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1、-直线与圆的方程测试卷(含答案)-第 9 页直线和圆的方程(满分:150分 时间:120分钟)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若直线x+ay-a=0与直线ax-(2a-3)y-1=0垂直,则a的值为( ) 或1 或0 或02.集合M=(x,y)|y=,x、yR,N=(x,y)|x=1,yR,则MN等于( )A.(1,0) B.y|0y1C.1,0 D.解析：y=表示单位圆的上半圆,x=1与之有且仅有一个公共点(1,0).答案：A3.菱形ABCD的相对顶点为A(1,-2),C(-2,-3),则对角线BD所在直线的方程是 ( )A.3x+y+4=0 B.3x+y-4=0C.
2、3x-y+1=0 D.3x-y-1=0解析：由菱形的几何性质,知直线BD为线段AC的垂直平分线,AC中点O在BD上,故,代入点斜式即得所求.答案：A4.若直线经过点M(cos,sin),则 ( )2+b21 2+b21C. D.解析：直线经过点M(cos,sin),我们知道点M在单位圆上,此问题可转化为直线和圆x2+y2=1有公共点,圆心坐标为(0,0),由点到直线的距离公式,有 答案：D5.当圆x2+y2+2x+ky+k2=0的面积最大时,圆心坐标是( )A.(0,-1) B.(-1,0) C.(1,-1) D.(-1,1)解析：r2=,当k=0时,r2最大,从而圆的面积最大.此时圆心坐标为
3、(-1,0),故选B.答案：B6.过直线y=x上的一点作圆(x-5)2+(y-1)2=2的两条切线l1,l2,当直线l1,l2关于y=x对称时,它们之间的夹角为( )A.30 B.45 C.60 D.90解析：由已知,得圆心为C(5,1),半径为,设过点P作的两条切线的切点分别为M,N,当CP垂直于直线y=x时,l1,l2关于y=x对称,|CP|为圆心到直线y=x的距离,即|CP|=,|CM|=,故CPM=30,NPM=60.答案：C7.在如图所示的坐标平面的可行域(阴影部分且包括边界)内,若是目标函数z=ax+y(a0)取得最大值的最优解有无数个,则a的值等于( )A. 解析：将z=ax+y
4、化为斜截式y=-ax+z(a0),则当直线在y轴上截距最大时,z最大.最优解有无数个,当直线与AC重合时符合题意.又kAC=-1,-a=-1,a=1.答案：B8.已知直线l1:y=x,l2:ax-y=0,其中a为实数,当这两条直线的夹角在(0,)内变动时,a的取值范围是( )A.(0,1) B. C.(,1)(1,) D.(1,)解析：结合图象,如右图,其中=45-15=30,=45+15=60.需a(tan30,1)(1,tan60),即a(,1)(1,).答案：C9.把直线x-2y+=0向左平移1个单位,再向下平移2个单位后,所得直线正好与圆x2+y2+2x-4y=0相切,则实数的值为(
5、)或13 或13 或-13 或-13解析：直线x-2y+=0按a=(-1,-2)平移后的直线为x-2y+-3=0,与圆相切,则圆心(-1,2)到直线的距离,求得=13或3.答案：A10.如果直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my-4=0交于M、N两点,且M、N关于直线x+y=0对称,则不等式组表示的平面区域的面积是( )A. B. 解析：由题中条件知k=1,m=-1,易知区域面积为.答案：A11.两圆与的位置关系是( )A.内切 B.外切 C.相离 D.内含解析：两圆化为标准式为(x+3)2+(y-4)2=4和x2+y2=9,圆心C1(-3,4),C2(0,0).两圆圆心距|C1C2|=5
6、=2+3.两圆外切.答案：B12.方程=k(x-3)+4有两个不同的解时,实数k的取值范围是( )A. B.(,+) C.() D. 解析：设y=,其图形为半圆;直线y=k(x-3)+4过定点(3,4),由数形结合可知,当直线y=k(x-3)+4与半圆y=有两个交点时,.选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若x,y满足约束条件则z=2x-y的最大值为_.解析：作出可行域如图所示.当直线z=2x-y过顶点B时,z达到最大,代入得z=9.答案：914.在y轴上截距为1,且与直线2x-3y-7=0的夹角为的直线方程是_.解析：由题意知斜率存在,设其为k,则直线方程为
7、y=kx+1.则.解得k=5或.直线方程为y=5x+1或y=,即5x-y+1=0或x+5y-5=0.答案：5x-y+1=0或x+5y-5=015.设A(0,3),B(4,5),点P在x轴上,则|PA|+|PB|的最小值是_,此时P点坐标是_.解析：点A关于x轴的对称点为A(0,-3),则|AB|=4为所求最小值.直线AB与x轴的交点即为P点,求得P(,0).答案：4 (,0)16.已知圆M:(x+cos)2+(y-sin)2=1,直线l:y=kx,下面四个命题:对任意实数k与,直线l和圆M相切;对任意实数k与,直线l和圆M有公共点;对任意实数,必存在实数k,使得直线l和圆M相切;对任意实数k,
8、必存在实数,使得直线l和圆M相切.其中真命题的序号是.(写出所有真命题的序号)解析：圆心M(-cos,sin)到直线l:kx-y=0的距离=|sin(+)|(其中tan=k)1=r,即dr,故正确.答案：三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知ABC的三个顶点A(4,-6),B(-4,0),C(-1,4),求:(1)AC边上的高BD所在直线的方程;(2)BC的垂直平分线EF所在直线的方程;(3)AB边的中线的方程.解：(1)易知kAC=-2,直线BD的斜率kBD=.又BD直线过点B(-4,0),代入点斜式易得直线BD的方程为x-2y+4=0.(2)kBC=,kEF=
9、.又线段BC的中点为(,2),EF所在直线的方程为y-2=.整理得所求的直线方程为6x+8y-1=0.(3)AB的中点为M(0,-3),直线CM的方程为.整理得所求的直线方程为7x+y+3=0(-1x0).18.(本小题满分12分)已知圆C与y轴相切,圆心C在直线l1:x-3y=0上,且截直线l2:x-y=0的弦长为2,求圆C的方程.解：圆心C在直线l1:x-3y=0上,可设圆心为C(3t,t).又圆C与y轴相切,圆的半径r=|3t|.,解得t=1.圆心为(3,1)或(-3,-1),半径为3.所求的圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.19.(本小题满分12
10、分)已知等边ABC的边AB所在的直线方程为x+y=0,点C的坐标为(1,),求边AC、BC所在的直线方程和ABC的面积.解：由题意,知直线AC、BC与直线AB均成60角,设它们的斜率为k,则,解得k=0或k=.故边AC、BC所在的直线方程为y=,y=x,如图所示,故边长为2,高为.SABC=.20.(本小题满分12分)圆C经过不同的三点P(k,0)、Q(2,0)、R(0,1),已知圆C在P点的切线斜率为1,试求圆C的方程.解：设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.将P、Q、R的坐标代入,得圆的方程为x2+y2-(k+2)x-(2k+1)y+2k=0,圆心为.又kCP=-1,k=-3.圆
11、的方程为x2+y2+x+5y-6=0.21.(本小题满分12分)过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.解法一:设点M的坐标为(x,y),M为线段AB的中点,A的坐标为(2x,0),B的坐标为(0,2y).l1l2,且l1、l2过点P(2,4),PAPB,kPAkPB=-1.而kPA=kPB=(x1), (x1).整理,得x+2y-5=0(x1).当x=1时,A、B的坐标分别为(2,0)、(0,4),线段AB的中点坐标是(1,2),它满足方程x+2y-5=0.综上所述,点M的轨迹方程是x+2y-5=0.解法二:设M的坐
12、标为(x,y),则A、B两点的坐标分别是(2x,0)、(0,2y),连结PM,l1l2,2|PM|=|AB|.而|PM|=,|AB|=化简,得x+2y-5=0,即为所求的轨迹方程.解法三:设M的坐标为(x,y),由l1l2,BOOA,知O、A、P、B四点共圆,|MO|=|MP|,即点M是线段OP的垂直平分线上的点.kOP=,线段OP的中点为(1,2),y-2=(x-1),即x+2y-5=0即为所求.22.(本小题满分12分)实系数方程f(x)=x2+ax+2b=0的一个根在(0,1)内,另一个根在(1,2)内,求:(1)的值域;(2)(a-1)2+(b-2)2的值域;(3)a+b-3的值域.解：由题意易求A(-1,0)、B(-2,0).由C(-3,1).(1)记P(1,2),kPCkPA,即(,1).(2)|PC|2=(1+3)2+(2-1)2=17,|PA|2=(1+1)2+(2-0)2=8,|PB|2=(1+2)2+(2-0)2=13.(a-1)2+(b-2)2的值域为(8,17).(3)令u=a+b-3,即a+b=u+3.-2u+3-1,即-5u-4.a+b-3的值域为(-5,-4).