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1、-初中 数学 所有 公式 定义 性质 定理-第 32 页初中 数学 所有 公式 定义 性质 定理第2章 （七年级上）有理数2.1 有理数负数正数正整数、零和负整数统称整数，正分数和负分数统称分数。整数和分数统称有理数。把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集。有理数集。整数集。负数集。非负整数集（自然数集）。2.2 数轴原点规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。正数都大于零，负数都小于零，正数都大于负数。2.3 相反数只有正负号不同的两个数称互为相反数。在数轴上表示互为相反数的两个点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等。零的相反数是零
2、。2.4 绝对值我们把在数轴上表示数a与原点的距离叫做数a的绝对值，记作 。1. 一个正数的绝对值是它本身；2. 零的绝对值是零；3. 一个负数的绝对值是它的相反数。2.5 有理数的大小比较在数轴上，表示两个负数的两个点中，与原点距离较远的那个点在左边，也就是绝对值大的点在左边。所以，两个负数，绝对值大的反而小。2.6 有理数的加法有理数加法法则：1. 同号两数相加，取与加数相同的正负号，并把绝对值相加；2. 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的正负号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；3. 互为相反数的两个数相加得零；4. 一个数与零相加，仍得这个数。有理数的加法仍满足交换律和结
3、合律。加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。a+b=b+a.加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。(a+b)+c=a+(b+c).2.7 有理数的减法有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。2.8 有理数的加减混合运算2.9 有理数的乘法有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘，都得零。有理数的乘法仍满足交换律与结合律。乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。ab=ba.乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。(ab)c=a(bc).几个不等于零的数相乘，积的正负
4、号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正。几个数相乘，有一个因数为零，积就为零。有理数的运算仍满足分配律。分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。a(b+c)=ab+ac.2.10 有理数的除法对于有理数仍然有：乘积是1的两个数互为倒数。除以一个数等于乘以这个数的倒数。零不能作除数。有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任何一个不等于零的数，都得零。2.11 有理数的乘方求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在 中，a叫做底数，n叫做指数, 读作a的n次方， 看作是a的
5、n次方的结果时，也可读作a的n次幂。根据有理数乘法法则，有：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。2.12 科学计数法一个大于10的数就记成a 的形式，其中 ，n是正整数。像这样的计数法叫做科学计数法。2.13 有理数的混合运算有理数的混合运算，应按以下顺序进行：1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减；2. 同级运算，按照从左至右的顺序进行；3. 如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，然后算大括号里的。2.14 近似数一个与实际非常接近的数，成为近似数。如果结果只取整数，就叫做精确到个位；如果结果取1位小数，就叫做精确是十分位（或精确到0.1）；如果结果取2位小
6、数，就叫做精确到百分位（或精确到0.01）；2.15 用计算器进行计算第3章 整式的加减3.1 列代数式常见图形的面积长方形S=ab；正方形S= ；三角形S= ;平行四边形S=ah；梯形S= ；圆S= 。用字母表示数之后，有些数量之间的关系用含有字母的式子表示，看上去更加简明，更具有普遍意义了。（1） 式子中出现的乘号，通常写作“ ”或省略不写，如 常写作 或5n；（2） 数字与字母相乘时，数字通常写在字母前面，如5n一般不写成n5；（3） 除法运算写成分数形式；如1500 t通常写作 （t0）。由数字和字母用运算符号连接所成的式子，成为代数式。单独一个数或一个字母也是代数式。在解决实际问题时
7、，常常先把问题中有关的数量用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性。偶数2n，奇数2n+1（n为整数）。3.2 代数式的值用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。3.3 整式由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或一个字母也是单项式。单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。几个单项式的和叫做多项式。期中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。单项式与多项式统称整式。把一个多项式各项的位置按照其中某一字母指数的大小顺序来排列。把多项式按x的指数从大到小的顺序排列
8、，叫做这个多形式按字母x的降幂排列。若按x的指数从小到大的顺序排列，叫做这个多形式按字母x的升幂排列。3.4 整式的加减所含字母相同，并且形同字母的指数也相等的项叫做同类项。所有的常数项都是同类项。合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变正负号；括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项都改变正负号。添括号法则：所添括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不改变正负号；所添括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变正负号。去括号和合并同类项是整式加减的基础
9、。整式加减运算的一般步骤是：先去括号，再合并同类项。第4章 图形的初步认识4.1 生活中的立体图形立柱锥体球体棱柱圆柱圆锥棱锥多面体4.2 立体图形的视图视图来自于投影。从正面得到的投影，成为主视图；从上面得到的投影，称为俯视图；从侧面得到的投影，称为侧视图，依投影方向不同，有左视图和右视图。通常把主视图、俯视图与左（或右）视图称做一个物体的三视图。4.3 立体图形的表面展开图4.4 平面图形圆是由曲线围成的封闭图形，而其他线段围成的封闭图形叫做多边形。4.5 最基本的图形点和线线段长方体两个相邻的面交于一条线段，这条线段称为棱；两条相接的棱交于一个点，这个点称为顶点。两点之间，线段最短。经过
10、两点有一条直线，并且只有一条直线。即两点确定一条直线。4.6 角角是由两条有公共端点的射线组成的图形。绕着端点旋转到角的终边和始边成一直线，这时所成的角叫做平角；绕着端点旋转到终边和始边再次重合，这时所成的角叫做周角。从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做角的平分线。两个角的和等于 （直角），就说这两个角互为余角，简称互余。两个角的和等于 （平角），就说这两个角互为补角，简称互补。第5章 相交线与平行线5.1 相交线两条直线相交，只有一个交点。对顶角。对顶角相等。直线AB、CD互相垂直，记作 ，它们的交点O叫做垂足。把其中的一条直线叫做另一条直线的垂线。过一点有且
11、只有一条直线与已知直线垂直。AB与直线l垂直，点B为垂足。点A与直线l上各点的距离长短不一，最短的是线段AB,线段AB叫做点A到直线l的垂线段。从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。处于直线l的同一侧，且分别在直线a、b的同一方，这样位置的一对角就是同位角。处于直线l的不同侧，直线a、b的不同方，这样位置的一对角就是内错角。处于直线l的同一侧，直线a、b的不同方，这样位置的一对角就是同旁内角。5.2 平行线在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。直线a与直线b互相平行，记作 。过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平
12、行。平行线的判定：1.同位角相等，两直线平行。2.内错角相等，两直线平行。3.同旁内角互补，两直线平行。在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。平行线的性质：1. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等。简单地说，就是两直线平行，同位角相等。2. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等。简单地说，就是两直线平行，内错角相等。3. 两直线平行，同旁内角互补。第6章 （七年级下）一元一次方程6.1 从实际问题到方程6.2 解一元一次方程等式的基本性质：1. 等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。如果a=b,那么a+c=b+c, a-c=b-c。2. 等式都乘以（或都除以
13、）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式。如果a=b,那么ac=bc,a/c=b/c(c0)。由等式的性质，可以得到方程的变性规则：1. 方程两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，方程的解不变；2. 方程两边都乘以（或都除以）同一个不等于0的数，方程的解不变。将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，像这样的变形叫做移项。只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，像这样的方程叫做一元一次方程。6.3 实践与探索第7章 一次方程组7.1 二元一次方程组和它的解有两个未知数，并且含未知数项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。把这样的两个方程合在
14、一起，就组成了二元一次方程组。7.2 二元一次方程组的解法通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解，这种解法叫做代入消元法，简称代入法。通过将两个方程的两边分别相加（或相减）消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解，这种解法叫做加减消元法，简称加减法。*7.3 三元一次方程组及其解法7.4 实践与探索第8章 一元一次不等式8.1 认识不等式用不等号“”表示不等关系的式子，叫做不等式。能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。8.2 解一元一次不等式一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集。不等式的性质1 如果ab,那么a+ca+b, a-c
15、b-c。这就是说，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。不等式的性质2 如果ab,并且c0,那么acbc, a/cb/c.不等式的性质3 如果ab,并且c0,那么acbc, a/cn,a0，有 。12.2 整式的乘法单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式。单项式与多项式相乘，将单项式分别乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。多项式乘以多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。12.3 乘法公式两数和乘以这两数的差，这两
16、个特殊的多项式相乘，得到的结果特别简洁： 。两数和的平方： 。两数差的平方公式： 。末尾数字是5的两位数平方的速算法则：末位数字是5的两位数的平方，可以先写出它的十位数与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上25。例如，计算75的平方。因为7*8=56，所以75的平方=5625.可以应用两数和的平方公式来说明：设一个两位数的个位数字是5，十位数字是n，则这个两位数等于10n+5，所以 。12.4 整式的除法单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。1
17、2.5 因式分解把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。多项式ma+mb+mc中的每一项都含有一个相同的因式m，我们称之为公因式。把公因式提出来，多项式ma+mb+mc就可以分解成两个因式m和(a+b+c)的乘积了。像这种因式分解的方法，叫做提公因式法。将乘法公式反过来用，来进行因式分解的，这种因式分解的方法称为公式法。第13章 全等三角形13.1 命题、定理与证明判断某一件事情的语句，像这样表示判断的语句叫做命题。条件。结论。如果条件成立，那么结论一定成立，像这样的命题，称为真命题。条件成立时，不能保证结论总是正确，也就是说结论不成立，像这样的命题，称为假命题。真命题：两点
18、确定一条直线；两点之间，直线最短；过一点有且只有有条直线与已知直线垂直；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。有些命题可以从基本事实或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明。演绎推理是研究数学的一个重要方法。除了基本事实与已知的定理外，等式与不等式的有关性质以及等量代换也可以作为推理的依据。13.2 三角形全等的判定判定三角形全等的一种简便方法：基本事实 两边
19、及其夹角分别相等的两个三角形全等。简记为S.A.S.（或边角边）。判定三角形全等的又一种简便方法：基本事实 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。简记为A.S.A.（或角边角）。两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。简记为A.A.S.（或角角边）。判定三角形全等的第3种简便方法：基本事实 三边分别相等两个三角形全等。简记为S.S.S.（或边边边）。斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。简记为H.L.（或斜边直角边）。13.3 等腰三角形有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。等腰三
20、角形的性质：等腰三角形的两底角相等。（简写成“等边对等角”）等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线互相重合。（简称“三线合一”）三条 边都相等的三角形是等边三角形。等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于 。如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（简写成“等角对等边”）。等边三角形的两个判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于 的等腰三角形是等边三角形。13.4 尺规作图13.5 逆命题与逆定理在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命
21、题就叫做它的逆命题。原命题正确，它的逆命题未必正确。如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理。一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理。线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。上述两条定理互为逆定理，根据上述两条定理，我们就能证明：三角形三边的垂直平分线交于一点。角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等。定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。上述两条定理互为逆定理，根据上述两条定理，我们就能证明：三角形的三条角平分线交于一点。第14章
22、 勾股定理14.1 勾股定理对于任意的三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有 。这种关系称为勾股定理。勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。对于直角三角形的判定，有一般的结论：勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系 ，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角。能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。例如3、4、5,6、8、10, （n为大于1的正整数。）反证法，步骤为：先假设结论的反面是正确的；然后通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，从而说明假设不成立，进而得出原结论正确。14.2 勾股定理的应用
23、第15章 数据的收集与表示15.1 数据的收集用频数这个词来表示每个对象出现的次数，用频率这个词来表示每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）。频数和频率都能够反映每个对象出现的频繁程度。15.2 数据的表示条形统计图、折线统计图和扇形统计图。统计表可以清楚地将数据分门别类地列出来，当数据之间的关系比较复杂时，可以通过增加子栏目继续对数据进行分类统计。条形统计图是用宽度相同的条形的高低或长短来表示数据特征的统计图，它可以直观地反应出数据的数量特征。如果由两个研究对象，常常把这两个对象的相应数据并列表示在同一幅条形统计图中。扇形统计图是用整个圆代表所研究的总体，用圆中各个扇形代表组成总体的
24、各个部分，扇形圆心角的大小反映出各组成部分的数量在总数量中所占份额的大小。折线统计图是用折现表示数量变化规律的统计图。如果关注的是某种现象随时间变化而发生的变化，常常以时间为水平放置的数轴，以折线的起伏直观地反映出数量随时间所发生的相应变化。第16章 （八年级下）分式16.1 分式及其基本性质形如 （A、B是整式，且B中含有字母，B0）的式子，叫做分式。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。整式和分式统称有理式，即 。分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或都除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。分式的约分，即要求把分子和分母的公因式约去。月份后，分子与分母不再有公因式。分子与分母没有
25、公因式的分式称为最简分式。分式的通分，即要求把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式。通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母（叫做最简公分母）。16.2 分式的运算分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简。分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。通分母的分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减。16.3 可化为一元一次方程的分式方程含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程。将方程的两边都乘以同一
26、个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解。所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母。在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含有未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根。因此，在解分式方程时必须进行检验。16.4 零指数幂与负整数指数幂我们规定： =1（a0）。这就是说：任何不等于零的数的零次幂都等于1。一般地，我们规定， （a0, n是正整数）。这就是说，任何不等于零的数的-n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数。用科学计数法表示一些绝对值较大的数，即利用10的正整数指数幂，把一个绝对值较大的数表示成 的形式，其中n
27、是正整数， 。类似地，我们可以利用10的负整数指数幂，用科学计数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成 的形式，其中n是正整数， 。第17章 函数及其图象17.1 变量与函数在某一变化过程中，可以去不同数值的量，叫做变量。一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数。在问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量。17.2 函数的图象可以用一对有序实数来确定平面上点的位置。为此，在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴，这就建立了平面直角坐标系。通常把
28、其中水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上正方向；两条数轴的交点O叫做坐标原点。在平面直角坐标系中，任意一点都可以用一对有序实数来表示。横坐标。纵坐标。依次写出点P的横坐标和纵坐标，得到一对有序实数（3,2），称为点P的坐标。这时点P可记作P（3,2）。在平面直角坐标系中，两条坐标轴把平面分成 四个区域，分别称为第一、二、三、四象限。坐标轴上的点不属于任何一个象限。平面直角坐标系中的点和有序实数对也是一一对应的。一般的说，函数的图象是由平面直角坐标系中一系列的点组成的。图象上每一点的坐标（x,y）代表了函数的一对对应值，它的横坐标x表示自变量的某一个值，纵坐
29、标y表示与该自变量对应的函数值。画函数图象的方法，可以概括为列表、描点、连线三步，通常称为描点法。17.3 一次函数函数的关系式是用自变量的一次整式表示的，称为一次函数。一次函数通常可以表示为y=kx+b的形式，其中k、b是常数,k0。特别地，当b=0时，一次函数y=kx（常数k0）也叫作正比例函数。一次函数y=kx+b（k0）的图象是一条直线。通常也称为直线y=kx+b。特别地，正比例函数y=kx（k0）的图象是经过原点（0,0）的一条直线。一次函数y=kx+b（k0）有下列性质：（1） 若k0，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升；（2） 若k0，y随x的增大而减小，这时函数的图
30、象从左到右下降。这种先设待求函数表达式（其中含有待定系数），再根据条件列出方程或方程组，求出待定系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法。17.4 反比例函数一般地，形如y= （k是常数，k0）的函数叫做反比例函数。反比例函数中，自变量的取值范围是不等于0的一切实数。图象有两支，通常称为双曲线。17.5 实践与探索第18章 平行四边形18.1 平行四边形的性质有两条对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形的性质定理1 平行四边形的对边相等。平行四边形的性质定理2 平行四边形的对角相等。平行线的又一性质：平行线之间处处相等。平行四边形的性质定理3 平行四边形的对角线互相平分。18.2
31、平行四边形的判定平行四边形的判定定理1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。平行四边形的判定定理2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。平行四边形的判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形。第19章 矩形、菱形与正方形19.1 矩形若改变平行四边形的内角，使其一个角恰好为直角，就得到一种特殊的平行四边形，也就是长方形，即矩形。矩形是有一个角为直角的平行四边形。矩形的性质定理1 矩形的四个角都是直角。矩形的性质定理2 矩形的对角线相等。矩形的判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形。矩形的判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形。19.2 菱形菱形是有一组邻边相等的平行四边形。菱形既
32、是中心对称图形，又是轴对称图形，对称轴为它的对角线所在的直线。菱形的性质定理1 菱形的四条边都相等。菱形的性质定理2 菱形的对角线互相垂直。菱形的判定定理1 四条边都相等的四边形是菱形。菱形的判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。19.3 正方形正方形及时中心对称图形，又是轴对称图形，具有如下性质：1. 四条边都相等；2. 四个角都是直角3. 对角线相等且互相垂直平分。因此，正方形可以看成：有一个叫是直角的菱形；有一组邻边相等的矩形。第20章 数据的整理与初步处理20.1平均数平均数。加权平均数。20.2 数据的集中趋势按由低到高的顺序重新排列，用去掉两端逐步接近正中心的方法可以找出处
33、在正中间位置的那个值，即中位数。如果是偶数个（城市），那么最后就将剩下两个处在正中间的数。这时，为了公正起见，我们去这两个数的平均数作为中位数。统计每一个（气温）在这组数据中出现的频数，可以找出频数最多的那个（气温值），它就是众数。若有两个（气温值）的频数并列最多，这时我们说这两个（气温值）都是众数。中位数是概括一组数据的另一种指标，如果将一组数据按由小到大的顺序排列（即使有相等的数据也要全部参加排列），那么中位数的左边和右边恰有一样多的数据。众数告诉我们，这个值出现的次数最多。一组数据可以有不止一个众数，也可以没有众数（当各频数相等时，没有众数）。20.3 数据的离散程度可以用“先平均，再求
34、差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况。这个结果称为方差。通常用 表示各个原始数据，用 表示一组数据的平均数。方差的计算式就是第21章 （九年级上）二次根式21.1 二次根式回顾：当a是正数时， 表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根。当a是零时， 等于0，它表示零的平方根，也叫作零的算术平方根。当a是负数时， 没有意义。概括： 表示非负数a的算术平方根，也就是说， 是一个非负数，它的平方等于a，即有形如 的式子叫做二次根式。当 时， ；当 时， 。21.2 二次根式的乘除一般地，有 。这就是说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根。上面的等式 也可
35、以写成 。这就是说，积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积。一般地，有 。这就是说，两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根。上面的等式 也可以写成 。这就是说，商的算术平方根，等于各因式算术平方根的商。化简后的二次根式被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因数（或因式）的幂的指数都小于2，像这样的二次根式称为最简二次根式。二次根式的除法，要化去分母中的根号，只要将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式就可以了。21.3 二次根式的加减同类二次根式。二次根式的加减，与整式的加减相类似，关键是将同类二次根式合并。二次根式相加减，先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并。第22章 一元
36、二次方程22.1 一元二次方程整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式是 （a、b、c是已知数，a0），其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项。22.2 一元二次方程的解法直接开平方法。因式分解法。通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解。这种解一元二次方程的方法叫做配方法。一元二次方程 的求根公式 。将一元二次方程中系数a、b、c的值，直接代入这个公式，就可以求得方程的根。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。只有当一元二次方程 的系数a、b、c满足条件
37、时才有实数根。因此，可以根据一元二次方程的系数直接判定根的情况。（1） 当 时，方程的右边是一个正数，它有两个不相等的平方根，因此方程有两个不相等的实数根： ；（2） 当 时，方程的右边是0，因此方程有两个相等的实数根， ；（3） 当 时，方程的右边是一个负数，而对于任何实数，方程左边 ，因此方程没有实数根。这里的 叫做一元二次方程根的判别式。通常用符号“ ”来表示，用它可以直接判断一元二次方程 的实数根的情况：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根。*二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程 的两根为 ，那么 ， 。一元二次方程 的根与系数的关系： ， 。22.3 实践与探索第23章 图形的相似23.1 成比例线段把具有相同形状的图形称为相似图形。对于给定的四