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1、一、 f(x)Pm(x)ex型,二、f(x)=elxPl(x)coswx+Pn(x)sinwx型,12.9 二阶常系数非齐次线性微分方程,上页,下页,铃,结束,返回,首页,方程ypyqyf(x)称为二阶常系数非齐次线性微分方程 其中p、q是常数 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解yY(x)与非齐次方程本身的一个特解yy*(x)之和 yY(x)y*(x),提示,=Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)ex,Q(x)+2Q(x)+2Q(x)ex+pQ(x)+Q(x)ex+qQ(x)ex,一、 f(x)Pm(x)ex 型,y*Q(x)ex,设方程ypyqyPm(x)ex 特
2、解形式为,下页,Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x) (),则得,Q(x)exQ(x)exqQ(x)ex,y*py*qy*,提示,此时2pq0 要使()式成立 Q(x)应设为m次多项式 Qm(x)b0 xmb1xm1 bm1xbm,(1)如果不是特征方程r2prq0的根 则,y*Qm(x)ex,下页,一、 f(x)Pm(x)ex 型,y*Q(x)ex,设方程ypyqyPm(x)ex 特解形式为,Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x) (),则得,提示,此时2pq0 但2p0 要使()式成立 Q(x)应设为m1次多项式 Q(x)xQm(x) 其中Qm(x)b0 xm
3、 b1xm1 bm1xbm,(2)如果是特征方程r2prq0的单根, 则,y*xQm(x)ex,下页,(1)如果不是特征方程r2prq0的根 则,y*Qm(x)ex,一、 f(x)Pm(x)ex 型,y*Q(x)ex,设方程ypyqyPm(x)ex 特解形式为,Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x) (),则得,提示:,此时2pq0 2p0 要使()式成立 Q(x)应设为m2次多项式 Q(x)x2Qm(x) 其中Qm(x)b0 xmb1xm1 bm1xbm,(3)如果是特征方程r2prq0的重根, 则,y*x2Qm(x)ex,下页,(2)如果是特征方程r2prq0的单根, 则,y
4、*xQm(x)ex,(1)如果不是特征方程r2prq0的根 则,y*Qm(x)ex,一、 f(x)Pm(x)ex 型,y*Q(x)ex,设方程ypyqyPm(x)ex 特解形式为,Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x) (),则得,结论,二阶常系数非齐次线性微分方程 ypyqyPm(x)ex 有形如 y*xkQm(x)ex 的特解 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式 而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2,下页,提示,因为f(x)Pm(x)ex3x1 0不是特征方程的根 所以非齐次方程的特解应设为 y*b0 xb1 把它代入所给方程
5、得,例1 求微分方程y2y3y3x1的一个特解,解,齐次方程y2y3y0的特征方程为r22r30,b0 xb12b0 xb13b0 xb1,3b0 x2b03b1,2b03b0 x3b1,3b0 x2b03b13x1,提示,3b03 2b03b11,特解形式,例2 求微分方程y5y6yxe2x的通解,解,齐次方程y5y6y0的特征方程为r25r 60,其根为r12 r23,提示,齐次方程y5y6y0的通解为YC1e2xC2e3x ,因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根 所以非齐次方程的特解应设为 y*x(b0 xb1)e2x 把它代入所给方程 得,2b0 x2b0b1x,提示
6、,2b01 2b0b10,特解形式,首页,例2 求微分方程y5y6yxe2x的通解,解,齐次方程y5y6y0的特征方程为r25r 60,其根为r12 r23,2b0 x2b0b1x,因此所给方程的通解为,因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根 所以非齐次方程的特解应设为 y*x(b0 xb1)e2x 把它代入所给方程 得,特解形式,二阶常系数非齐次线性微分方程 ypyqyexPl(x)cosxPn(x)sinx 有形如 y*xkexR(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx 的特解 其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式 mmaxl n 而k按i(或i)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1,二、f(x)=elxPl(x)coswx+Pn(x)sinwx型,下页,结论,解,结束,特解形式,例3 求微分方程yyxcos2x的一个特解,因为f(x)exPl(x)cosxPn(x)sinxxcos2x i2i不是特征方程的根 所以所给方程的特解应设为,齐次方程yy0的特征方程为r210,把它代入所给方程 得,y*(axb)cos2x(cxd)sin2x,(3ax3b4c)cos2x(3cx4a3d)sin2xxcos2x,