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1、-全国高中数学联赛模拟试题-第 8 页2017暑期培训课程-联赛模拟试卷_班_号 姓名_第一试一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分1不等式的解集是 答案：解：设，则原不等式化为，即结合得，于是2设为方程的一个虚根，则 答案：解：由题意知，又为方程的一个虚根，故，所以，即而3设，且，则的最小值为 答案：解：令，由，知，则方程可化为，即，解得（舍去）从而，所以，当且仅当，时取等号4在中随机选取三个数，从小到大排列后能构成等差数列的概率是 答案：解：设选取的三个数为，由知对于给定的，可取，共种选择因此，对所有满足条件的，三数从小到大排列后能构成等差数列的个数为所以，三数从小到排列后能成等
2、差数列的概率为5已知某四面体的四个面都是边长为，的三角形，则以该四面体六条棱的中点为顶点的八面体的体积是 答案：解：如图，矩形中，容易验证四面体满足条件，此时，四面体六条棱的中点为顶点的八面体是又 易得，所以6锐角、满足，则的值是 答案：解：由已知得，整理得，即，又、为锐角，所以，从而，又，所以，即7已知椭圆的左右焦点分别为与，点在直线上当取最大值时，与的比值等于 答案：解：由平面几何知，要使最大，则过，三点的圆必定与直线相切于点直线交轴于，则，即，从而又由圆幂定理，而，从而有，代入、得， 8若形如的五位数满足：、均能被37整除，则满足条件的五位数的个数是 答案：解：注意到，设，则，由于且，则
3、若、中有一个被整除，则其余两个也被整除因此，所有满足题意的的个数（即相应的的个数）为二、解答题：本大题共3小题，共56分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤9（本题满分16分） 证明：为直角三角形的充分必要条件是证明：（必要性）不妨设，则（充分性）证法一：若，则正弦定理得故，即因此，同理，若、均为正，则，由得因此，矛盾又由、均非负，知、中有一个为证法二：由、均非负，知、中有一个为，其所对应的角为直角10（本题满分20分） 求所有的函数，对于所有整数，满足且 解：将代入式得由此得或先考虑的情形将代入式得，即所以，另一方面，将代入式得此时，对于推出的情形不成立因此，不可能再考虑的情形用代替代入式
4、得对所有的成立取，得故对任一整数有所以，此函数为偶函数如前所述，将代入式得若为正整数，则由数学归纳法可证明，对所有的正整数，有是唯一的解（唯一是因为每个函数值取决于先前的两个值）因为函数为偶函数，所以，对于任意的整数，有，且是满足式的唯一函数11（本题满分20分） 在抛物线的图像上内接一个梯形，其中，对角线与交于点，设点到底边、的中点的线段长分别为、求梯形的面积解：如右图，由题意知设，则，从而，由、分另为边、的中点得而为梯形对角线的交点，易知、三点共线（如可用塞瓦定理证明），即，且轴令表示（或）与轴正向的夹角于是，过点作则所以，则设则，故则，故加试一、（本题满分40分）设均为正实数，求的最小值
5、解：由知，同理，所以；又（柯西不等式） 所以的最小值为，当且仅当时取等号二、（本题满分40分）已知的内心为，三个内角的角平分线分别为、，线段的中垂线分别与、交于点、证明：、四点共圆证明：要证、四点共圆，只需证：如图，设线段的中点为，则下面只需再证设的外接圆与线段中垂线的交点为（位于不包含点的弧上）于是从而，这表明，点位于的角平分线上。因而，点与重合所以，、四点位于同一圆周上故从而，、四点共圆三、（本题满分50分）组合在座城市之间有两种方式的飞行航线被执行：任意一座城市至少和七座城市有直航；任意两座城市可以通过有限次直航来连接求最小的整数，使得无论如何安排满足条件的航线，任意一座城市到任意其他城
6、市最多可以经过次直航到达解：首先证明：若，不妨设有两座城市、间至少经过次到达设城市到的一个最短连接路线为因为每一座城市至少和七座城市有直航连接，所以城市与与除以外至少六座城市有直航连接，与除以外至少五座城市有直航连接设，分别与城市、有直航连接，且不属于城市的所有城市组成的集合为易知，又，否则，城市、之间有更短连接路线故，矛盾所以，其次证明：对，取座城市与城市集合当时，；当时，且对，中不包括城市对，城市、与集合中的所有城市有直航连接；城市、集合与中所有城市有直航连接；城市、与集合中所有城市有直航连接；集合中任意一座城市除与上述的城市有直航连接，与且仅与集合中其余城市有直航连接；城市与有直航连接这样，城市至少与七座城市有直航连接，集合中任意一座城市均只与七座城市有直航连接，且城市至少经过次直航来连接因此，四、（本题满分50分） 求所有的实数，使得、均为完全平方数 解：首先证明：为正整数 由已知，设， 则，显然，不是解 故 设则 必有所以，又，则，且为正整数当时，满足条件当时，再验证，即事实上，故，即因此，只有当为奇数时，才可能有解代入式有，即两边同乘以并模得，即这与矛盾故当时，无解综上，只有满足题意