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1、-基于古塔变形问题的数学模型_大学生数学建模竞赛-第 26 页2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模竞赛参赛规则（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章
2、程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： Y4904 所属学校（请填写完整的全名）： 杨凌职业技术学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 李策 2. 路开 3. 李延枫 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 张 涛 （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容
3、请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期： 2013 年 9 月 16 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：基于古塔变形问题的数学模型摘要本文主要通过建立数学模型来探讨古塔的变形情况以及未来的变形趋势。首先通过建立解析几何模型确定古塔各层的中心坐标，然后利用Matlab软件进行多项式拟合得到各层中心坐标的曲
4、线方程，最后借助此曲线方程计算得倾斜、弯曲、扭曲等各个变形量，并绘制出各层的位移沉降折线图，通过这些图形的变化趋势并结合各个变形量之间的关系，我们预测出古塔未来的变形趋势。针对问题一：我们根据题中给出的数据和条件，结合对古塔实际观测点，通过Matlab绘图软件确定古塔形状为八角形，从而建立起解析几何模型，并用Excel电子表格计算每层八点坐标的平均值，进而确定各次测量的古塔各层中心坐标。 针对问题二：首先由问题一中所计算出的各层中心坐标，对于各个测量年份而言，将三维曲线转换为二维曲线，利用matlab软件对各层中心点坐标进行多项式（曲线）拟合，根据拟合出的曲线，取得该曲线的xyz三个旋转角度，
5、即倾斜（z轴与xy平面的夹角），弯曲（曲线的曲率），扭曲（绕z轴的旋转角度）等，记为、K、。针对问题三：利用题中所给数据，绘制各测量年份的各层位移沉降折线图，观察其倾斜趋势，并进行预测；结合问题二中曲线曲率和扭曲角度，联系测量年份，分别利用多项式拟合得到各自与测量年份的关系式，进而更好地预测出弯曲、扭曲的变形趋势。最后，综合分析各个变形量的趋势，并对模型进行评价推广。关键词： 中心坐标 matlab软件 多项式拟合 一 问题重述古塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的东方传统建筑，是中国五千年文明史的载体之一，为祖国城市山林增光添彩，矗立在大江南北的古塔，被誉为中国古代杰出的高层建筑。1
6、古塔由于长时间经过各种自然环境的影响，必然会产生变形。文物部门为了更好地保护古塔，必须对其进行适时的观测，确定各种变形量，根据变形量，预测古塔的变形趋势，最后制定必要的保护措施。因此，根据上述信息，我们讨论以下问题：1、建立数学模型，研究古塔各层中心位置的通用方法，并列表确定各次测量的古塔各层中心坐标。2、分析古塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。3、综合各种变形情况，分析古塔未来的变形趋势。二 问题分析本文研究的是古塔的变形问题。题中古塔的变形主要包括倾斜、弯曲、扭曲。首先，根据题中给出的数据和条件，确定各次测量的古塔各层中心坐标；然后对各个测量年份依次分析，将三维曲线转换为二维曲线，利用matl
7、ab软件对各层中心点坐标进行多项式（曲线）拟合，根据拟合出的曲线，计算倾斜、弯曲、扭曲三个变形量的大小关系；最后绘制各测量年份的各层位移沉降折线图，并分别利用多项式拟合得到各自与测量年份的关系式，从而更好地预测古塔未来的变形趋势。三 模型建设1假设每层各个点都在同一平面内；2假设古塔在各种自然环境作用下，不发生破坏；3. 假设倾斜只受地基的沉降影响，忽略其他因素。四 符号说明（x,y,z）中心坐标每层第i个点x轴的坐标每层第j个点y轴的坐标每层第k个点z轴的坐标A侧面的横坐标K曲率T年份倾斜角度扭曲角度五 模型建立与求解5.1关于问题一的模型建立与求解：根据题中给出的数据和条件，我们利用Mat
8、lab绘图软件可以得出题中的古塔为八角形古塔:假设每层各个点都在同一个平面内，根据简单的解析几何的方法确定各次测量的古塔各层中心坐标。可得中心坐标（x,y,z）的通用公式：x=y=z=根据上式，用Excel电子表格计算每层八点坐标的平均值,确定各次测量的古塔各层中心坐标。如表1如下： 表1 各次测量的古塔各层中心坐标年份坐标层数1986年1996年2009年2011年1（566.6648, 522.7105, 1.787375）(566.665, 522.7102, 1.783)（566.7268, 522.7015, 1.7645）(566.727, 522.7014, 1.76325)2（
9、566.7196, 522.6684, 7.32025）(566.7205, 522.6674, 7.314625)(566.764, 522.6693, 7.309 )(566.7642, 522.669, 7.2905)3(566.7735,522.6273,12.75525)(566.7751, 522.6256, 12.75075)(566.8001, 522.6384, 12.73225)（566.8004, 522.6387, 12.72688）4(566.8161, 522.5944, 17.07825)（566.8183, 522.5922, 17.07513）(566.829
10、3, 522.6132, 17.06975)（566.8297, 522.6127, 17.052）5(566.8621, 522.5591, 21.7205)（566.8649, 522.5563, 21.716）(566.8604, 522.5866, 21.70938)（566.861, 522.586, 21.70388）6(566.9084, 522.5244, 26.23513)（566.9118, 522.521, 26.2295）(566.9471, 522.5342, 26.211)（566.9478, 522.5335, 26.2045）7(566.9468, 522.50
11、81, 29.83688)（566.9506, 522.5042, 29.83225）(566.9792, 522.5123, 29.82463)（566.98, 522.5115, 29.817）8(566.9843, 522.4924, 33.35088)（566.9884, 522.4881, 33.34538）(567.0305, 522.4797, 33.33988)（567.0313, 522.4788, 33.33663）9(567.0218, 522.4764, 36.85488)（567.0265, 522.4714, 36.84825）(567.0816, 522.4466
12、, 36.84375)（567.0825, 522.4457, 36.82225）10(567.0569, 522.4624, 40.17213)（567.062, 522.4572, 40.16763）(567.137, 522.3937, 40.16113)（567.1381, 522.3926, 40.14413）11(567.1045, 522.423, 44.44088)（567.1102, 522.4173, 44.43538）(567.1799, 522.3547, 44.43263)（567.181, 522.3535, 44.42488）12(567.1518, 522.38
13、36, 48.71188)（567.1578, 522.3775, 48.70738）(567.2225, 522.316, 48.69975)（567.2238, 522.3147, 48.68388）13(567.085, 522.7403, 52.83429)（567.0912,522.734，52.83）(567.2712, 522.2715, 52.81838)（567.2725, 522.2701, 52.81313）塔尖(567.2473, 522.2438, 55.12325)（567.2544, 522.2367, 55.11975）(567.336, 522.2148, 5
14、5.091)（567.3375, 522.2135, 55.087）5.2关于问题二的模型建立与求解：根据问题一，我们得出各次测量的古塔各层中心坐标，如图1所示：图1由图1，可以看出图中后两点偏差较大，所以拟合时将其忽略。由于中心坐标为三维坐标，所以不能将各层中心坐标进行三维多项式拟合。2首先，我们要将三维转换成二维进行计算，令A=,进而让三维坐标转换成二维坐标；分别作面的投影，然后将各层二维坐标进行多项式拟合。拟合程序见附录，拟合图像如图2所示：图2通过拟合得到：z= 21794.387 A-50411386.903A+38867927591.030A-9989249763219.082倾斜
15、(z轴与xy平面的夹角)：对z求一阶导z=65383.161A-100822773.806A+38867927591.030=tan()=arctan(65383.161A-100822773.806A+38867927591.030)弯曲（曲线的曲率）：对z求二阶导z=130766.322A-100822773.806 3扭曲（绕z轴的旋转角度）:我们先做出古塔俯视图（即xoy面的曲线），如图3所示：图根图3据观察可得出，前10个点基本在同一条直线上，受扭曲的影响较小，所以我们用这10个点可以拟合出一条直线函数作为不受扭曲的参照直线，再连接第一层塔心和塔尖的塔心得到另一条直线，两条直线所成的
16、夹角即为扭曲角度。1986年前十组中心坐标拟合图如图4图4前10点拟合图方程：y= -0.6425x+886.7750同时，我们可以求出连接第一层塔心和塔尖的塔心所得到的另一条直线的方程： x=566.6648,567.2473; y=522.7105,522.2438; polyfit(x,y,1)ans = -0.8012 976.7233即y=-0.8012x+976.7233计算两条直线所成夹角（）：tan=0.1048=arctan(0.1048)5.9828同理得1996年拟合图如图5所示:图5拟合可得：z= 21370.001 A-49429783.860A+3811111183
17、1.081A-9794748160971.658倾斜(z轴与xy平面的夹角)：对z求一阶导z=64110.003A- 98859567.72A+38111111831.081=tan()=arctan(64110.003A- 98859567.72A+38111111831.081)弯曲（曲线的曲率）：对z求二阶导z=128220.006A-98859567.72K=计算扭曲（即绕z轴的旋转角度）：1996年前十组中心坐标拟合图如图6图6 前10点拟合图方程：y= -0.6472x+889.4415同时，我们可以求出连接第一层塔心和顶尖的塔心所得到的另一条直线的方程：即y=-0.8034x+9
18、77.9458计算两条直线所成夹角（）：tan=0.1028=arctan(0.1028)5.8673同理2009年拟合图像如图7所示:图7拟合可得：z= 128823.49 A-297978795.54A+229749413861.65A-59047594420594.91倾斜(z轴与xy平面的夹角)：对z求一阶导z=386470.47A- 595957591.08A+229749413861.65=tan()=arctan(386470.47A- 595957591.08A+229749413861.65)弯曲（曲线的曲率）：对z求二阶导z=772940.94A-595957591.08K
19、=计算2009年扭曲（绕z轴的旋转角度）:2009年前十组中心坐标拟合图如图8图8前10点拟合图方程：y= -0.7170x+929.0644同时，我们可以求出连接第一层塔心和顶尖的塔心所得到的另一条直线的方程：y=-0.7989x+975.4690计算两条直线所成夹角（）：tan=0.0521=arctan(0.0521) 2.9824 同理2011年拟合图如图9所示:图9拟合可得：z= 128358.73A-296903805.25A+228920599111.73A-58834589739854.68倾斜(z轴与xy平面的夹角)：对z求一阶导z=385076.19A- 593807610
20、.5A+228920599111.73=tan()=arctan(385076.19A- 593807610.5A+228920599111.73)弯曲（曲线的曲率）：对z求二阶导z=770152.38A-593807610.5K=计算2011年扭曲（绕z轴的旋转角度）: 2011年前十组中心坐标拟合图如图10所示。图10前10点拟合图方程：y= -0.7181x+929.6627同时，我们可以求出连接第一层塔心和顶尖的塔心所得到的另一条直线的方程：即y=-0.7992x+975.6189计算两条直线所成夹角（）：tan=0.0515=arctan(0.0515)2.94815.3关于问题三的
21、模型建立与求解：5.3.1对古塔倾斜的分析：古塔的倾斜主要是由于地基沉降产生。根据题中给出的数据和条件，我们可以绘制出各期的各层位移沉降曲线图，如图11所示：图11由各层的沉降图，我们可以看出20092011的沉降图（黄色折线图）大部分沉降差比较大。各个沉降差基本都大于0。结论1：随着观测年份的增加，倾斜角度逐渐增大。5.3.2对于古塔弯曲的趋势的分析：通过问题二的计算，我们得出四次测量时，古塔弯曲程度随着层数不同而不同，很难找出通用公式，所以我们取古塔中部作为研究对象来反映古塔弯曲的趋 势。取第七层四次测量的中心坐标：1986年中心坐标(566.9468, 522.5081, 29.8368
22、8)；1996年中心坐标（566.9506, 522.5042, 29.83225）；2009年中心坐标(566.9792, 522.5123, 29.82463)；2011年中心坐标（566.98, 522.5115, 29.817）；由A=，依次得出：A=771.0015 A=771.0017 A=771.0282 A=771.0283代入问题二中各年份的曲率公式中可得：K=8.4096 K=8.3641K=3.7786 K=5.7690将以上四点进行多项式拟合，如图12所示：图12弯曲（曲线的曲率）与年份的关系：K=0.000000002771248T-0.000016630193912
23、T+0.033265008131802T-22.19216231310239 结论2：由图可知，随着观测年份的增加，弯曲（曲线的曲率）随之减小。5.3.3古塔扭曲的趋势的分析： 通过问题二，我们可以得出四次测量时古塔的扭曲角度，分别为5.9828、5.8673、2.9824、2.9481。将其拟合图像如图13所示：图13扭曲（绕z轴的旋转角度）与年份的关系： =0.000911894T-5.472302482T+10946.210671130T-7298357.507072766结论3：由图可知，随着观测年份的增加，扭曲（绕z轴的旋转角度）随之减小。综上所述，我们认为随着观测年份的增加，倾斜角
24、度逐渐增大；弯曲（曲线的曲率）逐渐减小；扭曲角度逐渐减小。六 模型推广 针对古塔变形，运用拟合的方法，我们可以建立各个变形量与测量年份的函数关系。对古塔观测数据的拟合可以得到准确而切合实际的结论。因此，可以将其推广到一般的古建筑中。但是由于在拟合过程中，我们仅仅考虑几种主要的变形因素，而忽略其他的不定因素，因此，我们需要建立一个综合各种因素影响的模型。七 模型评价7.1 模型的优点（1）运用的模型简单易懂，有很好的实际指导意义。（2）运用表格和图像相结合，对于结果的分析更加清晰。（3）数学软件Matlab和Excel软件的运用提高了结果的可行度，数据更加精确。7.2 模型的缺点（1）本题对数据
25、依赖性比较大，只是对题中所给数据做了一个理想化的模型可能与实际不相吻合。（2）针对问题三，我们建立的拟合模型也只是一个预测模型，在实际生活中会有各方面的影响，因此通过我们所建立的模型只能大致体现一个发展趋势而无法精确地描述其发展趋势。八 参考文献12 赵静 但琦，数学建模与数学实验第三版，北京市：高等教育出版社，2007年6月。3 侯风波，高等数学，北京市：教育科学出版社，2012年4月。九 附录问题一：Matlab软件程序： x=565.454,562.058,561.39,563.782,567.941, 571.255,571.938, 569.5, 569.5,562.238,561.
26、663,564.001,567.995,571.165,571.801,569.414,565.506,562.415, 561.931,564.216,568.048,571.076,571.666,569.33; y=528.012,525.544,521.447,518.108,517.407,519.857,523.953,527.356,527.764 ,525.364,521.42, 518.226,517.563,519.961,523.908,527.141,527.52,525.188,521.394,518.343, 517.716,520.063, 523.864,526
27、.93; z=1.792,1.818,1.783,1.769,1.772,1.77,1.794,1.801,7.326,7.351,7.314,7.301,7.306, 7.304,7.324,7.336,12.761,12.786,12.749, 12.736,12.741, 12.74, 12.758,12.771; plot3(x,y,z)各次测量的古塔各层中心坐标计算表格1986年观测数据层点坐标x/my/mz/m11565.454528.0121.7922562.058525.5441.8183561.39521.4471.7834563.782518.1081.7695567.94
28、1517.4071.7726571.255519.8571.777571.938523.9531.7948569.5527.3561.801平均值566.6648522.71051.78737521565.48527.7647.3262562.238525.3647.3513561.663521.427.3144564.001518.2267.3015567.995517.5637.3066571.165519.9617.3047571.801523.9087.3248569.414527.1417.336平均值566.7196522.66847.3202531565.506527.5212.
29、7612562.415525.18812.7863561.931521.39412.7494564.216518.34312.7365568.048517.71612.7416571.076520.06312.747571.666523.86412.7588569.33526.9312.771平均值566.7735522.627312.7552541565.526527.32717.0842562.555525.04717.1093562.144521.37317.0724564.387518.43517.0595568.091517.83817.0646571.005520.14417.06
30、37571.558523.82917.0818569.263526.76217.094平均值566.8161522.594417.0782551565.548527.11921.7262562.706524.89621.7513562.373521.35121.7144564.571518.53421.7015568.136517.96921.7056570.929520.23221.7087571.443523.79121.7238569.191526.58121.736平均值566.8621522.559121.720561565.57526.91526.2672562.854524.74
31、826.3093562.6521.32926.3084564.752518.63226.2645568.18518.09526.1896570.857520.31526.1367571.333523.75526.1648569.121526.40626.244平均值566.9084522.524426.2351371565.671526.65229.8692563.132524.58529.9113562.883521.35629.914564.949518.84629.8665568.172518.34629.7916570.679520.44129.7377571.094523.67229
32、.7658568.994526.16729.846平均值566.9468522.508129.8368881565.77526.39733.3832563.403524.42733.4253563.158521.38233.4244565.141519.05533.385568.164518.5933.3056570.506520.56433.2517570.862523.59133.2798568.87525.93333.36平均值566.9843522.492433.3508891565.868526.14136.8872563.674524.26836.9293563.433521.40
33、836.9284565.333519.26336.8845568.156518.83436.8096570.333520.68636.7557570.63523.5136.7838568.747525.70136.864平均值567.0218522.476436.85488101565.961525.940.2012563.927524.1240.2143563.693521.43340.2444565.516519.46240.2235568.148519.06840.1716570.171520.80140.0387570.408523.43340.1298568.631525.48240
34、.157平均值567.0569522.462440.17213111566.078525.62844.4722564.193523.9544.4853563.958521.46344.5054565.649519.60744.4865568.094519.24244.4426570.013520.88544.3097570.236523.3544.48568.615525.25944.428平均值567.1045522.42344.44088121566.195525.35548.7432564.459523.7848.7563564.224521.49248.7764565.782519.7
35、5348.7575568.039519.41548.7136569.854520.96948.587570.063523.26848.6718568.598525.03748.699平均值567.1518522.383648.71188131566.308525.09252.8662564.716523.61652.8783564.481521.52152.8974565.91519.89352.8856569.701521.0552.7037569.897523.18852.7948568.582524.82252.822平均值567.085522.740352.83429塔尖1567.25
36、5522.23855.1282567.235522.24255.1083567.247522.25155.1284567.252522.24455.129平均值567.2473522.243855.123251996年观测数据层点坐标x/my/mz/m11565.4542528.01171.7912562.0582525.54371.8183561.3902521.44671.784563.7822518.10771.7665567.9412517.40671.7656571.2552519.85671.7637571.9382523.95271.7858569.5002527.35571.7
37、96平均值566.665522.71021.78321565.4809527.76317.3242562.2389525.36317.3433561.6639521.41917.3064564.0019518.22517.2945567.9959517.5627.2996571.1659519.96017.3037571.8019523.9077.3178569.4149527.147.331平均值566.7205522.66747.31462531565.5076527.518312.7592562.4166525.186412.7853561.9326521.392412.7414564.
38、2176518.341412.7345568.0496517.714412.7396571.0776520.061412.7337571.6676523.862412.7498569.3316526.928412.766平均值566.7751522.625612.7507541565.5282527.324817.0832562.5572525.044817.0893562.1462521.370817.0694564.3892518.432817.0565568.0932517.835817.0576571.0072520.141817.0567571.5601523.826817.1028
39、569.2652526.759817.089平均值566.8183522.592217.0751351565.5508527.116221.7242562.7087524.893221.753562.3758521.348221.7064564.5737518.53121.6995568.1388517.966221.7036570.9317520.229221.7017571.446523.788221.7148569.1938526.57821.731平均值566.8649522.556321.71661565.5734526.911626.2652562.8574524.744626.3
40、013562.6034521.325626.34564.7554518.628626.2575568.1834518.091626.1826570.8604520.311626.1357571.3364523.751626.1578569.1244526.402526.239平均值566.9118522.52126.229571565.6748526.648229.8682563.1358524.58129.9043562.8868521.35229.9034564.9528518.842229.865568.1758518.342229.7856570.6828520.43729.7377571.0978523.668229.7598568.9978526.16329.842平均值566.9506522.504229.8322581565.7743526.392733.382