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1、-正余弦定理的综合运用-第 9 页正余弦定理的综合运用一、教材分析教学内容：必修5第节正弦定理和余弦定理，根据课标要求本书该节共3课时，这是第3课时，其主要内容是正余弦定理的综合运用。地位作用：高考考纲要求：掌握正余弦定理，并能够运用正余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。高考考查趋势：斜三角形的边角关系以选择题或填空题给出一小题或难度较小的解答题。二、学生学习情况分析学生在学习本节之前已经分别学习过正弦定理和余弦定理，但学生只是停留在对正弦定理和余弦定理的初步认知阶段，对什么情况下用正弦定理、什么情况下用正弦定理未作进一步的研究，对三角形的边角互换未作进一步的探索。另外
2、高二学生经过了一年半的高中学习之后，已初步具有了发现和探究问题的能力，这为本节学习奠定了一定的基础。三、教学过程（一）课前预习导学1学习目标（1）、进一步熟悉正余弦定理内容，并能运用定理解决一些简单的实际问题。（2）、通过正余弦定理综合运用的学习，提高解决实际问题的能力，进一步体会转化化归的数学思想。（3）、通过一题多解、一题多变的训练，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功。2教学重点和难点：（1）教学重点：利用正余弦定理进行边角互换。（2）教学难点：利用正余弦定理进行边角互换时的转化方向。3教学方法：探析归纳，讲练结合4自主预习（1）知识梳理：正弦定理：（
3、R为的外接圆半经）正弦定理常见变形公式：边化角：角化边：比例：余弦定理：余弦定理常见变形公式：求角、判别角、边角互化（2）预习检测：1在ABC中，已知，则【2012陕西文】在中，角A,B,C所对应的长分别为，若 ，则 3在中，若，则4在ABC中，,则三角形为（ ） A、直角三角形 B、锐角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形（二）预习检测反缋1在ABC中，已知，则解：由正弦定理得小结：已知两角及其中一个角的对边，选用正弦定理.变式：在ABC中，已知，则解：由正弦定理得， ， 或.或.小结：已知两边和一边对角，用正弦定理求另一个角，但需要进行讨论，有两解的可能。【2012陕西文】在中，角A,B
4、,C所对应的长分别为，若 ，则 解：由余弦定理得小结：已知两边和它们的夹角，用余弦定理求第三边。变式2：在中，角A,B,C所对应的长分别为，若 ，则 解法一：由余弦定理得即解得或小结：已知两边和一边的对角，用余弦定理求第三边，但要注意选用余弦定理时要选能用已知角的公式。解法二：由正弦定理得 即 解得， ，或 或当时，当时， 综上，或小结：已知两边和一边的对角，用正弦定理求已知的另一边的对角，从而得第三个角，再用余弦定理求第三边。3在中，若，则 解：由余弦定理得小结：已知三边，用余弦定理求角.变式3：在中，若,，则这个三角形中最大角为解： 为最大内角由余弦定理得 最大内角为4在ABC中，,则三角
5、形为（ ） A、直角三角形 B、锐角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形解法一：由已知及正弦定理得 选小结：运用正弦定理可以把边角关系转化为单一的角关系.解法二：由已知及余弦定理得整理得,从而 选小结：运用余弦定理可以把边角关系转化为单一的边长关系.变式4：在中，那么是（ ）A、直角三角形 B 锐角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形解法一：由已知及正弦定理、余弦定理得整理得, 从而选小结：运用正弦定理、余弦定理都可以把角转化为边.解法二： 由已知得 选小结：运用三角形内角和定理可以把三个角化为二个角,达到消元的目的.（三）课堂拓展探究探究：已知分别是的三个内角的对边，.(1)求角的大小；
6、（2）求函数的值域.解法一：（I）由已知及正弦定理，得： 即 故 又 解法二：（I）由已知得由余弦定理得整理得由余弦定理得又 小结：第（I）小题既可以用正弦定理，又可以用余弦定理, 应优先考虑用正弦定理,因为用正弦定理一般情况下较简便。要注意解题规范,两边除以时,要说明；由,得,要先说明的范围.（II） 且 所以所求函数值域为 小结：运用三角形内角和定理可以把二个角化为一个角,达到消元的目的.（四）当堂检测1（2013上海文）已知ABC的内角A, B, C所对的边分别是，b，c，若，则角C的大小是 . 解：由已知及得由余弦定理得 角C的大小是2中，则角等于（ ）A B或 CD或 解：由已知及正
7、弦定理得 ，故选 ( C )3（2013陕西文理）设ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则ABC的形状为( ) (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形(D) 不确定解法一：由已知及正弦定理得即 故选(B)解法二：由已知及余弦定理得整理得 又 故选(B)4如图，隔河看两目标A、B，但不能到达，在岸边选取相距千米的C、D两点，并测得,，(、在同一平面)，则两目标之间的距离为。解：由已知得由已知得在中，由正弦定理得在中，由余弦定理得在中，由余弦定理得两目标之间的距离为千米（五）小结与反馈：1正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素，如果其
8、中三个元素是已知的(其中至少有一边)，那么这个三角形一定可解。2正弦定理和余弦定理的特殊功能是边角互换，它是三角形边角转化的桥梁，充分体现了转化化归的数学思想,即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决。2根据条件选用定理可使解题简便,如果一道题即可以用正弦定理,又可以用余弦定理,应优先考虑用正弦定理,因为用正弦定理一般情况下较简便。3运用三角形内角和定理可以把三个角化为二个角或二个角化为一个角,达到消元的目的.4要注意解题规范:两边除以一个数时,要说明这个数不等于零；由三角函数值求角,要先说明角的范围.（六）课后拓展提升1在中，,则A等于（
9、 ） A、 B、 C、 D、解：由已知及正弦定理得由余弦定理得 ，故选（C）2在中，已知，那么是（ D ）A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、等腰三角形或直角三角形解法一：由已知及正弦定理得、 或即或是等腰三角形或直角三角形, 故选（D）解法二：由已知及余弦定理得整理得 化简得 或是等腰三角形或直角三角形, 故选（D）3在中，已知，则解：由已知得 或当时,由余弦定理得 当时,由余弦定理得 综上，或4在四边形中，已知，则如图，在四边形A解：在中，由余弦定理得即解得或(舍去)在中，由正弦定理得5在锐角ABC中，内角的对边分别为，已知向量，且 (1）求角A的大小； (2）若，求ABC的面积解：(1） 则则 (2）解法一：由正弦定理得又，则ABC是锐角三角形 解法二：，由余弦定理得即 解得或当时,所以,不合题意.当时,所以,符合题意.