等差数列与通项公式(18页).doc

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1、-等差数列与通项公式-第 18 页环球雅思学科教师辅导学案 辅导科目：数学 年级：高一 学科教师： 课 时 数： 3授课类型等差数列与通项公式教学目的掌握等差数列的通项公式与前n项和公式教学内容1、等差数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做这个数列的公差。即2、等差中项若成等差数列，那么叫做的等差中项。两个实数的等差中项只有一个，就是这两个数的算术平均数。3、等差数列的性质等差数列的通项公式，。当时，它是一个一次函数。等差数列的前项和公式 .，当时，它是一个二次函数，由于其常数项为零，所以其图像过原点。等差数列中，如果,

2、则,特殊地，时，则，是的等差中项。等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列。若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列S2n1(2n1)an.若n为偶数，则S偶S奇d，若n为奇数，则S奇S偶a中(中间项)若an与bn为等差数列，且前n项和分别为Sn与S，则5、知三求二等差数列有5个基本量，求解它们，多利用方程组的思想，知三求二。注意要弄准它们的值。6、特殊设法三个数成等差数列，一般设为；四个数成等差数列，一般设为。1、等差数列的判断方法：定义法或。1、设Sn是数列an的前n项和，且Sn=n2，则an是（ ）A.等比数列，但不

3、是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列设是等差数列，求证：以bn= 为通项公式的数列为等差数列。3、 等差数列的通项：或。4、 等差数列的前和：，。2、等差数列an的前n项和记为Sn，若a2a4a15的值是一个确定的常数，则数列an中也为常数的项是()AS7BS8CS13 DS153、等差数列an中，已知a1，a2a54，an33，则n为()A48 B49 C50 D51(1)等差数列中，则通项；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是_ ；4、设Sn是等差数列an的前n项和，a128，S99，则S16_.5、已知数列an为等差数列

4、，若0的n的最大值为()A11 B19C20 D21（1）数列 中，前n项和，则， ；（2）已知数列 的前n项和，求数列的前项和.5、等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。提醒：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为，（公差为）；偶数个数成等差，可设为，,（公差为2）：（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等

5、差数列，若公差，则为常数列。（3）当时,则有，特别地，当时，则有.（4）若、是等差数列，则、 (、是非零常数)、 ，也成等差数列，而成等比数列；若是等比数列，且，则是等差数列. 等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。（5）在等差数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，（这里即）；。项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数.（6） 若等差数列、的前和分别为、，且，则.设与是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么_；(7) “首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有

6、非正项之和。法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？等差数列中，问此数列前多少项和最大？并求此最大值；6、（1）设an（nN*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S6，S6S7S8，则下列结论错误的是（ ）A.d0B.a70C.S9S5D.S6与S7均为Sn的最大值（2）等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ）A.130 B.170 C.210 各种数列问题在很多情形下，就是对

7、数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。类型1 例1. 已知数列满足，求。 解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。类型2 例1:已知数列满足，求。解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例2:已知， ，求。类型3 （其中p，q均为常数，）。例:已知数列中，求.解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。在数列中，若，则该数列的通项_类型4 （其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数） 。例:已知数列中，,，求。解法：一般地，要先在原递推公式两边

8、同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。(待定系数法)：先把原递推公式转化为其中s，t满足解法一（待定系数迭加法）:数列：， ，求数列的通项公式。例:已知数列中，,，求。满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；（III）若数列满足证明是等差数列 类型6 递推公式为与的关系式。(或)例：已知数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.解法：这种类型一般利用与消去 或与消去进行求解。类型7 例:设数列：，求.解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。类型

9、8 例：已知数列中，求数列解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。类型9 例：已知数列an满足：，求数列an的通项公式。解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。类型10 例：已知数列满足性质：对于且求的通项公式. 例：已知数列满足：对于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？解法：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列。类型11 或例：（I）在数列中，求 （II）在数列中，求解法：这种类型一

10、般可转化为与是等差或等比数列求解。类型12 归纳猜想法解法：数学归纳法变式:（2006，全国II,理,22,本小题满分12分）设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1，n1，2，3，（）求a1，a2；（）an的通项公式 类型13双数列型解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。例：已知数列中，；数列中，。当时，,，求,.类型14周期型 例：若数列满足，若，则的值为_。解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。一、选择题：1有穷数列1， 23， 26， 29， ，23n6的项数是（ ） A3n7 B3n6 Cn3 Dn22已知数列的首项，且，则

11、为 （ ）A7 B15 C30 D313某数列第一项为1，并且对所有n2，nN*，数列的前n项之积n2，则这个数列的通项公式是（ ）Aan=2n1Ban=n2Can=Dan=4若an是等差数列，且a1a4a7=45，a2a5a8=39，则a3a6a9的值是（ ）A39B20D335若等差数列an的前三项为x1，x1，2x3，则这数列的通项公式为（ ）Aan=2n5B an =2n3C an =2n1Dan =2n16首项为24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（ ）AdBd3Cd3D d37等差数列an的前n项和Sn=2n2n，那么它的通项公式是（ ）Aan =2n1Ban

12、 =2n1Can =4n1Dan =4n18中，则值最小的项是 （ ）A第4项 B第5项 C第6项 D第4项或第5项9已知，则的值为 （ ）A B C D10在等差数列an中，若a3a9a15a21=8，则a12等于（ ）A1B1C2D211在等差数列an中，a3a7a10=8，a1a4=4，则S13等于（ ）A168B156C78D15212数列an的通项an =2n1，则由bn=(nN*)，所确定的数列bn的前n项和是（ ）An(n1)BC D二、填空题： 13数列1，0，1，0，1，0，1，0，的通项公式的为an= 14在1，7之间插入三个数，使它们顺次成等差数列，则这三个数分别是_ _

13、15数列 an 为等差数列，a2与a6的等差中项为5，a3与a7的等差中项为7，则数列的通项an等于_ 16、数列an为等差数列，S100=145，d=，则a1a3a5a99的值为_ _三、解答题：17已知关于x的方程x23xa=0和x23xb=0(ab)的四个根组成首项为的等差数列，求ab的值. 18在数列an中，a1=2，a17=66，通项公式是项数n的一次函数.(1)求数列an的通项公式； (2)88是否是数列an中的项.19数列an是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负.（1）求数列的公差；（2）求前n项和Sn的最大值；（3）当Sn0时，求n的最大值 20设函数，

14、数列的通项满足（1）求数列的通项公式；（2）判定数列a n 的单调性. 21已知数列an满足a1=4，an=4 (n2)，令bn=（1）求证数列bn是等差数列；（2）求数列an的通项公式. 22某公司决定给员工增加工资，提出了两个方案，让每位员工自由选择其中一种.甲方案是：公司在每年年末给每位员工增资1000元；乙方案是每半年末给每位员工增资300元.某员工分别依两种方案计算增资总额后得到下表：工作年限方案甲方案乙最终选择11000600方案甲220001200方案乙3方案甲(说明：方案的选择应以让自己获得更多增资为准. 假定员工工作年限均为整数.)（1）他这样计算增资总额，结果对吗？如果让你

15、选择，你会怎样选择增资方案？说明你的理由；（2）若保持方案甲不变，而方案乙中每半年末的增资数改为a元，问：a为何值时，方案乙总比方案甲多增资？ 每一天都是全新的一天，每一天都是进步的一天。从今天起步，在明天收获！参考答案一、选择题： CDCDB DCDBC BC二、填空题： 或an =n316、60三、解答题：17.解析：由方程x23xa=0和x23xb=0(ab)可设两方程的根分别为x1，x2和x3，x4，由x1x2=3和x3x4=3所以，x1，x3，x4，x2(或x3，x1，x2，x4)组成等差数列，由首项x1=，x1x3x4x2=6，可求公差d=，所以四项为：，ab=18.解析： (1)

16、设an=AnB，由a1=2，a17=66，得an=4n2(2)令an=88，即4n2=88得n=N*88不是数列an中的项.19.解析： (1)由已知a6=a15d=235d0，a7=a16d=236d0，解得:d，又dZ，d=4(2)d0，an是递减数列，又a60，a70当n=6时，Sn取得最大值，S6=623 (4)=78(3)Sn=23n (4)0，整理得：n(504n)00n，又nN*，所求n的最大值为12.20.解析：，又，令，则，注意到，因此， ， 即为数列的通项公式；另解：由已知得，可知数列是递增数列.注：数列是一类特殊的函数，判定数列的单调性与判定函数的单调性的方法是相同的，只

17、需比较an1与an的大小21.(1)证明： an12=2 (n1)故(n1)，即bn1bn= (n1)数列bn是等差数列.(2)解析： 是等差数列， an=2数列an的通项公式an=222.解析： (1)设根据甲方案第n次的增资额为an，则an=1000n第n年末的增资总额为Tn=500n(n1)根据乙方案，第n次的增资额为bn，则bn=300n第n年末的增资总额为S2n=300n(2n1)T1=1000，S2=900，T1S2只工作一年选择甲方案T2=3000，S4=3000，T2=S4当n3时，TnS2n，因此工作两年或两年以上选择乙方案.(2)要使Tn=500n(n1)，S2n=an(2n1)S2nTn对一切nN*都成立即a500可知500为递减数列，当n=1时取到最大值.则a500= (元)，即当a时，方案乙总比方案甲多增资.