反常积分法的收敛判别法.pdf

《反常积分法的收敛判别法.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《反常积分法的收敛判别法.pdf（32页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、反常积分的反常积分的 Cauchy 收敛原理 收敛原理 下面以 + a dxxf)(为例来探讨反常积分敛散性的判别法。 由于反常积分 + a dxxf)(收敛即为极限lim A+ A a dxxf)(存在，因此对 其收敛性的最本质的刻画就是极限论中的 Cauchy 收敛原理，它可以 表述为如下形式： 2 反常积分的收敛判别法反常积分的收敛判别法 定理 8.2.1（定理 8.2.1（Cauchy 收敛原理）收敛原理） 反常积分f x dx a ( ) + 收敛的充 分必要条件是： 对任意给定的0， 存在aA 0 ， 使得对任意A AA, 0， 有 ，由于|( )|f xdx a + 收敛，所以存

2、在aA 0 ，使 得对任意A AA, 0，成立 A A dxxf| )(| 。 利用定积分的性质，得到 A A dxxf)( A A dxxf| )(|， 由 Cauchy 收敛原理，可知 + a dxxf)(收敛。 虽然 Cauchy 收敛原理是判别反常积分收敛性的充分必要条件， 但是对于具体的反常积分，在使用上往往比较困难，因此需要导出一 些便于使用的收敛判别法。 我们先讨论非负函数反常积分的收敛判别法。 非负函数反常积分的收敛判别法非负函数反常积分的收敛判别法 定理 8.2.2（比较判别法）定理 8.2.2（比较判别法） 设在 ,)a +上恒有)()(0 xKxf，其 中K是正常数。则

3、（1） 当 + a dxx)(收敛时 + a dxxf)(也收敛； （2） 当 + a dxxf)(发散时 + a dxx)(也发散。 例 8.2.1例 8.2.1 讨论 + + 123 sin2cos dx ax xx 的敛散性（a是常数）。 解解 因为当1x 时有 xx ax xx1sin2cos 23 + ， 在例 8.1.2 中， 已知 1 1 x x dx + 收敛， 由比较判别法， + + 123 sin2cos dx ax xx 绝 对收敛，所以 + + 123 sin2cos dx ax xx 收敛。 注意：在以上定理中，条件“在 ,)a + 上恒有)()(0 xKxf”， 可

4、以放宽为“存在aA ，在),+A上恒有)()(0 xKxf”。 推论（比较判别法的极限形式）推论（比较判别法的极限形式）设在 ,)a +上恒有( )0f x 和 0)(x，且 l x xf x = + )( )( lim ， 则 若0 +l，则 + a dxx)(收敛时 + a dxxf)(也收敛； 若0 +l，则 + a dxx)(发散时 + a dxxf)(也发散。 所以， 当0l +时， + a dxx)(和 + a dxxf)(同时收敛或同时发散。 证证 若+= + l x xf x )( )( lim ，则存在常数Aa，当Ax 时成立 1 )( )( + l x xf ， 即 )()

5、 1()(xlxf+= + l x xf x ，存在常数Aa，使得当Ax 时成立 l x xf )( )( ， 其中ll。 于是，由比较判别法，当 + a dxx)(发散时 + a dxxf)(也发散。 证证 若+= + l x xf x )( )( lim ，则存在常数Aa，当Ax 时成立 1 )( )( + l x xf ， 即 )() 1()(xlxf+1，则 + a dxxf)(收敛； 若f x K x p ( ) ，且p 1，则 + a dxxf)(发散。 推论（推论（Cauchy 判别法的极限形式）判别法的极限形式）设在 ,)a+ + ( ,)0上恒有 f x( ) 0，且 lim

6、( ) x p x f xl + =， 则 若0 1，则 + a dxxf)(收敛； 若0 +l，且p1，则 + a dxxf)(发散。 例 8.2.3 例 8.2.3 讨论xdx ax e + 0 的敛散性（Ra）。 解解 因为对任意常数Ra，有 lim x+ 0)e( 2 = xa xx， 由 Cauchy 判别法的极限形式（1），可知xdx ax e + 0 收敛。 推论（推论（Cauchy 判别法的极限形式）判别法的极限形式）设在 ,)a+ + ( ,)0上恒有 f x( ) 0，且 lim( ) x p x f xl + =， 则 若01，则 + a dxxf)(收敛； 若0 +l，

7、且p1，则 + a dxxf)(发散。 一般函数反常积分的收敛判别法 一般函数反常积分的收敛判别法 我们先证明一个重要结果。 定理 8.2.4（积分第二中值定理）定理 8.2.4（积分第二中值定理） 设f x( )在 , a b上可积，g x( ) 在 , a b上单调，则存在 , a b，使得 b a dxxgxf)()( += b a dxxfbgdxxfag )()()()(。 证证 我们只对f x( )在 , a b上连续，g x( )在 , a b上单调且)( xg在 , a b上可积的情况加以证明。 记F x( ) = x a dttf)(， 则)(xF在,ba连续， 且F a(

8、) = 0。 由于f x( )在 , a b 上连续，于是)(xF是f x( )在 , a b上的一个原函数，利用分部积分法， 有 b a dxxgxf)()( b a xgxF)()(= F x g x dx a b ( )( )。 b a dxxgxf)()( b a xgxF)()(= F x g x dx a b ( )( ) 上式右端的第一项 )()()()(bgbFxgxF b a = g bf x dx a b ( )( )， 而在第二项中，由于g x( )单调，因此g x( )保持定号，由积分第一中值 定理，存在 , a b，使得 = b a b a dxxgFdxxgxF)(

9、)()()( a dxxfagbg)()()(， 于是 f x g x dx a b ( ) ( ) = g bf x dx a b ( )( ) a dxxfagbg)()()( += b a dxxfbgdxxfag )()()()(。 注注 在定理 8.2.4 的假设下，还有如下结论： （1）若)(xg在 , a b上单调增加，且0)(ag，则存在 , a b，使得 b a dxxgxf)()( = b dxxfbg )()(； （2）若)(xg在 , a b上单调减少，且0)(bg，则存在 , a b，使得 = b a dxxgxf)()( a dxxfag)()(。 定理 8.2.5

10、定理 8.2.5 若下列两个条件之一满足，则f x g x dx a ( ) ( ) + 收敛： （Abel 判别法判别法） + a dxxf)(收敛，g x( )在 ,)a + 上单调有界； （Dirichlet 判别法判别法）F Af x dx a A ( )( )=在 ,)a + 上有界，g x( )在 ,)a + 上单调且lim( ) x g x + = 0。 证证 设是任意给定的正数。 若 Abel 判别法条件满足，记 G 是| ( )|g x在 ,)a + 的一个上界， 因为f x dx a ( ) + 收敛，由 Cauchy 收敛原理，存在aA 0 ，使得对任意 A AA, 0，

11、有 G dxxf A A 2 )( 。 由积分第二中值定理， A A dxxgxf)()( + A A dxxfAgdxxfAg )()()()( + A A dxxfGdxxfG )()( =+ 22 。 定理 8.2.5定理 8.2.5 若下列两个条件之一满足，则f x g x dx a ( ) ( ) + 收敛： （Abel判别法判别法） + a dxxf)(收敛，g x( )在 ,)a + 上单调有界； （Dirichlet 判别法判别法）F Af x dx a A ( )( )=在 ,)a + 上有界，g x( )在 ,)a + 上单调且lim( ) x g x + = 0。 若 D

12、irichlet 判别法条件满足，记 M 是F A( )在 ,)a+ 的一个 上界。此时对任意A Aa, ，显然有 Mdxxf A A 2)( 0时，有 | ( )|g x M 4 。 于是，对任意A AA, 0， A A dxxgxf)()( + A A dxxfAgdxxfAg )()()()( | )(|2| )(|2AgMAgM+ =+，存在0，使得对任意), 0(,， 有 b b dxxf)(。 定理 8.2.3定理 8.2.3（Cauchy 判别法）判别法） 设在 , )a b上恒有f x( )0，若当 x属于b的某个 左邻域, )bb 0时，存在正常数K，使得 f x K bx

13、p ( ) () ，且p 1，则f x dx a b ( ) 收敛； f x K bx p ( ) () ，且p 1，则f x dx a b ( ) 发散。 推论（推论（Cauchy 判别法的极限形式）判别法的极限形式）设在 , )a b上恒有f x( )0， 且 lim()( ) xb p bxf xl =， 则 若0 +l，且p 1，则f x dx a b ( ) 收敛； 若0 +l，且p1，则f x dx a b ( ) 发散。 定理 8.2.5定理 8.2.5 若下列两个条件之一满足，则f x g x dx a b ( ) ( ) 收敛： （Abel 判别法判别法） f x dx a

14、b ( ) 收敛，g x( )在 , )a b上单调有界； （Dirichlet 判别法判别法） = b a dxxfF)()(在, 0(ab 上有界，g x( ) 在 , )a b上单调且0)(lim= xg bx 。 例 8.2.6 例 8.2.6 讨论 dx xx p ln /e 0 1 的敛散性（ + Rp）。 解 解 这是个定号的反常积分，x = 0是它的唯一奇点。 当011时，取q p p= + 1 2 1 ( ,)，则 lim x +0 += xx x p q ln ， 由 Cauchy 判别法的极限形式， dx xx p ln /e 0 1 发散。 当p = 1时，可以直接用

15、Newton-Leibniz 公式得到 dx xxln /e 0 1 /e1 0 |ln|lnlim x + = 。 因此，当01p时，反常积分 dx xx p ln /e 0 1 收敛；当p 1时，反常 积分 dx xx p ln /e 0 1 发散。 例 8.2.7 例 8.2.7 讨论 11 0 1 xx dx p sin 的敛散性（p 2）。 解解 令f x xx ( )sin= 11 2 ，g xx p ( )= 2 。 对于) 1 , 0(，有 1 )( dxxf = 1 2 1 sin 1 dx xx = 1 11 sin x d x 1 1 cos x = ， 所以 1 )(

16、dxxf有界；而g x( )显然在 1 , 0(单调，且当p 2时， lim x +0 g x( )=lim x +0 x p2 0 =。 由无界函数反常积分的 Dirichlet 判别法， 11 0 1 xx dx p sin 收敛。 当p 1时，有 pp xxx 11 sin 1 ， 由比较判别法，此时 11 0 1 xx dx p sin 绝对收敛。而利用例 8.2.4 类似的方法 可以得到，当12p时， 11 0 1 xx dx p sin 条件收敛。 注 注 事实上，若对 11 0 1 xx dx p sin 作变量代换x t = 1 ，就可将它化为 sint t dt p2 1 +

17、 ， 利用无穷区间反常积分的 Dirichlet 判别法，可以得到同样的结果。 对两种类型反常积分并存（或多个奇点）的情况，应先将积分区 间适当拆分。 例 8.2.8例 8.2.8 讨论 x x dx p p q 1 0 1 + + | 的敛散性（Rqp,）。 解解 因为x = 0和x =1可能是被积函数的奇点，积分区间也无界， 所以将其拆成 x x dx p p q 1 0 1 + + | = + dx xx pp q10 1 1 () + + + dx xx pp q11 1() 。 要使积分收敛，考虑奇点x = 0，应要求p 11；考虑奇点x =1， 应要求pq+时积分收敛。 所以，只有

18、当qp,同时满足 ，对于 任意给定的aX ，存在Xx 0 ，使得 | () |f x0 0 。 又因为f x( )在 ,)a +一致连续，所以对于 0 2 0，存在) 1 , 0( 0 ， 使得对于任意axx ，只要| xx0，就有 |()() |f xf x = ， 对于任意给定的aA 0 ， 取XA=+ 0 1， 并设Xx 0 满足| () |f x0 0 。不妨设f x() 0 0，则对任意满足|xx 0 00 22 0 。 取A和A分别等于x0 0 2 和x0 0 2 + ，则 AAA0，且有 = A A dxxf)( + 00 00 )( x x dxxf 10 0 2 =。 由 Cauchy 收敛原理， + a dxxf)(不收敛，与假设条件矛盾。于是 0)(lim= + xf x 。