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1、-空间向量与立体几何高考题汇编-第 - 13 - 页1.（2009北京卷）（本小题共14分）如图，四棱锥的底面是正方形，点E在棱PB上.（）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.解:如图，以D为原点建立空间直角坐标系， 设则，ACDP，ACDB，AC平面PDB，平面.（）当且E为PB的中点时， 设ACBD=O，连接OE， 由（）知AC平面PDB于O， AEO为AE与平面PDB所的角，即AE与平面PDB所成的角的大小为.2.(2009山东卷)（本小题满分12分）E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，A
2、B/CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。（1） 证明：直线EE/平面FCC；解法二:（1）因为AB=4, BC=CD=2, F是棱AB的中点,E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D x y z M 所以BF=BC=CF,BCF为正三角形, 因为ABCD为等腰梯形,所以BAC=ABC=60,取AF的中点M,连接DM,则DMAB,所以DMCD,以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,则D（0,0,0）,A（,-1,0）,F（,1,0）,C（0,2,0）,C1（0,2,2）,E（,0）,E1（,-1,1）,（2）,
3、设平面BFC1的法向量为,则所以,取,则,3.（2009全国卷）（本小题满分12分）（I）证明：（II）设二面角为60，求与平面所成的角的大小。（I）分析一：连结BE，为直三棱柱， 为的中点，。又平面，（射影相等的两条斜线段相等）而平面，（相等的斜线段的射影相等）。分析二：取的中点，证四边形为平行四边形，进而证，得也可。分析三：利用空间向量的方法。具体解法略。（II）分析一：求与平面所成的线面角，只需求点到面的距离即可。作于，连，则，为二面角的平面角，.不妨设，则.在中，由，易得. 设点到面的距离为，与平面所成的角为。利用，可求得，又可求得 即与平面所成的角为分析三：利用空间向量的方法求出面的
4、法向量，则与平面所成的角即为与法向量的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益4.（2009全国卷）(本小题满分12分) 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，点在侧棱上，。 （I）证明：是侧棱的中点；求二面角的大小。 解法二、分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系Dxyz，则。SABCDMzxy（）设，则，由题得，即解之个方程组得即法2：设，则又故，即，解得，所以是侧棱的中点。（）由（）得，又，设分别是平面、的法向量，则且，即且分别令得，即二面角的大小。
5、5.（2009天津卷）（本小题满分12分）(I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II) 证明平面AMD平面CDE；方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点。设依题意得 所以异面直线与所成的角的大小为.（II）证明： ，又由题设，平面的一个法向量为6.（2009年上海卷）（本题满分14分）如图，在直三棱柱中，,求二面角的大小。 【解】如图，建立空间直角坐标系B1（0，0，2） 、C1（0，2，2） 2分设AC的中点为M，BMAC, BMCC1;BM平面A1C1C,即=(1,1,0)是平面A1C1C的一个法向量。5分设平面的一个法向量是 =（x，y，z）， =（-2，2，-2），
6、 =（-2，0，0） 7分设法向量的夹角为，二面角的大小为，显然为锐角.14分7（2010湖南）18.（本小题满分12分）如图所示，在长方体中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点（）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；（）证明：平面ABM平面A1B1M118.解 ）如图，因为，所以异面直线和所成的角，因为平面，所以，而=1，故. 即异面直线和所成的角的正切值为（）由平面，BM平面，得 BM 由（）知， ，所以，从而BMB1M 又, 再由 得BM平面A1B1M，而BM平面ABM，因此平面ABM平面A1B1M.8.（2010辽宁理数）（19）（本小题满分12分）已知三棱锥PAB
7、C中，PAABC，ABAC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.（）证明：CMSN；（）求SN与平面CMN所成角的大小.证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,），N（,0,0），S（1,0）.4分因为，所以CMSN 6分设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，则 9分因为所以SN与片面CMN所成角为45。 12分9.（2010江西理数）20. （本小题满分12分）如图BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BC
8、D，AB平面BCD，。（1） 求点A到平面MBC的距离；（2） 求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。解法二：取CD中点O，连OB，OM，则OBCD，OMCD，又平面平面,则MO平面.以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图.OB=OM=，则各点坐标分别为O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0，），B（0，-，0），A（0，-，2），（1）设是平面MBC的法向量，则，由得；由得；取，则距离（2），.设平面ACM的法向量为，由得.解得，取.又平面BCD的法向量为，则设所求二面角为，则.10（2010四川）（18）（本小题满分12分）已知正方体ABC
9、DABCD的棱长为1，点M是棱AA的中点，点O是对角线BD的中点.（）求证：OM为异面直线AA和BD的公垂线；（）求二面角MBCB的大小；以点D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D-xyz则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A(1,0,1),C(0,1,1),D(0,0,1)(1)因为点M是棱AA的中点,点O是BD的中点所以M(1,0, ),O(,),=(0,0,1),=(-1,-1,1) =0, +0=0所以OMAA,OMBD又因为OM与异面直线AA和BD都相交故OM为异面直线AA和BD的公垂线.4分(2)设平面BMC的一个法向量为=(x,y,z)=(0,-1,),
10、(1,0,1) 即取平面BCB的一个法向量为(0,1,0)cos由图可知，二面角M-BC-B的平面角为锐角故二面角M-BC-B的大小为arccos9分(1,1,1), (1,0,0) 即取z11,得y11，从而(0,1,1)点M到平面OBC的距离dVMOBC12分11（2010全国卷1理数）（19）（本小题满分12分）如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB/DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC .（）证明：SE=2EB；（）求二面角A-DE-C的大小 .12.（11广东理18） 如图5在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形
11、，且DAB=60，,PB=2,E,F分别是BC,PC的中点（1） 证明：AD 平面DEF;（2） 求二面角P-AD-B的余弦值法二：（1）取AD中点为G，因为又为等边三角形，因此，从而平面PBG。延长BG到O且使得PO OB，又平面PBG，PO AD，所以PO 平面ABCD。以O为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线OB，OP分别为轴，z轴，平行于AD的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系。设由于得平面DEF。 （2）取平面ABD的法向量设平面PAD的法向量由取13.（11湖南理19） 如图5，在圆锥中，已知=，O的直径,是的中点，为的中点（）证明：平面平面;（）求二面角的余弦值。解法2：（I
12、）如图所示，以O为坐标原点，OB、OC、OP所在直线分别为x轴、y轴，z轴建立空间直角坐标系，则设是平面POD的一个法向量，则由，得所以设是平面PAC的一个法向量，则由，得所以得。因为所以从而平面平面PAC。（II）因为y轴平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为由（I）知，平面PAC的一个法向量为设向量的夹角为，则由图可知，二面角BPAC的平面角与相等，所以二面角BPAC的余弦值为14.（11辽宁理18） 如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QA=AB=PD（I）证明：平面PQC平面DCQ；（II）求二面角QBPC的余弦值解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，
13、射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz. （I）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）.则所以即PQDQ，PQDC.故PQ平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ. 6分 （II）依题意有B（1，0，1），设是平面PBC的法向量，则因此可取设m是平面PBQ的法向量，则可取故二面角QBPC的余弦值为 12分15.（11全国大纲理19） 如图，四棱锥中， ,，侧面为等边三角形，（）证明：;（）求与平面所成角的大小解：以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz。设D（1，0，0），则A（2，2，0）、B（0，2，0）。又设
14、 （I），由得故x=1。由又由即3分于是，故所以平面SAB。6分 （II）设平面SBC的法向量，则又故9分取p=2得。故AB与平面SBC所成的角为16.（11全国新课标理18） 如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，底面ABCD（I）证明：；（II）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值解：（）因为， 由余弦定理得从而BD2+AD2= AB2，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD. 故 PABD（）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-，则，设平面PAB的法向量为n=（x，y，z），则 即 因此可取n=设平面PBC的法向量为m，则 可取m=（0，-1，） 故二面角A-PB-C的余弦值为