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1、-立体几何基础题题库(三)(有详细答案)-第 - 30 - 页立体几何基础题题库（三）（有详细答案）101. 是ABC在平面上的射影，那么和ABC的大小关系是( )(A) ABC(C) ABC(D) 不能确定解析：D一个直角，当有一条直角边平行于平面时，则射影角可以等于原角大小，但一般情况不等102. 已知: 如图, ABC中, ACB = 90, CD平面, AD, BD和平面所成的角分别为30和45, CD = h, 求: D点到直线AB的距离。解析：1、先找出点D到直线AB的距离, 即过D点作 DEAB, 从图形以及条件可知, 若把DE放在ABD中不易求解。2、由于CD平面, 把DE转化
2、到直角三角形中求解, 从而转化为先求DE在平面内的射影长。解: 连AC, BC, 过D作DEAB, 连CE, 则DE为D到直线AB的距离。CDAC, BC分别是AD, BD在内的射影。DAC, DBC分别是AD和BD与平面所成的角DAC = 30, DBC = 45 在RtACD中,CD = h, DAC = 30AC = 在RtBCD中CD = h, DBC = 45 BC = hCD, DEABCEAB在RtACB中在RtDCE中,点D到直线AB的距离为。103. 已知a、b、c是平面内相交于一点O的三条直线，而直线l和相交，并且和a、b、c三条直线成等角求证：l证法一：分别在a、b、c上
3、取点A、B、C并使AO = BO = CO设l经过O，在l上取一点P，在POA、POB、POC中， PO公用，AO = BO = CO，POA =POB=POC， POAPOBPOC PA = PB = PC取AB中点D连结OD、PD，则ODAB，PDAB， AB平面POD PO平面POD POAB同理可证 POBC PO，即l若l不经过O时，可经过O作l用上述方法证明， l证法二：采用反证法假设l不和垂直，则l和斜交于O同证法一，得到PA = PB = PC过P作于，则，O是ABC的外心因为O也是ABC的外心，这样，ABC有两个外心，这是不可能的 假设l不和垂直是不成立的 l若l不经过O点时
4、，过O作l，用上述同样的方法可证， l评述：（1）证明线面垂直时，一般都采用直接证法（如证法一），有时也采用反证法（如证法二）或同一法104. P是ABC所在平面外一点，O是点P在平面上的射影（1）若PA = PB = PC，则O是ABC的_心（2）若点P到ABC的三边的距离相等，则O是ABC_心（3）若PA 、PB、PC两两垂直，则O是ABC_心（4）若ABC是直角三角形，且PA = PB = PC则O是ABC的_心（5）若ABC是等腰三角形，且PA = PB = PC，则O是ABC的_心（6）若PA、PB、PC与平面ABC所成的角相等，则O是ABC的_心；解析：（1）外心 PA=PB=PC
5、， OA=OB=OC， O是ABC的外心（2）内心（或旁心）作ODAB于D，OEBC于E，OFAC于F，连结PD、PE、PF PO平面ABC， OD、OE、OF分别为PD、PE、PF在平面ABC内的射影，由三垂线定理可知，PDAB，PEBC，PFAC由已知PD=PE=PF，得OD=OE=OF， O是ABC的内心（如图答9-23）（3）垂心（4）外心（5）外心 （6）外心PA与平面ABC所成的角为PAO，在PAO、PBO、PCO中，PO是公共边，POA=POB=POC=90，PAO=PBO=PCO， PAOPBOPCO， OA=OB=OC， O为ABC的外心（此外心又在等腰三角形的底边高线上）1
6、05. 将矩形ABCD沿对角线BD折起来，使点C的新位置在面ABC上的射影E恰在AB上求证：分析：欲证，只须证与所在平面垂直；而要证平面，只须证且AD因此，如何利用三垂线定理证明线线垂直就成为关键步骤了证明：由题意，又斜线在平面ABCD上的射影是BA， BAAD，由三垂线定理，得， 平面，而平面106. 已知异面直线l1和l2，l1l2，MN是l1和l2的公垂线，MN = 4，Al1，Bl2，AM = BN = 2，O是MN中点 求l1与OB的成角求A点到OB距离分析：本题若将条件放入立方体的“原型”中，抓住“一个平面四条线”的图形特征及“直线平面垂直”的关键性条件，问题就显得简单明了解析：（
7、1）如图，画两个相连的正方体，将题目条件一一标在图中OB在底面上射影NBCD，由三垂线定理，OBCD，又CDMA， OBMA 即OB与l1成90（2）连结BO并延长交上底面于E点ME = BN， ME = 2，又 ON = 2作AQBE，连结MQ对于平面EMO而言，AM、AQ、MQ分别为垂线、斜线、斜线在平面内的射影，由三垂线逆定理得MQEO在RtMEO中，评述：又在RtAMQ中，本题通过补形法使较困难的问题变得明显易解；求点到直线的距离，仍然是利用直线与平面垂直的关键条件，抓住“一个面四条线”的图形特征来解决的107. 已知各棱长均为a的正四面体ABCD，E是AD边的中点，连结CE求CE与底
8、面BCD所成角的正弦值解析：作AH底面BCD，垂足H是正BCD中心，连DH延长交BC于F，则平面AHD平面BCD，作EOHD于O，连结EC，则ECO是EC与底面BCD所成的角则EO底面BCD108. 已知四面体SABC中，SA底面ABC，ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的射影求证：H不可能是SBC的垂心分析：本题因不易直接证明，故采用反证法证明：假设H是SBC的垂心，连结BH，并延长交SC于D点，则BHSC AH平面SBC， BH是AB在平面SBC内的射影 SCAB（三垂线定理）又 SA底面ABC，AC是SC在面内的射影 ABAC（三垂线定理的逆定理） ABC是Rt与已知ABC是锐角三
9、角形相矛盾，于是假设不成立故H不可能是SBC的垂心109. 已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC2求点B到平面EFG的距离解析：如图，连结EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分别交AC于H、O 因为ABCD是正方形，E、F分别为AB和AD的中点，故EFBD，H为AO的中点BD不在平面EFG上否则，平面EFG和平面ABCD重合，从而点G在平面的ABCD上，与题设矛盾由直线和平面平行的判定定理知BD平面EFG，所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离 4分 BDAC， EFHC GC平面ABCD， EFGC， EF平面H
10、CG 平面EFG平面HCG，HG是这两个垂直平面的交线 6分作OKHG交HG于点K，由两平面垂直的性质定理知OK平面EFG，所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离 8分 正方形ABCD的边长为4，GC=2， AC=4，HO=，HC=3 在RtHCG中，HG=由于RtHKO和RtHCG有一个锐角是公共的，故RtHKOHCG OK=即点B到平面EFG的距离为 10分注：未证明“BD不在平面EFG上”不扣分110. 已知：AB与CD为异面直线，ACBC，ADBD求证：ABCD说明：（1）应用判定定理，掌握线线垂直的一般思路（2）思路：欲证线线垂直，只需证线面垂直，再证线线垂直，而由已知构造线线垂
11、直是关键（3）教学方法，引导学生分析等腰三角形三线合一的性质构造图形，找到证明方法证明：如图，取AB中点E，连结CE、DEACBC，E为AB中点CEAB同理DEAB，又CEDEE，且CE平面CDE，DE平面CDEAB平面CDE又CD平面CDEABCD111. 两个相交平面a、b 都垂直于第三个平面g ，那么它们的交线a一定和第三个平面垂直证明：在g 内取一点P，过P作PA垂直a 与g 的交线；过P作PB垂直b 与g 的交线 ag 且bg PAa且PBb PAa且PBa ag112. 在立体图形PABCD中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，PAAB，Q是PC中点AC，BD交于O点（）求二
12、面角QBDC的大小：（）求二面角BQDC的大小解析：（）解：连QO，则QOPA且QOPAAB PA面ABCD QO面ABCD面QBD过QO， 面QBD面ABCD故二面角QBDC等于90（）解：过O作OHQD，垂足为H，连CH 面QBD面BCD，又 COBDCO面QBDCH在面QBD内的射影是OH OHQD CHQD于是OHC是二面角的平面角设正方形ABCD边长2，则OQ1，OD，QD OHQDOQOD OH又OC在RtCOH中：tanOHC OHC60故二面角BQDC等于60113. 如图在ABC中， ADBC， ED=2AE， 过E作FGBC， 且将AFG沿FG折起，使AED=60，求证:A
13、E平面ABC解析：弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置系。解： FGBC，ADBCAEFGAEBC设AE=a，则ED=2a由余弦定理得： AD2=AE2+ED2-2AEEDcos60 =3a2ED2=AD2+AE2ADAEAE平面ABC114. 、是两个不同的平面，m，n是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断：mn，n，m以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题，并证明它解析：m，n，mn（或mn，m，n）证明如下：过不在、内的任一点P，作PMm，PNn过PM、PN作平面r交于MQ，交于NQ同理PNNQ因此MPNMQN = 180，故MQN = 90
14、MPN = 90即mn115. 已知：，b，b 求证：a且b解析：在a上任取一点P，过P作PQr r， ， r， ， PQ与a重合，故ar过b和点P作平面S，则S和交于PQ1，S和交于PQ2， b，b bPQ1，且bPQ2于是PQ1和PQ2与a重合，故ba， 而ar， br116. 已知PA矩形ABCD所在平面，且AB3，BC4，PA3，求点P到CD和BD的距离解析： PA平面ABCD，ADCD，且CD平面ABCD PDCD（三垂线定理）在RtPAD中，PD5又作PHBD于H，连结AH，由三垂线定理的逆定理，有AHBD这里，PH为点P到BD的距离在RtABD中，AH在RtPAH中，PH117.
15、 点P在平面ABC的射影为O，且PA、PB、PC两两垂直，那么O是ABC的( )(A) 内心(B) 外心(C) 垂心(D) 重心解析：由于PCPA，PCPB，所以PC平面PAB， PCAB又P在平面ABC的射影为O，连CO，则CO是PC在平面ABC的射影，根据三垂线定理的逆定理，得：COAB，同理可证AOBC，O是ABC的垂心，答案选C118. 如图02，在长方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分别是棱AA1、BB1、BC上的点，PQAB，C1QPR，求证：D1QR=90证明： PQAB，AB平面BC1， PQ平面BC1，QR是PR在平面BC1的射影根据三垂线定理的逆定理，由C1QPR得
16、C1QQR又因D1C1平面BC1，则C1Q是D1Q在平面B1C的射影，根据三垂线定理，由C1QQR得QRD1Q D1QR=90119. 在空间四边形ABCD中, 已知ACBD, ADBC, 求证: ABCD。解析：1、条件ACBD, ADBC, 可以看作斜线AD, AC与平面BCD内的直线的位置关系, 从而联想到用三垂线定理或其逆定理证明命题。2、如何找斜线在平面内的射影, 显然是过A点作直线垂直于平面BCD, 这样斜线与直线的位置关系, 通过射影与直线的位置关系判定。证明: 过A点作AO垂直于平面BCD于O连BO, CO, DOAO平面BCD, ACBDCOBDAO平面BCD, ADBC D
17、OBCO为BCD的垂心BOCDABCD120. 如图, 在空间四边形SABC中, SA平面ABC, ABC = 90, ANSB于N, AMSC于M。求证: ANBC; SC平面ANM解析： 要证ANBC, 转证, BC平面SAB。要证SC平面ANM, 转证, SC垂直于平面ANM内的两条相交直线, 即证SCAM, SCAN。要证SCAN, 转证AN平面SBC, 就可以了。证明: SA平面ABCSABC又BCAB, 且ABSA = A BC平面SABAN平面SABANBC ANBC, ANSB, 且SBBC = BAN平面SBCSCC平面SBCANSC又AMSC, 且AMAN = ASC平面A
18、NM121. 已知如图，P平面ABC，PA=PB=PC，APB=APC=60，BPC=90 求证：平面ABC平面PBC解析：要证明面面垂直，只要在其呈平面内找一条线，然后证明直线与另一平面垂直即可。显然BC中点D，证明AD垂直平PBC即可证明： 取BC中点D 连结AD、PD PA=PB；APB=60 PAB为正三角形 同理PAC为正三角形 设PA=a 在RTBPC中，PB=PC=a BC=a PD=a 在ABC中 AD= =aAD2+PD2= =a2=AP2APD为直角三角形即ADDP又ADBCAD平面PBC平面ABC平面PBC122. 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直
19、于这个平面。已知：，=a求证：a解析：利用线面垂直的性质定理证明：设=AB，=CD 在平面内作L1AB， 在平面内作L1CD， L1 同理L2 L1/L2 L1/ L1/a a123. 已知SA、SB、SC是共点于S的且不共面的三条射线，BSA=ASC=45,BSC=60，求证：平面BSA平面SAC解析：先作二面角B-SA-C的平面角，根据给定的条件，在棱S上取一点P，分别是在两个平面内作直线与棱垂直证明：在SA上取一点P过P作PRSA交SC于R过P作PQSA交SB于QQPR为二面角B-SA-C的平面角设PS=aPSQ=45，SPQ=90PQ=a，SQ=a同理PR=a，SR=aPSQ=60，S
20、R=SQ=aRSQ为正三角形则RQ=aPR2+PQ2=2a2=QR2QPQ=90二面角B-SA-C为90平面BSA平面SAC124. 设S为平面外的一点，SA=SB=SC，若，求证：平面ASC平面ABC。解析：（1）把角的关系转化为边的关系（2）利用棱锥的性质（三棱锥的侧棱相等，则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心）证明：设D为AB的中点同理且即为且S在平面上的射影O为的外心 则O在斜边AC的中点。平面ABC平面SAC平面ASC平面ABC125. 两个正方形ABCD和ABEF所在的平面互相垂直，求异面直线AC和BF所成角的大小解析：作BPAC交DC延长线于P，则FBP(或补角)就是异面直线B
21、F和AC所成的角，设正方形边长为a，在BPF中，由余弦定理得，异面直线AC和BF成60角126. 二面角a的值为(0180)，直线l，判断直线l与平面的位置关系，并证明你的结论解析： 分两种情况，=90，90当=90时，l或l，这个结论可用反证法证明；当90时，l必与相交，也可用反证法证明127. 已知平面平面，交线为AB，C，D，E为BC的中点，ACBD，BD=8求证：BD平面；求证：平面AED平面BCD；求二面角BACD的正切值解析：AB是AC在平面上的射影，由ACBD得ABBD DB由AB=AC，且E是BC中点，得AEBC，又AEDB，故AE平面BCD，因此可证得平面AED平面BCD设F
22、是AC中点，连BF，DF由于ABC是正三角形，故BFAC又由DB平面，则DFAC，BFD是二面角BACD的平面角，在RtBFD中，128. 如图，ABC和DBC所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD，ABC=DBC=120，求(1) A、D连线和直线BC所成角的大小；(2) 二面角ABDC的大小解析：在平面ADC内作AHBC，H是垂足，连HD因为平面ABC平面BDC所以AH平面BDCHD是AD在平面BDC的射影依题设条件可证得HDBC，由三垂线定理得ADBC，即异面直线AD和BC形成的角为90在平面BDC内作HRBD，R是垂足，连ARHR是AR在平面BDC的射影， ARBD，ARH是二面角
23、ABDC的平面角的补角，设AB=a，可得， 二面角ABDC的大小为arctg2129. 正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1，CC1的中点，求异面直线AE和BF所成角的大小解析：取DD1的中点G，可证四边形ABFG是平行四边形，得出BFAG，则GAE是异面直线AE与BF所成的角连GF，设正方体棱长为a，在AEG中，由余弦定理得130. 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把ABD折起，使点A在平面BCD上的射影A落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值在RtAAO中，AAO=90，131. 已知：如图12，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD
24、=a，AB=a求：平面APB与平面CPD相交所成较大的二面角的余弦值分析：为了找到二面角及其平面角，必须依据题目的条件，找出两个平面的交线解：因为 ABCD，CD 平面CPD，AB 平面CPD所以 AB平面CPD又 P平面APB，且P平面CPD，因此 平面APB平面CPD=l，且Pl所以 二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一个二面角因为 AB平面CPD，AB 平面APB，平面CPD平面APB=l，所以 ABl过P作PEAB，PECD因为 lABCD，因此 PEl，PFl，所以 EPF是二面角B-l-C的平面角因为 PE是正三角形APB的一条高线，且AB=a，因为 E，F分别
25、是AB，CD的中点，所以 EF=BC=a在EFP中，132. 在四面体ABCD中，ABADBD2，BCDC4，二面角ABDC的大小为60，求AC的长解析：作出二面角ABDC的平面角在棱BD上选取恰当的点ABAD，BCDC解：取BD中点E，连结AE，EC ABAD，BCDC AEBD，ECBD AEC为二面角ABDC的平面角 AEC60 AD2，DC4 AE，EC 据余弦定理得：AC133. 河堤斜面与水平面所成角为60，堤面上有一条直道CD，它与堤角的水平线AB的夹角为30，沿着这条直道从堤角向上行走到10米时，人升高了多少（精确到）？解析： 已知 所求河堤斜面与水平面所成角为60 E到地面的
26、距离利用E或G构造棱上一点F 以EG为边构造三角形解：取CD上一点E，设CE10 m，过点E作直线AB所在的水平面的垂线EG，垂足为G，则线段EG的长就是所求的高度在河堤斜面内，作EFAB垂足为F，连接FG，由三垂线定理的逆定理，知FGAB因此，EFG就是河堤斜面与水平面ABG所成的二面角的平面角，EFG60由此得：EGEFsin60CE sin30sin60104.3（m）答：沿着直道向上行走到10米时，人升高了约4.3米134. 二面角a是120的二面角，P是该角内的一点P到、的距离分别为a，b求：P到棱a的距离解析：设PA于A，PB于B过PA与PB作平面r与交于AO，与交于OB， PA，
27、PB， aPA，且aPB a面r， aPO，PO的长为P到棱a的距离且AOB是二面角之平面角，AOB =120 APB = 60，PA = a，PB = b135. 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为AB、CC1的中点，则异面直线A1C与EF所成角的余弦值是( )(A) (B) (C) (D) 解析：选哪一点，如何作平行线是解决本题的关键，显然在EF上选一点作AC的平行线要简单易行，观察图形，看出F与A1C确定的平面A1CC1恰是正方体的对角面，在这个面内，只要找出A1C1的中点O，连结OF，这条平行线就作出了，这样，EFO即为异面直线A1C与EF所成的角容易算出这个角的余弦
28、值是，答案选B 136在60的二面角MaN内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，求P点到直线a的距离解析：本题涉及点到平面的距离，点到直线的距离，二面角的平面角等概念，图中都没有表示，按怎样的顺序先后作出相应的图形是解决本题的关键可以有不同的作法，下面仅以一个作法为例，说明这些概念的特点，分别作PAM，M是垂足，PBN，N是垂足，先作了两条垂线，找出P点到两个平面的距离，其余概念要通过推理得出：于是PA、PB确定平面，设M=AC，N=BC，ca由于PAM，则PAa，同理PBa，因此a平面，得aPC这样，ACB是二面角的平面角，PC是P点到直线a的距离，下面只要在四边形ACBP内，利
29、用平面几何的知识在PAB中求出AB，再在ABC中利用正弦定理求外接圆直径2R，即为P点到直线a的距离，为137. 已知空间四边形ABCD中，AB = BC =CD= AD = BD = AC, E、F分别为AB、CD的中点，（1）求证：EF 为AB和CD的公垂线（2）求异面直线AB和CD的距离解析：构造等腰三角形证明EF 与AB、CD垂直，然后在等腰三角形中求EF解；连接BD和AC，AF和BF，DE和CE设四边形的边长为a AD = CD = AC = a ABC为正三角形 DF = FC AF DC 且AF =同理 BF = A即 AFB为等腰三角形在 AFB中， AE = BE FE AB
30、同理在 DEC中EF DC EF为异面直线AB和CD的公垂线在 AFB中 EF AB且 EF为异面直线AB和CD的距离 AB和CD的距离为138. 正方形ABCD中，以对角线BD为折线，把ABD折起，使二面角A-BD-C 为60，求二面角B-AC-D的余弦值解析：要求二面角B-AC-D的余弦值，先作出二面角的平面角，抓住图形中AB=BC，AD=DC的关系，采用定义法作出平面角BED（E为AC的中点）然后利用余弦定理求解解：连BD、AC交于O点则AOBD，COBDAOC为二面角A-BD-C的平面角AOC=60设正方形ABCD的边长为aAO=OC=1/2AC=AOC=60AOC为正三角形则AC=取
31、AC的中点，连DE、BEAB=BCBEAC同理DEACDEB为二面角B-AC-D的平面角在BAC中BE=同理DE=在BED中，BD= cosBED=二面角B-AC-D的余弦值为-139. 如图平面SAC平面ACB，SAC是边长为4的等边三角形，ACB为直角三角形，ACB=90，BC=，求二面角S-AB-C的余弦值。解析：先作出二面角的平面角。由面面垂直可得线面垂直，作SD平面ACB，然后利用三垂线定理作出二面角的平面角解：过S点作SDAC于D，过D作DMAB于M，连SM平面SAC平面ACBSD平面ACBSMAB又DMABDMS为二面角S-AB-C的平面角在SAC中SD=4在ACB中过C作CHA
32、B于HAC=4，BC=AB=S=1/2ABCH=1/2ACBCCH=DMCH且AD=DCDM=1/2CH=SD平面ACB DM平面ACBSDDM在RTSDM中SM=cosDMS=140. 已知等腰DABC中，AC = BC = 2，ACB = 120，DABC所在平面外的一点P到三角形三顶点的距离都等于4，求直线PC与平面ABC所成的角。解析：解：设点P在底面上的射影为O，连OB、OC，则OC是PC在平面ABC内的射影，PCO是PC与面ABC所成的角。 PA = PB = PC，点P在底面的射影是DABC的外心，注意到DABC为钝角三角形，点O在DABC的外部，AC = BC，O是DABC的外
33、心，OCAB在DOBC中，OC = OB， OCB = 60，DOBC为等边三角形，OC = 2 在RtDPOC中，PCO = 60 。141. 如图在二面角- l-中，A、B，C、Dl，ABCD为矩形，P，PA，且PA=AD，MN依次是AB、PC的中点 求二面角- l-的大小 求证明：MNAB 求异面直线PA与MN所成角的大小解析： 用垂线法作二面角的平面角 只要证明AB垂直于过MN的一个平面即可 过点A作MN的平行线，转化为平面角求解解： 连PD PA，ADl PDl PDA为二面角- l-的平面角 在RTPAD中 PA=PD PDA=45 二面角- l-为45 设E是DC的中点，连ME、
34、NEM、N、E分别为AB、PC、D的中点MEAD，NEPDMEl，NEll平面MENABlAB平面MENMN平面MNEMNAB 设Q是DP听中点，连NQ、AQ 则NQDC，且NQ=1/2DC AMDC，且AM=1/2AB=1/2DC QNAM，QN=AM QNMQ为平行四边形 AQMN PAQ为PA与MN所成的角 PAQ为等腰直角三角形，AQ为斜边上的中线 PAQ=45 即PA与MN所成角的大小为45142. 如图: ABC的ABC= 90, V是平面ABC外的一点, VA = VB = VC = AC, 求VB与平面ABC所成的角。解析：1、要求VB与平面ABC所成的角, 应作出它们所成的角
35、。2、要作出VB与平面ABC所成的角, 只要找出VB在平 面ABC内的射影就可以了。3、作斜线在平面内的射影, 只要在斜线上找一点作直线 垂直于平面, 即找此点在平面内的射影, 显然找V点, V点在平面内的射影在何处？由条件可知, 射影为ABC的外心。解: 作VO平面ABC于O, 则OB为VB在平面ABC内的射影,VBO为VB与平面ABC所成的角。连OA、OB、OC, 则OA、OB、OC分别为斜线段VA、VB、VC在平面ABC内的射影。VA = VB = VCOA = OB = OCO为ABC为外心ABC为直角三角形, 且AC为斜边O为AC的中点设VA = a, 则VA = VC = AC =
36、 a, 在RtVOB中, VBO = 60VB与平面ABC所成的角为60。143. 已知：平面平面=直线a，同垂直于平面，又同平行于直线b求证：()a；()b证明：证法一()设=AB，=AC在内任取一点P并于内作直线PMAB，PNAC 1分 ， PM而 a， PMa同理PNa 4分又 PM，PN， a 6分()于a上任取点Q，过b与Q作一平面交于直线a1，交于直线a2 7分 b， ba1同理ba2 8分 a1，a2同过Q且平行于b， a1，a2重合又 a1，a2， a1，a2都是、的交线，即都重合于a 10分 ba1， ba而a， b 12分注：在第部分未证明ba而直接断定b的，该部分不给分证法二()在a上任取一点P，过P作直线a 1分 ，P， a同理a 3分可见a是，的交线因而a重合于a 5分又 a， a 6分()于内任取不在a上的一点，过b和该点作平面与交于直线c同法过b作平面与交于直线d 7分 b，b bc，bd 8分又 c，d，可见c与d不重合因而cd于是c 9分 c，c，=a， ca 10分 bc，ac，b与a不重合(b，a)， ba 11分而 a， b