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1、-七年级数学讲义资料-第 - 14 - 页七年级数学各章节知识点汇编七年级上册第一章有理数一、正数与负数1正数与负数表示具有相反意义的量。问：收入+10元与支出-10元意义相反吗？2有理数的概念与分类整数和分数统称有理数，能写成两个整数之比的数就是有理数 。零既不是正数，也不是负数。有限小数和无限循环小数因都能化成分数，故都是有理数。无限不循环小数因为不能化成两个整数之比，固称为无理数，如，/2等。二、数轴1数轴三要素：原点、正方向、单位长度 （另：数轴是一条有向直线）2作用：1）描点：数形结合；2）比较大小：沿着数轴正方向数在逐渐变大；3）直观反映互为相反数的两个点的位置关系；4）绝对值的几
2、何意义；5）有理数都在数轴上，但数轴上的数并非都是有理数。3数轴上点的移动规律：“正加负减”向数轴正方向（或负方向）则对应的数应加（或减）4数轴上以数a和数b为端点的线段中点为a与b和的一半（如何用代数式表示？）三、相反数1 定义：若a+b=0，则a与b互为相反数 特例：因为0+0=0，所以0的相反数是02性质：若a与b互为相反数，则a+b= 0 -a不一定表示负数，但一定表示a的相反数（仅仅相差一个负号）若a与b互为相反数且都不为零， -1 除0以外，互为相反数的两个数总是成双成对的分布在原点两侧且到原点的距离相等。互为相反数的两个数绝对值相等，平方也相等。即：=，四、绝对值1定义：在数轴上
3、表示数a点到原点的距离，称为a的绝对值。记作2法则：1）正数的绝对值等于它本身；2）0的绝对值是0；3）负数的绝对值是它的相反数。即 3.一个数的绝对值越小,说明这个数越接近0（离原点越近）。绝对值最小的有理数是0五、倒数1定义：若ab=1，则a与b互为倒数。注意：因为0乘以任何数都为0，所以0没有倒数。2若a与b互为倒数，则ab=1。3因两数相乘同号才能得正，故互为倒数的两数必定同号。所以负数的倒数肯定还是负数。4求带分数的倒数要先将其化为假分数，再颠倒分子分母位置（有负号的勿忘负号！）5注意：只有当指明时，才能表示的倒数！六、有理数的运算加 减：减去一个数等于加上这个数的相反数！切一刀就搞
4、定加减混合运算要求对型符号化简相当纯熟，你行吗？乘除：除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数！（两数相除也满足同号得正，异号得负的法则）乘方混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；对于同级运算，一般按从左到右的顺序进行；如果有括号的，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. 七、有理数的大小比较1)宏观比较法：正数0负数2)数轴法:在数轴上右边的数总比左边的大.（沿着数轴正方向数在逐渐变大）3)绝对值法:正数绝对值越大，数就越大；负数绝对值越大；数越小。4)作差法:与0作比较.若ab,则a-b0;若a=b,则a-b=0;若ab,则a-bc ,或a+cb ,或b+ca )2、推论：三
5、角形的任意两边之差小于第三边。四、有关三角形边长的综合问题1、等腰三角形：等腰三角形有两相等的腰和一底边，题目中往往并不直接说明腰和底边，因此，解题时要分类讨论，以免丢解。注：根据三角形三边关系，若等腰三角形的腰长为a，则底边长x 的取值范围是：0 x a/2五、三角形的中线、角平分线和高（图表区别） 名称 中线 角平分线 高三角形一个角的平分线与对边相交，顶点与交点的连线段三角形一边上的中点与这边所对的顶点的连线段从三角形的顶点向对边或对边的延长线作垂线，垂足与顶点的连线段 定义形状 线段 线段 线段数量 3条 3条 3条锐角三角形的高均在三角形内；直角三角形斜边上的高在三角形内，另两条高与
6、两条直角边重合；钝角三角形最长边上的高在三角形内，另两条高在三角形外。位置 三角形内部 三角形内部交于同一点，位于三角形内，叫三角形的内心交于同一点，位于三角形内，叫三角形的重心交于同一点，叫三角形的垂心：锐角三角形高的交点位于三角形内部；直角三角形高的交点与直角顶点重合；钝角三角形高的交点在三角形的外部。交点情况六、三角形的稳定性三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，这个性质叫三角形的稳定性。除了三角形外，其它的多边形不具有稳定性，但可以通过连接对角线，把多边形转化为若干个三角形，这个多边形也就具有稳定性了。多边形要具有稳定性，四边形要添一条对角线，五边形要添二条对角线 ，
7、 n边形要添（n-3）条对角线。七、三角形的内角和定理三角形的内角和等于180度。 要会利用平行线性质、邻补角、平角等相关知识推出三角形内角和定理。三角形中，有“大角对大边，大边对大角”性质，即度数较大的角，所对的边就较长，或较长的边，所对的角的度数较大。八、三角形的外角及其性质三角形的每一个内角都有相邻的两个外角，且这两个外角相等（对顶角相等）。一共有六个外角。其中，从与三角形的每一个内角相邻的两个外角中各取一个外角相加（一共三个外角相加），叫三角形的外角和。根据邻补角、三角形的内角和等相关知识，可知：三角形的外角和 = 360 度。性质1、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。性质2
8、、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。（常用于解决角的不等关系问题）锐角三角形两条边上的高相交所成的夹角与第三边所对的角互补；直角三角形两条边上的高相交所成的夹角与第三边所对的角相等；钝角三角形一条钝角边上的高与钝角所对最大边上的高相交所成的夹角与另一钝角边所对的角相等，但若是两条钝角边上的高相交所成的夹角，则与第三边所对的角互补。九、多边形及其内角和、外角和1、概念：由不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接组成的平面图形叫做多边形。 三角形是最简单的多边形。注：、多边形分为凸多边形 和 凹多边形，我们初中阶段只研究凸多边形。凸多边形：整个多边形都在任何一条边所在直线的同一侧，这样的多
9、边形叫凸多边形。、正多边形：各个内角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形。（注：边、角均相等两条件缺一不可）、各边都相等的多边形不一定是正多边形,例如菱形；各内角都相等的多边形不一定是正多边形,例如矩形。2、多边形的内角和定理：n边形内角和等于：（n-2）180 推导方法（1）：由n边形的一个顶点出发，作n边形的对角线，一共可以作(n-3)条对角线，这些对角线把原来的n边形分成了（n-2）个三角形，由三角形的内角和等于180，可得出该n边形的内角和为：（n-2）180推导方法（2）：在n边形的一边上任取一点，由这一点出发，连接n边形的各个顶点（与所取点相邻的两个顶点除外），一共可以作（n-2
10、）条连接线段，这些线段把原来的n边形分成了（n-1）个三角形，但却多出了一个平角，所以，该n边形的内角和为：（n-1）180- 180= （n-2）180推导方法（3）：在n边形内任取一点,由这一点出发,连接n边形的各个顶点,一共可以作n条连接线段,这些线段把原来的n边形分成了n个三角形，但中间却多出了一个周角，所以，该n边形的内角和为：n 180- 360= （n-2）180注：、正n边形的每一个内角都等于（n-2）180/n 、多边形的内角和是180的整倍数。 、若多边形的边数增加n条，则它的内角和增加n180 、若多边形的边数扩大2倍，则它的内角和增加n180 、若多边形的边数扩大m倍，
11、则它的内角和增加(m-1)n1803、多边形的外角和：多边形的外角和是一个定值，恒等于360。 指的是取多边形每一个顶点处的一个外角相加的和，故n边形的外角和指的是n个外角相加的和。 多边形的外角和与边数无关。注：、n边形有n(n-3)/2 条对角线。 、在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时，常与方程思想相结合，运用方程思想是解决本节运算的常用方法。、在解决握手次数、通电话次数以及单循环赛比赛场数问题时，可以建立多边形模型，此类问题即为 多边形的边数 + 对角线的条数十、镶嵌 当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就能拼成一个平面图形。1、用同一种多边形镶嵌：这
12、种多边形可以不是正多边形（例如三角形、长方形、平行四边形、菱形、梯形等），也可以是正多边形（例如正三角形、正方形、正六边形）。 三角形，四边形均可单独镶嵌。2、用多种多边形镶嵌：则每种多边形必须是正多边形。第八章 二元一次方程组 一、二元一次方程组1、概念：二元一次方程：含有两个未知数，且未知数的指数（即次数）都是1的方程，叫二元一次方程。 二元一次方程组：两个二元一次方程（或一个是一元一次方程，另一个是二元一次方程；或两个都是一元一次方程；但未知数个数仍为两个）合在一起，就组成了二元一次方程组。2、二元一次方程的解和二元一次方程组的解： 使二元一次方程左右两边的值相等（即等式成立）的两个未知
13、数的值，叫二元一次方程的解。 使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫二元一次方程组的解。注：、因为二元一次方程含有两个未知数，所以，二元一次方程的解是一组（对）数，用大括号联立；、一个二元一次方程的解往往不是唯一的，而是有许多组；、而二元一次方程组的解是其中两个二元一次方程的公共解，一般地，只有唯一的一组，但也可能有无数组或无解（即无公共解）。二元一次方程组的解的讨论：3、用含一个未知数的代数式表示另一个未知数： 用含X的代数式表示Y，就是先把X看成已知数，把Y看成未知数；用含Y的代数式表示X，则相当于把Y看成已知数，把X看成未知数。4、根据二元一次方程的定义求字母系
14、数的值：要抓住两个方面：、未知数的指数为1，、未知数前的系数不能为0例：已知方程 (a-2)x(/a/-1) (b+5)y(b2-24) = 3 是关于x、y的二元一次方程，求a、b的值。5、求二元一次方程的整数解二、二元一次方程组的解法消元 （整体思想就是：消去未知数，化“二元”为“一元”）1、代入消元法：由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。注：代入法解二元一次方程组的一般步骤为： 、从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数
15、式表示出来；、将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦！），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；、解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；、将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值；、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解。2、加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数前的系数相反或相等（或利用等式的性质可变为相反或相等）时，将两个方程的左右两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫加减消元法，简称加减法。注：加减法解二元一次方程组的一般步骤为： 、方程组
16、的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等；、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解。3、用换元法解方程组：根据题目的特点，利用换元法简化求解，同时应注意换元法求出的解要代回关系式中，求出方程组中未知数的解。4、用整体代入法解方程组：三、实际问题与二元一次方程组1
17、、利用二元一次方程组解实际应用问题的一般过程为：审题并找出数量关系式 设元（设未知数） 根据数量关系式列出方程组 解方程组 检验并作答（注意：此步骤不要忘记）2、列方程组解应用题的常见题型： （1）、和差倍分问题：解这类问题的基本等量关系式是：较大量 - 较小量 = 相差量 ，总量 = 倍数 倍量； （2）、产品配套问题：解这类题的基本等量关系式是：加工总量成比例； （3）、速度问题：解这类问题的基本关系式是：路程 = 速度 时间，包括相遇问题、追及问题等； （4）、航速问题：、顺流（风）：航速 = 静水（无风）时的速度 + 水（风）速； 、逆流（风）：航速 = 静水（无风）时的速度 水（风）
18、速； （5）、工程问题：解这类问题的基本关系式是：工作总量 = 工作效率工作时间，（有时需把工作总量看作1）； （6）、增长率问题：解这类问题的基本关系式是：原量（1+增长率）= 增长后的量，原量（1-减少率）= 减少后的量； （7）、盈亏问题：解这类问题的关键是从盈（过剩）、亏（不足）两个角度来把握事物的总量； （8）、数字问题：解这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示； （9）、几何问题：解这类问题的基本关系是有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式； （10）、年龄问题：解这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数相等。四、三元一次方程组的解法1、概念：由三个方程组
19、成方程组，且方程组中共含有三个未知数，每个方程中含有的未知数的次数都是1次，这样的方程组叫三元一次方程组。注：三元一次方程组中的三个方程并不一定都是三元一次方程，只需满足“方程组中共含有三个未知数”的条件即可。2、解三元一次方程组的基本思想：一元一次方程消元(代入法、加减法)二元一次方程组消元(代入法、加减法)三元一次方程组 第九章 不等式与不等式组 一、不等式1、概念：利用不等符号连接的式子叫不等式。 不等符号有：、 2、一元一次不等式：含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫一元一次不等式。不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫这个不等式的解的集合，简称解集。 而求不等式
20、解集的过程叫做 解不等式。3、不等式的性质：性质 、不等式左右两边加（减）同一个数（式），不等式仍然成立（不等号的方向不变）；性质 、不等式左右两边乘以（除以）同一个正数，不等式仍然成立（不等号的方向不变）；性质 、不等式左右两边乘以（除以）同一个负数，不等号的方向改变。注：不等式左右两边同乘或同除以一个数或已知符号的式子时，这个数或式子的值绝对不能是零，否则无意义；注意要与等式的性质相区别：最大区别就是 不等式两边同时乘以或除以一个负数时，不等号要改变方向。4、运用不等式的性质比较大小：5、不等式与方程、方程组的结合： 6、解一元一次不等式的方法与步骤：同于解一元一次方程，都是：去分母去括号
21、移项合并同类项未知数系数化为1二、实际问题与一元一次不等式：列不等式解实际应用问题，和列方程解实际应用问题一样，基本思路都是：审设列解答。 其中，审题与找出题中的不等量关系是列一元一次不等式的关键，找题中不等关系时要着重理解题中的关键字、句，如“便宜”、“提前”、“不超过”、“不低于”、“至多”等等。此外，解出不等式的解集后，要加以检验，看所得的解集符不符题目的实际意义。三、一元一次不等式组：1、概念：几个一元一次不等式组成的不等式组叫一元一次不等式组。 一般的，组成不等式组的几个不等式用大括号联立起来。2、一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组里所有不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。 如果没有公共部分，则这个一元一次不等式组无解（或叫空集）。 而求一元一次不等式组解集的过程叫做解不等式组。3、一元一次不等式组的解法：两个步骤：、分别求出不等式组中各个不等式的解集；、利用数轴表示出这些不等式解集的公共部分，即为这个不等式组的解集。口诀：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小没得找（即无解）。4、列不等式组解实际应用题：一般步骤：审题设未知数列不等式组解不等式组检验、作答 。注：利用不等式组解决实际问题时，关键在于根据实际问题中的等量关系、不等关系列出方程或不等式组，要把所有的等量关系、不等关系找全。5、不等式组的应用：6、不等式组与方程组的应用：