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1、-相似三角形难题集锦(含答_案)-第 16 页 一、相似三角形中的动点问题1.如图，在RtABC中，ACB=90，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1AC动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动过点D作DHAB于H，过点E作EFAC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG设点D运动的时间为t秒（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当DEG与ACB相似时，求t的值2.如图，在ABC中，ABC90，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动同时，动点Q以1m/s的速度从C点
2、出发，沿CB向点B移动当其中有一点到达终点时，它们都停止移动设移动的时间为t秒（1）当t=2.5s时，求CPQ的面积；求CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当CPQ为等腰三角形时，求出t的值3.如图1，在RtABC中，ACB90，AC6，BC8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E，EMBD，垂足为M，ENCD，垂足为N（1）当ADCD时，求证：DEAC；（2）探究：AD为何值时，BME与CNE相似？4.如图所示，在ABC中，BABC20cm，AC30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA
3、以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动设运动的时间为x（1）当x为何值时，PQBC？（2）APQ与CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0t6）。（1）当t为何值时，QAP为等腰直角三角形？（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似？ 二、构造相似辅助线双垂直模型 6.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的
4、图象与线段OA的夹角是45，求这个正比例函数的表达式7.在ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边在C点的异侧作ABD，使ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长8.在ABC中，AC=BC，ACB=90，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点求证：MC：NC=AP：PB9.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E那么D点的坐标为（）A. B.C. D.10.已知，如图，直线y=2x2与坐标轴交于A、B两点以AB为短边在第一象限做
5、一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为12。求C、D两点的坐标。 三、构造相似辅助线A、X字型 11.如图：ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F。求证：12.四边形ABCD中，AC为AB、AD的比例中项，且AC平分DAB。求证：13.在梯形ABCD中，ABCD，ABb，CDa，E为AD边上的任意一点，EFAB，且EF交BC于点F，某同学在研究这一问题时，发现如下事实：(1)当时，EF=；(2)当时，EF=；(3)当时，EF=当时，参照上述研究结论，请你猜想用a、b和k表示EF的一般结论，并给出证明14.已知：如图，在ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，
6、且BEEFFC。求BN：NQ：QM15.证明：（1）重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的（注：重心是三角形三条中线的交点）（2）角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例 四、相似类定值问题 16.如图，在等边ABC中，M、N分别是边AB，AC的中点，D为MN上任意一点，BD、CD的延长线分别交AC、AB于点E、F求证：17.已知：如图，梯形ABCD中，AB/DC，对角线AC、BD交于O，过O作EF/AB分别交AD、BC于E、F。求证：18.如图，在ABC中，已知CD为边AB上的高，正方形EFGH的四个顶点分别在ABC上。求证：19.已
7、知，在ABC中作内接菱形CDEF，设菱形的边长为a求证： 五、相似之共线线段的比例问题 20.（1）如图1，点在平行四边形ABCD的对角线BD上，一直线过点P分别交BA，BC的延长线于点Q，S，交于点求证：（2）如图2，图3，当点在平行四边形ABCD的对角线或的延长线上时，是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图2为例进行证明或说明）；21.已知：如图，ABC中，ABAC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CFAB，延长BP交AC于E，交CF于F求证：BP2PEPF 22.如图，已知ΔABC中，AD，BF分别为BC，AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E
8、，交BF于G，交AC延长线于H。求证： DE2=EGEH 23.已知如图，P为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，过P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H.求证：24.已知，如图，锐角ABC中，ADBC于D，H为垂心（三角形三条高线的交点）；在AD上有一点P，且BPC为直角求证：PD2ADDH 。 六、相似之等积式类型综合 25.已知如图，CD是RtABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA于F。求证：26如图，在RtABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DHBM且与AC的延长线交于点E.求证：（1）AEDCBM；（2）27.如图，A
9、BC是直角三角形，ACB=90，CDAB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.（1）求证：.（2）若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？并说明理由.28.如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N求证：29.如图，BD、CE分别是ABC的两边上的高，过D作DGBC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H。求证：（1）DG2BGCG；（2）BGCGGFGH 七、 相似基本模型应用 30.ABC和DEF是两个等腰直角三角形，A=D=90，DEF的顶点E位于边BC的中点上（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC
10、交于点N，求证：BEMCNE；（2）如图2，将DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论31.如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）；（2）求BP：PQ：QR32.如图，在ABC中，ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F。求证：答案：1.答案：解：（1）ACB=90，AC=3，BC=4AB=5又AD=AB，AD=5tt=1，此时CE=3，DE=3+3-5=1（2）如图当点D在点E左侧
11、，即：0t时，DE=3t+3-5t=3-2t若DEG与ACB相似，有两种情况：DEGACB，此时，即：，求得：t=；DEGBCA，此时，即：，求得：t=；如图，当点D在点E右侧，即：t时，DE=5t-(3t+3)=2t-3若DEG与ACB相似，有两种情况：DEGACB，此时，即：，求得：t=；DEGBCA，此时，即：，求得：t=综上，t的值为或或或3.答案：解：（1）证明：AD=CDA=ACDDE平分CDB交边BC于点ECDE=BDECDB为CDB的一个外角CDB=A+ACD=2ACDCDB=CDE+BDE=2CDEACD=CDEDEAC（2）NCE=MBEEMBD，ENCD，BMECNE，如
12、图NCE=MBEBD=CD又NCE+ACD=MBE+A=90ACD=AAD=CDAD=BD=AB在RtABC中，ACB90，AC6，BC8AB=10AD=5NCE=MEBEMBD，ENCD，BMEENC，如图NCE=MEBEMCDCDAB在RtABC中，ACB90，AC6，BC8AB=10A=A，ADC=ACBACDABC综上：AD=5或时，BME与CNE相似4.答案：解（1）由题意：AP=4x，CQ=3x，AQ=30-3x，当PQBC时，即：解得：（2）能，AP=cm或AP=20cmAPQCBQ，则，即解得：或（舍）此时：AP=cmAPQCQB，则，即解得：（符合题意）此时：AP=cm故AP
13、=cm或20cm时，APQ与CQB能相似5.答案：解：设运动时间为t，则DQ=t，AQ=6-t，AP=2t，BP=12-2t（1）若QAP为等腰直角三角形，则AQ=AP，即：6-t=2t，t=2（符合题意）t=2时，QAP为等腰直角三角形（2）B=QAP=90当QAPABC时，即：，解得：（符合题意）；当PAQABC时，即：，解得：（符合题意） 当或时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似6.答案：解：分两种情况第一种情况，图象经过第一、三象限过点A作ABOA，交待求直线于点B，过点A作平行于y轴的直线交x轴于点C，过点B作BDAC则由上可知：90由双垂直模型知：OCAADBA（2，1），
14、45OC2，AC1，AOABADOC2，BDAC1D点坐标为（2，3）B点坐标为（1，3）此时正比例函数表达式为：y3x第二种情况，图象经过第二、四象限过点A作ABOA，交待求直线于点B，过点A作平行于x轴的直线交y轴于点C，过点B作BDAC则由上可知：90由双垂直模型知：OCAADBA（2，1），45OC1，AC2，AOABADOC1，BDAC2D点坐标为（3，1）B点坐标为（3，1）此时正比例函数表达式为：yx7.答案：解：情形一：情形二：情形三：8.答案：证明：方法一：连接PC，过点P作PDAC于D，则PD/BC根据折叠可知MNCP2+PCN=90，PCN+CNM=902=CNMCDP=
15、NCM=90PDCMCNMC：CN=PD：DCPD=DAMC：CN=DA：DCPD/BCDA：DC=PA：PBMC：CN=PA：PB方法二：如图，过M作MDAB于D，过N作NEAB于E由双垂直模型，可以推知PMDNPE，则，根据等比性质可知，而MD=DA，NE=EB，PM=CM，PN=CN，MC：CN=PA：PB9.答案：A解题思路：如图过点D作AB的平行线交BC的延长线于点M，交x轴于点N，则M=DNA=90，由于折叠，可以得到ABCADC，又由B（1，3）BC=DC=1，AB=AD=MN=3，CDA=B=90 1+2=90 DNA=90 3+2=90 1=3 DMCAND，设CM=x，则D
16、N=3x，AN=1x，DM3x3x，则。答案为A10.答案：解：过点C作x轴的平行线交y轴于G，过点D作y轴的平行线交x轴于F，交GC的延长线于E。直线y=2x2与坐标轴交于A、B两点A（1,0），B（0,2）OA=1，OB=2，AB=AB：BC=1:2BC=AD=ABO+CBG=90，ABO+BAO=90CBG=BAO又CGB=BOA=90OABGBCGB=2，GC=4GO=4C（4,4）同理可得ADFBAO，得DF=2，AF=4OF=5D（5,2）11.答案：证明：（方法一）如图延长AE到M使得EM=AE，连接CMBE=CE，AEB=MEC BEACEMCM=AB，1=BABCMM=MAD
17、，MCF=ADFMCFADFCM=AB，AD=AC（方法二）过D作DGBC交AE于G则ABEADG，CEFDGF，AD=AC，BE=CE12.答案：证明：过点D作DFAB交AC的延长线于点F，则2=3AC平分DAB1=21=3AD=DFDEF=BEA，2=3BEADEFAD=DFAC为AB、AD的比例中项即又1=2ACDABC13.答案：解：证明：过点E作PQBC分别交BA延长线和DC于点P和点QABCD，PQBC四边形PQCB和四边形EQCF是平行四边形PBEFCQ，又ABb，CDaAPPB-ABEF-b，DQDC-QCa-EF14.答案：解：连接MFM是AC的中点，EFFCMFAE且MFA
18、EBENBFMBN：BMBE：BFNE：MFBEEFBN：BMNE：MF1:2BN：NM1:1设NEx，则MF2x，AE4xAN3xMFAENAQMFQNQ：QMAN：MF3:2BN：NM1:1，NQ：QM3:2BN：NQ：QM5:3:215.答案：证明：（1）如图1，AD、BE为ABC的中线，且AD、BE交于点O过点C作CFBE，交AD的延长线于点FCFBE且E为AC中点AEOACF，OBDFCD，AC2AEEAOCAFAEOACFD为BC的中点，ODBFDCBODCFDBOCF同理，可证另外两条中线三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的（2）如图2，AD为ABC的角平分线过点C作A
19、B的平行线CE交AD的延长线于E则BAD=EAD为ABC的角平分线BAD=CADE=CADACCECEABBADCED16.答案：证明：如图，作DPAB，DQAC则四边形MDPB和四边形NDQC均为平行四边形且DPQ是等边三角形BP+CQMN，DPDQPQM、N分别是边AB，AC的中点MNBCPQDPAB，DQACCDPCFB，BDQBEC，DPDQPQBCABAB（）17.答案：证明：EF/AB，AB/DCEF/DCAOEACD，DOEDBA，18.答案：证明：EFCD，EHAB，AFEADC，CEHCAB，EFEH19.答案：证明：EFAC，DEBC，BFEBCA，AEDABC，EFDEa
20、20.答案：（1）证明：在平行四边形ABCD中，ADBC，DRP=S，RDB=DBSDRPBSP同理由ABCD可证PTDPQB（2）证明：成立，理由如下：在平行四边形ABCD中，ADBC，PRD=S，RDP=DBSDRPBSP同理由ABCD可证PTDPQB21.答案：证明:ABAC，AD是中线，ADBC,BP=CP1=2又ABC=ACB3=4CFAB3=F,4=F又EPC=CPFEPCCPFBP2PEPF即证所求22.答案：证明：DEAB9090ADEDBEDE2=BFAC9090且BEGHEADE2=EG•EH23.答案：证明：四边形ABCD为平行四边形ABCD，ADBC1=2，G
21、=H，5=6PAHPCG又3=4APECPF24.答案：证明：如图，连接BH交AC于点E，H为垂心BEACEBC+BCA=90ADBC于DDAC+BCA=90EBC=DAC又BDH=ADC=90BDHADC，即BPC为直角，ADBCPD2BD·DCPD2AD·DH25.答案：证明：CD是RtABC斜边AB上的高，E为BC的中点CE=EB=DEB=BDE=FDAB+CAB=90，ACD+CAB=90B=ACDFDA=ACDF=FFDAFCDADC=CDB=90，B=ACDACDCBD即26.答案：证明：（1）ACBADC90AACD90BCMACD90ABCM同理可得
22、：MDHMBDCMBCDBMBD90MBDADEADCMDH90MDHADECMBAEDCBM（2）由上问可知：，即故只需证明即可AA，ACDABCACDABC，即27.答案：（1）将结论写成比例的形式，可以考虑证明FDBFCD（已经有一个公共角F）RtACD中，E是AC的中点DE=AEA=ADEADE=FDBA=FDB而A+ACD=90FCD+ACD=90A=FCDFCD=FDB而F=FFBDFDC（2）判断：GD与EF垂直RtCDB中，G是BC的中点，GDGBGDB=GBD而GBD+FCD=90又FCD=FDB（1的结论）GDB+FDB=90GDEF28.答案：证明：由四边形ABCD、DE
23、FG都是正方形可知，ADC=GDE=90，则CDG=ADE=ADG+90在和中则DAM=DCN又ANM=CNDANMCND则29.答案：证明：找模型。（1）BCD、BDG，CDG构成母子型相似。BDGDCGDG2BG·CG（2）分析：将等积式转化为比例式。BG·CGGF·GHGFC=EFH，而EFH+H=90，GFC+FCG=90H=FCG而HGB=CGF=90HBGCFGBG·CGGF·GH30.答案：（1）证明：MEBNEC18045135MEBEMBNECEMB又B=CBEMCNE（2）COEEON证明：OEN=C45
24、，COEEONCOEEON31.答案：解：（1）BCPBER，CQPDQR，ABPCQP，DQRABP（2）ACDEBCPBER四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形AD=BC，AD=CEBC=CE，即点C为BE的中点又ACDECQPDQR点R为DE的中点DR=RE综上：BP：PQ：QR3：1：232.答案：证明：ADBC，DEABADBAEDADAEAB同理可证：ADAFACAEABAFAC反比例函数典型例题1、（2011宁波）正方形的A1B1P1P2顶点P1、P2在反比例函数y=（x0）的图象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在
25、反比例函数y=（x0）的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则P2点的坐标为_，则点P3的坐标为_。 答案：P2（2，1） P2（+1，-1） 2、已知关于x的方程x2+3x+a=0的两个实数根的倒数和等于3，且关于x的方程（k-1）x2+3x-2a=0有实根，且k为正整数，正方形ABP1P2的顶点P1、P2在反比例函数y=（x0）图象上，顶点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，求点P2的坐标答案：（2，1）或（，）3、如图，正方形OABC和正方形AEDF各有一个顶点在一反比例函数图象上，且正方形OABC的边长为2（1）求反比例函数的解析式；（2）求点D的坐标 答案：（1） y= (2) (,)4
26、、两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示，点P1、P2在反比例函数图象上，过点P1作x轴的平行线与过点P2作y轴的平行线相交于点N，若点N（m，n）恰好在y=的图象上，则NP1与NP2的乘积是_。答案：3 答案：35、 （2007泰安）已知三点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（1，-2）都在反比例函数y=的图象上，若x10，x20，则下列式子正确的是（）答案：DAy1y20By10y2Cy1y20Dy10y26、 如图，已知反比例函数y=的图象上有点P，过P点分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A、B，使四边形OAPB为正方形，又在反比例函数图象上有点P1，过点P1分别作
27、BP和y轴的垂线，垂足分别为A1、B1，使四边形BA1P1B1为正方形，则点P1的坐标是_。 答案：7、 在反比例函数y=（x0）的图象上，有一系列点P1、P2、P3、Pn，若P1的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2现分别过点P1、P2、P3、Pn作x轴与y轴的垂线段，构成若干个长方形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为S1、S2、S3、Sn，则S1+S2+S3+S2010=_。答案：18、 如图，四边形ABCD为正方形，点A在x轴上，点B在y轴上，且OA=2，OB=4，反比例函数y=(k0)在第一象限的图象经过正方形的顶点D（1） 求反比例函数的关系式；（
28、2） 将正方形ABCD沿x轴向左平移_个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上答案：（1） （2）29、 如图，已知OP1A1、A1P2A2、A2P3A3、均为等腰直角三角形，直角顶点P1、P2、P3、在函数y=（x0）图象上，点A1、A2、A3、在x轴的正半轴上，则点P2010的横坐标为_。答案：10、 两个反比例函数y=，y=-的图象在第一象限，第二象限如图，点P1、P2、P3P2010在y=的图象上，它们的横坐标分别是有这样规律的一行数列1，3，5，7，9，11，过点P1、P2、P3、P2010分别作x轴的平行线，与y=-的图象交点依次是Q1、Q2、Q3、Q2010，则点Q2010的
29、横坐标是_。 答案：-803811、 如图所示，正方形OABC，ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上；点FAB上，点B，E在反比例函数y=（x0）的图象上（1） 正方形MNPB中心为原点O，且NPBM，求正方形MNPB面积（2） 求点E的坐标答案：（1）正方形MNPB面积=4正方形OABC的面积=411=4 （2）12、 (2011十堰）如图，平行四边形AOBC中，对角线交于点E，双曲线y=（k0）经过A，E两点，若平行四边形AOBC的面积为24，则k=_。答案：813、 如图，梯形AOBC中，对角线交于点E，双曲线y=（k0）经过A、E两点，若AC：OB=1：3，梯形AOBC面积为24，则k=
30、（）A、 B、 C、 D、答案A14、 如图，已知点A的坐标为（，3），AB丄x轴，垂足为B，连接OA，反比例函数y=（k0）的图象与线段OA、AB分别交于点C、D若AB=3BD，以点C为圆心，CA的倍的长为半径作圆，则该圆与x轴的位置关系是_。（填”相离”，“相切”或“相交“）答案：相交14、(2011武汉)如图，ABCD的顶点A、B的坐标分别是A（-1，0），B（0，-2），顶点C、D在双曲线y=上，边AD交y轴于点E，且四边形BCDE的面积是ABE面积的5倍，则k=_。答案：12解：如图，过C、D两点作x轴的垂线，垂足为F、G，DG交BC于M点，过C点作CHDG，垂足为H，ABCD是平行四边形，ABC=ADC，BODG，OBC=GDE，HDC=ABO，CDHABO（ASA），CH=AO=1，DH=OB=2，设C（m+1，n），D（m，n+2），则（m+1）n=m（n+2）=k，解得n=2m，则D的坐标是（m，2m+2），设直线AD解析式为y=ax+b，将A、D两点坐标代入得由得：a=b，代入得：mb+b=2m+2，即b（m+1）=2（m+1），解得b=2，a=b=2y=2x+2，E（0，2），BE=4，SABE=BEAO=2，S四边形BCDE=5SABE=541=10，SABE+S四边形BEDM=10，即2+4m=10，解得m=2，n=2m=4，k=（m+1）n=34=12