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1、-数列通项公式的求法-第 10 页数列通项公式的求法集锦非等比、等差数列的通项公式的求法，题型繁杂，方法琐碎结合近几年的高考情况，对数列求通项公式的方法给以归纳总结。一、 累加法形如 (n=2、3、4.) 且可求，则用累加法求。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。例1. 在数列中，=1， (n=2、3、4) ，求的通项公式。 解： 这n-1个等式累加得：= 故 且也满足该式 ().例2在数列中，=1， (),求。 解：n=1时, =1以上n-1个等式累加得=，故 且也满足该式 ()。二、 累乘法形如 (n=2、3、4)，且可求，则用累乘法求。有时若不能直接用，可变形成这种形
2、式，然后用这种方法求解。例3在数列中，=1，求。解：由已知得 ，分别取n=1、2、3(n-1),代入该式得n-1个等式累乘，即=123(n-1)=(n-1)!所以时，故且=1也适用该式 ().例4已知数列满足=，求。解：由已知得，分别令n=1，2，3，.(n-1),代入 上式得n-1个等式累乘，即= 所以，又因为也满足该式，所以。三、构造等比数列法原数列既不等差，也不等比。若把中每一项添上一个数或一个式子构成新数列，使之等比，从而求出。该法适用于递推式形如=或=或= 其中b、c为不相等的常数，为一次式。例5、（06福建理22）已知数列满足=1，= ()，求数列的通项公式。解：构造新数列，其中p
3、为常数，使之成为公比是的系数2的等比数列即= 整理得：=使之满足= p=1即是首项为=2，q=2的等比数列= = 例6、（07全国理21）设数列的首项，=，n=2、3、4（）求的通项公式。解：构造新数列，使之成为的等比数列即= 整理得：=满足=得 = p=-1 即新数列首项为，的等比数列 = 故 =+1例7、（07全国理22）已知数列中，=2，= （）求的通项公式。解：构造新数列，使之成为的等比数列= 整理得：=+使之满足已知条件 =+2解得 是首项为 的等比数列，由此得例8、已知数列中，=1，=，求数列的通项公式。分析：该数列不同于以上几个数列，该数列中含是变量，而不是常量了。故应构造新数列
4、，其中为常数，使之为公比是的系数2的等比数列。解：构造数列，为不为0的常数，使之成为q=2的等比数列即= 整理得：=满足 = 得 新数列是首项为=，q=2的等比数列 = =例9、（07天津文20）在数列中，=2，= ，求数列的通项。解：构造新数列，使之成为q=4的等比数列，则= 整理得：=满足=，即得新数列的首项为，q=4的等比数列四、构造等差数列法数列既不等差，也不等比，递推关系式形如，那么把两边同除以后，想法构造一个等差数列，从而间接求出。例10（07石家庄一模）数列满足且。求、 是否存在一个实数，使此数列为等差数列？若存在求出的值及；若不存在，说明理由。解：由=81 得=33；又=33得
5、=13；又=13，=5假设存在一个实数，使此数列为等差数列即= = = 该数为常数= 即为首项，d=1的等差数列=2+=n+1 =例11、数列满足= ()，首项为，求数列的通项公式。解：= 两边同除以得=+1数列是首项为=1，d=1的等差数列=1+ 故=例12数列中，=5，且 （n=2、3、4），试求数列的通项公式。解：构造一个新数列，为常数，使之成为等差数列，即 整理得+3l，让该式满足取，得，d=1 ，即是首项为，公差d=1的等差数列。 故 =例13、（07天津理21）在数列中，=2，且 （）其中0，求数列的通项公式。解：的底数与的系数相同，则两边除以得 即是首项为，公差d=1的等差数列。
6、 。五、 取倒数法有些关于通项的递推关系式变形后含有项，直接求相邻两项的关系很困难，但两边同除以后，相邻两项的倒数的关系容易求得，从而间接求出。例14、已知数列，= ， ，求=？解：把原式变形得 两边同除以得是首项为，d=的等差数列故。例15、（06江西理22）已知数列满足，且（）求数列的通项公式。解：把原式变形成 两边同除以得即 构造新数列，使其成为公比q= 的等比数列即整理得： 满足式使 数列是首项为，q= 的等比数列例16（06江西文22）已知各项均为正数的数列满足：，且 求数列的通项公式。解：把原式变形为两边同除以得 移项得：所以新数列是首项为 q=2的等比数列。故 解关于的方程得。六
7、利用公式求通项有些数列给出的前n项和与的关系式=，利用该式写出，两式做差，再利用导出与的递推式，从而求出。例17.(07重庆21题)已知各项均为正数的数列的前n项和为满足1且6= n 求的通项公式。解：由=解得=1或=2，由已知1，因此=2又由=得=0 0 从而是首项为2，公差为3的等差数列，故的通项为=2+3(n-1)=3n-1.例18.(07陕西理22)已知各项全不为0的数列的前k项和为，且=(k)其中=1，求数列的通项公式。解：当k=1时，=及=1得=2； 当k2时，由=得=20=2从而=1+(m-1)2=2m-1 =2+(m-1)2=2m (m) 故=k (k).例19.(07福建文2
8、1)数列的前n项和为，=1， ( n),求的通项公式。解：由=1，=2，当n2时=得=3，因此是首项为=2，q=3的等比数列。故= (n2),而=1不满足该式 所以=。例20.(06全国理22)该数列的前n项和 (n=1、2、3) 求的通项公式。解：由 (n=1、2、3)得= 所以=2 再= （n=2、3）将和相减得：=整理得 （n=2、3）因而数列是首项为,q=4的等比数列。即=，因而。七重新构造新方程组求通项法有时数列和的通项以方程组的形式给出，要想求出与必须得重新构造关于和的方程组，然后解新方程组求得和。例21.（07辽宁第21题）：已知数列，满足=2，=1且（）,求数列，的通项公式。解
9、析：两式相加得 则是首项为，d=2的等差数列，故=3+2(n-1)=2n+1(1)而两式相减得= 则是首项为=1，q=的等比数列，故=(2)联立(1)、(2)得 由此得，。分析该题条件新颖,给出的数据比较特殊，两条件做加法、减法后恰好能构造成等差或等比数列，从而 再通过解方程组很顺利求出、的通项公式。若改变一下数据，又该怎样解决呢？下面给出一种通法。例22.在数列、中=2，=1，且（n）求数列和的通项公式。解析：显然再把与做和或做差已无规律可循。不妨构造新数列其中为的常数。则=+=令得=2或=3 则为首项，q=+2的等比数列。即=2时，是首项为4，q=4的等比数列，故=4=； =3时，是首项为5，q=5的等比数列，故=5=联立二式解得，。注：该法也可适用于例21，下面给出例21的该种解法解：构造新数列，则令得=1或=即=1时，新数列中，=（） 新数列是首项为，d=2的等差数列 =(1)当=时，新数列是首项为=1，q=的等比数列 =(2) 联立(1)、(2) 得 ，。例23.在数列、中，且（n），求、的通项公式。解：构造新数列，则=+=，令得 =或 =5 为首项，q=+5的等比数列即=-3时，是首项为=，q=5+ =2的等比数列，故=；当 =5时，是首项为=6，q=+5=10的等比数列，故=6联立二式得，。