HR =a，tanARH =2故二面角ABDC的余弦值的大小为 14分9如图，在四棱锥中，为正三角形，平面，平面，为上一点，.（）求证：平面；（）当时，求二面角的正切值. 9解：（）平面，平面 而平面 平面平面 （）平面 平面平面在平面中过点做，垂足为，则有平面， ，且，过做于，则，则为二面角的平面角， 在四边形中， ，四边形为矩形=，为的中点，为的中点，在中，ABCEPDO 10. (2012广东理)如图所示，在四棱锥中，底面
13、为矩形，平面，点在线段上，平面。（1） 证明：平面；（2） 若，求二面角的正切值；10.解：（1）平面，面 平面，面 又面（2）法一：(定义法)设由（1）得：， 平面是二面角的平面角 在中， 在中， 得：二面角的正切值为法二：(三垂线法) 设由（1）得：平面,过垂足作公共棱的垂线OF,连结,则由三垂线定理得就是二面角的平面角.底面为矩形, ,易得 在中,故二面角的正切值为11 (2011广东高考题改编)（本小题满分13分）如图5，在椎体中，是边长为1的菱形，且,求二面角的大小.法一：(定义法)取的中点,连结、,为的中点是等边三角形N为的中点就是二面角的平面角.由已知得，过作交其延长线于,则即,
14、解得从而，故二面角的大小.为法二： (三垂线法)过作平面,垂足为点,连结、作于，连结，则由三垂线定理得就是就是二面角的平面角的补角，为的中点是等边三角形，、三点共线设,则即,解得在中, 所以二面角的大小.为12(2013广东高考题)（本小题满分14分）如图1,在等腰直角三角形中,分别是上的点,.COBDEACDOBE图1图2为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中.() 证明:平面；() 求二面角的平面角的余弦值.12【解析】() 在图1中,易得连结,在中,由余弦定理可得由翻折不变性可知,所以,所以,同理可证, 又,所以平面.() 传统法:过作交的延长线于,连结,因为平面,所以,所以为二面角的平面角.结合图1可知,为中点,故,从而所以,所以二面角的平面角的余弦值为.