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1、-基于RLS的自适应滤波器的设计与实现毕业论文-第 25 页吉林化工学院毕业设计说明书基于RLS的自适应滤波器的设计与实现Design and Implementation of Adaptive Filter Using RLS吉 林 化 工 学 院Jilin Institute of Chemical Technology毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明原创性声明本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知，除文中特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得 及其它教育机构的学位
2、或学历而使用过的材料。对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体，均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。作 者 签 名： 日 期： 指导教师签名： 日期： 使用授权说明本人完全了解 大学关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定，即：按照学校要求提交毕业设计（论文）的印刷本和电子版本；学校有权保存毕业设计（论文）的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。作者签名： 日 期： 摘 要自适应滤波器是统计信号处理的一个重要组成部分。在实际应用中，由于没有充足的信息来设计固定系数的数字滤波
3、器，或者设计规则会在滤波器正常运行时改变，因此我们需要研究自适应滤波器。凡是需要处理未知统计环境下运算结果所产生的信号或需要处理非平稳信号时，自适应滤波器可以提供一种吸引人的解决方法，而且其性能通常远优于用常方法设计的固定滤波器。此外，自适应滤波器还能提供非自适应方法所不可能提供的新的信号处理能力。本文从自适应滤波器研究的意义入手，介绍了自适应滤波器的基本理论思想，具体阐述了自适应滤波器的基本原理、算法及设计方法。自适应滤波器的算法是整个系统的核心。本文中，对两种最基本的自适应算法，即递归最小二乘（RLS)和最小均方误差(LMS)算法进行了详细的介绍和分析，并针对两种算法的优缺点进行了详细的比
4、较。同时，分别对FIR结构和IIR结构自适应滤波器做了详细的介绍，比较了FIR结构和IIR结构自适应滤波器的优缺点。最终采用改进的RLS算法设计FIR结构自适应滤波器，并采用MATLAB进行仿真。实验结果表明，该自适应滤波器滤波效果优越。关键词：自适应滤波器；RLS算法；FIR结构滤波器；MATLABAbstractThe auto-adapted filter is an important part of the digital signal processing. In practical application, there havent sufficient information
5、to design the fixed coefficient digital filter, or the design rule will be changed when the filter normally operated. Therefore, we need to research the auto-adapted filter. Whenever needs to process the signal under the unknown statistical environment, or the non-steady signal, the auto-adapted fil
6、ter can provide a appealing solution. Moreover, its performance usually over the normally fixed filter. In addition, the auto-adapted filter can also provide the ability of the recent signal process which the non-auto-adapted method is impossible to provide. Firstly this thesis proposed the importan
7、ce of auto-adapted filter research and introduced its elementary theory , algorithm and design method. The core of the whole system is the auto-adapted filters algorithm . In this article, two of the most basic auto-adapted algorithms, the smallest mean error (LMS) algorithm and the recursive least
8、squares (RLS) algorithm, have particularly introduced and analyzed. Meanwhile, the advantages and disadvantages of this two algorithms have been compared. At the same time, this thesis introduced the FIR structure and the IIR structure auto-adapted filter in detail, compared with the advantages and
9、disadvantages of these two algorithms. Then, the FIR structure auto-adapted filter is designed with the adoption of the improved LMS algorithm, and it is carried on the simulation test in the MATLAB platform. The experimental result indicated that filter effect of this auto-adapted filter is superio
10、r.Keywords: Auto-adapted filter, RLS algorithm, FIR structure filter, MATLAB目 录摘 要IAbstractII第1章 绪 论11.1 引言11.2 课题研究意义和目的11.3 国内外研究发展状况21.4本文研究思路与主要工作3第2章 自适应滤波器理论基础42.1 滤波器的基本概念42.2 数字滤波器的基本概念52.3 自适应滤波器的结构62.4自适应滤波算法种类82.4.1 最小均方（LMS）算法82.4.2 递归最小二乘（RLS)算法122.5 RLS算法和LMS算法分析152.5.1 RLS算法分析152.5.2
11、LMS算法分析162.6 仿真结果分析162.6.1 RLS算法关于不同参数的比较162.6.2 LMS算法关于不同步长的比较172.6.3 RLS与LMS算法关于最优效果的比较18第3章 自适应滤波器的设计原理193.1 无限冲激响应（IIR）滤波器193.1.1 自适应IIR滤波器的基本原理193.1.2 方程误差结构形式自适应IIR滤波器193.1.3 IIR滤波器的一般结构223.2 有限冲激响应（FIR）滤波器223.2.1 FIR横向型滤波器的一般结构223.2.2 FIR横向性滤波器的工作原理233.3 IIR滤波器和FIR滤波器的比较26第4章 基于MATLAB实现自适应滤波器
12、274.1 MATLAB语言介绍274.2 MATLAB仿真284.2.1 MATLAB程序仿真284.2.2 仿真结果284.3 自适应滤波算法的实现304.3.1 RLS算法程序的实现304.3.2 LMS算法程序的实现32第5章 总结与展望36结 论37参考文献38致 谢39第1章 绪 论1.1 引言滤波技术是信号处理中的一种基本方法和技术，尤其数字滤波技术使用广泛，数字滤波理论的研究及其产品的开发一直受到很多国家的重视。从总的来说滤波可分为经典滤波和现代滤波。经典滤波要求已知信号和噪声的统计特性，如维纳滤波和卡尔曼滤波。现代滤波则不要求己知信号和噪声的统计特性，如自适应滤波。自适应滤波
13、的原理就是利用前一时刻己获得的滤波参数等结果，自动地调节现时刻的滤波参数，从而达到最优化滤波。自适应滤波具有很强的自学习、自跟踪能力，适用于平稳和非平稳随机信号的检测和估计。自适应滤波一般包括3个模块：滤波结构、性能判据和自适应算法。其中，自适应滤波算法一直是人们的研究热点，包括线性自适应算法和非线性自适应算法，非线性自适应算法具有更强的信号处理能力，但计算比较复杂，实际应用最多的仍然是线性自适应滤波算法。线性自适应滤波算法的种类很多，有RLS自适应滤波算法、LMS自适应滤波算法、变换域自适应滤波算法、仿射投影算法、共扼梯度算法等。1.2 课题研究意义和目的对自适应滤波算法的研究是当今自适应信
14、号处理中最为活跃的研究课题之一。Windrow等于1967年提出的自适应滤波系统的参数能自动的调整而达到最优状况，而且在设计时，只需要很少的或根本不需要任何关于信号与噪声的先验统计知识。这种滤波器的实现差不多像维纳滤波器那样简单，而滤波器性能几乎如卡尔曼滤波器一样好。自适应滤波器与普通滤波器不同，它的冲激响应或滤波参数是随外部环境的变化而变化的，经过一段自动调节的收敛时间达到最佳滤波的要求。自适应滤波器本身有一个重要的自适应算法，这个算法可以根据输入、输出及原参量信号按照一定准则修改滤波参量，以使它本身能有效的跟踪外部环境的变化。因此，自适应数字系统具有很强的自学习、自跟踪能力和算法的简单易实
15、现性。自适应滤波技术的核心问题是自适应算法的性能问题，提出的自适应算法主要有最小均方(LMS)算法、递归最小二乘(RLS)算法及相应的改进算法如：归一化(NLMS)算法、变步长(SVSLMS)算法、递归最小二乘方格形(RLSL)算法等。这些算法各有特点，适用于不同的场合。研究自适应算法是自适应滤波器的一个关键内容。最小均方误差(LMS，The least Mean square)算法是线性自适应滤波算法中最基本的两类算法之一，其主要思想是基于最小均方误差准则，使滤波器的输出信号与期望输出信号之间的均方误差最小。由于LMS算法简 单有效、鲁棒性好、易于实现，得到了广泛的应用。目前应用最多的是系统
16、辨识、回波消除、自适应谱线增强、自适应信道均衡、语音线性预测、自适应天线阵等诸多领域。1.3 国内外研究发展状况自适应滤波的基本理论通过几十年的发展已日趋成熟，近十几年来自适应滤波器的研究主要针对算法与硬件实现。算法研究主要是对算法速度和精度的改进，其方法大都采用软件C、MATLAB等仿真软件对算法的建模和修正。通常，自适应滤波器的硬件实现都是用DSP通用处理器(如TI的TMS320系列)。DSP器件采用改进的哈佛结构，具有独立的程序和数据空间，允许同时存取程序和数据，内置高速的硬件乘法器(MAC)，增强的多级流水线。DSP具有的硬件乘法模块(MAC)，专用的存储器以及适用于高速数据运行的总线
17、结构，使DSP器件具有高速的数据运算能力。目前，用DSP器件处理数字信号已经成为电子领域的研究热点。在自适应信号处理领域，对于数据处理速度在几兆赫兹以内的，通用DSP器件也是首选。迟男等人在TMS320C32芯片上扩展EPROM和RAM，实现了30阶LMS自适应滤波器，使用的刀D转化器件为AD1674，最高采样频率为l00KHz。陆斌等人采用TMS320C30数字信号处理器与IMSA110专用滤波器并行处理的方法设计出了自适应滤波器并应用于直接序列的扩频接收系统1221。赵慧民等人在TMS320C31上实现了自适应权向量滤波器，完成了信号采样频率为80KHz的自适应滤波。在数据处理速度只要求在
18、几兆赫兹以内的应用场合，这些用DSP实现的自适应滤波器能很好的满足系统实时的需求。在这种需求场合下，DSP具有不可媲美的性价比。用FPGA实现自适应滤波器，国外起步比较早，发展也非常迅速。Hesener A.于1996年提出了用FPGA实现自适应滤波器的设想，并在FPGA上实现了处理速度可达SM的8阶8位FIR滤波器。Woolfries N.等人用FPGA实现了自适应栈滤波器，并应用于图象处理。Dawood A.等人用FPGA开发了自适应FIR滤波器并与DSP处理器方案进行了比较研究。国内有一些关于自适应算法硬件实现的研究，但基本是针对自适应滤波器中的算法，如南开大学李国峰的博士论文用VHDL
19、语言描述了正负数的运算问题和浮点数运算问题，完成了基于FIR的LMS自适应滤波器的硬件设计与逻辑综合。国防科学技术大学江和平等人讨论了自适应卡尔曼算法的简化，并完成了FPGA的设计。同济大学梁甲华等人重点讨论了编码方法在FPGA的技术问题。上海交通大学范瑜等人介绍了用VHDL语言实现并行延时LMS算法的自适应数字波束成形器的FPGA设计过程。而针对自适应格型结构采用FPGA硬件实现的文献报导很少，国内中国科学技术大学王显洁等人通过采用流水线结构和运算单元分时复用，提高了运算速度，能够满足实时性预测编码要求。1998年弗吉尼亚大学的StephenJ.Hevey在其硕士论文中利用DSP处理器和自适
20、应格型递归滤波算法完成了对线性二次型最优控制器的设计，通过实验表明了在宽带干扰下格型结构的滤波器性能优于LMS滤波器，在窄带和谐波干扰下两者的区别不大，但所需阶数至少比LMS滤波器减少一半，可以节省大量硬件资源。1.4 本文研究思路与主要工作本文设计要求基于RLS算法实现自适应滤波器，要求完成自适应滤波器的设计和调试。自适应滤波器的设计需要使用自适应算法（RLS算法），RLS算法是通过对未知系统传递函数的建模，识别该未知系统，并对该系统进行噪声滤波。自适应滤波器，其权系数可以根据自适应算法来不断修改，使得系统中的冲激响应满足给定的性能。例如语音信号的ADPCM编码，采用线性预测自适应就可以实现
21、误差信号与输入信号的线性无关，并由此作为依据，不断调节滤波器的权系数，最终使得误差信号趋近于0，使得该滤波器完全适应该输入信号；同样，只要输入信号出现变换，自适应滤波器根据误差信号的变化再次调整其权系数，从而跟上信号的变化。自适应滤波器设计的算法采用的是自适应算法，即RLS算法。RLS算法是通过对未知系统传递函数的建模，识别该未知系统，并对该系统进行噪声滤波。本文的正文部分共分为五章，各章的主要内容安排如下： 第一章是绪论，主要介绍了自适应滤波技术的发展，课题研究的背景及意义，以及本文的主要工作内容。第二章主要介绍了时域RLS自适应滤波算法的原理、性能。分析递推最小二乘法（RLS）算法和最小均
22、方（LMS）算法，并对已经提出的算法作了详细的比较和总结。第三章主要介绍了无限冲激响应（IIR）滤波器和有限冲激响应（FIR）滤波器。本章分别对IIR滤波器的工作原理和FIR滤波器的工作原理做了大概的分析，得出了两种结构的滤波器的优缺点，经过比较，本文采用了FIR横向结构。第四章采用MATLAB编程，对自适应滤波器实现信号的仿真，对RLS算法和LMS算法通过MATLAB进行仿真，比较了两种算法在自适应滤波器应用中的不同之处。第五章是总结与展望。本章对论文所做的研究工作进行了全面总结，对相关技术的未来发展方向进行了探讨与展望。第2章 自适应滤波器理论基础2.1 滤波器的基本概念凡是有能力进行信号
23、处理的装置都可以称为滤波器。在近代电信装备和各类控制系统中，滤波器应用极为广泛；在所有的电子部件中，使用最多，技术最复杂要算滤波器了。滤波器的优劣直接决定产品的优劣，所以，对滤波器的研究和生产历来为各国所重视。图2.1描述的是一个通用的自适应滤波估计问题，图中离散时间线性系统表示一个可编程滤波器，它的冲激响应为，或称其为滤波参数；自适应滤波器输出信号为，所期望的响应信号为，误差信号为 与 之差。这里，期望响应信号是根据不同用途来选择的，自适应滤波器的输出信号是对期望响应信号进行估计的，滤波参数受误差信号的控制并自动调整。因此，自适应滤波器与普通滤波器不同，它的冲激响应或滤波参数随外部环境的变化
24、而改变的，经过一段自动调节的收敛时间达到最佳滤波器的要求。但是，自适应滤波器本身有一个重要的自适应算法，这个算法可以根据输入、输出及原参量值，按照一定准则修改滤波参量，以使它本身能有效地跟踪外部环境的变化。通常，自适应滤波器是线性的，因而也是一种线性移变滤波器。当然，它也能推广到自适应非线性滤波器。 图2-1 自适应滤波器原理方框图在图2-1中，离散时间线性系统可以分为两类基本结构，其中一类为非递归型横向结构的数字滤波器，它具有有限的记忆，因而称之为有限冲激响应(FIR)系统，即自适应FIR数字滤波器。另一类为递归型数字滤波器结构，理论上，它具有无限的记忆，因而称之为无限冲激响应（IIR）系统
25、，即自适应IIR滤波器。对于上述两类自适应滤波器，还可以根据不同的滤波原理和算法，分为结构不同的自适应滤波器，它们的滤波性能也不完全相同。2.2 数字滤波器的基本概念 从输入信号中滤出噪声和干扰以提取有用信息的过程称为滤波，相应的装置称为滤波器。如果滤波器的输入和输出均为离散信号，称该滤波器为数字滤波器。当滤波器的输出信号为输入端的线性函数时，该滤波器称为线性滤波器，否则就称为非线性滤波器。一个典型的数字滤波器的框图如图2-2所示。 图2-2 数字滤波器设输入信号为x(n)，输出信号为y(n)，该数字滤波器可用以下差分方程来表示： (2-1)式中，称为滤波器系数。当时，上式变为： (2-2)这
26、种滤波器称为全零点滤波器。如果，时，则称为全极点滤波器或递归滤波器。由上式，可知数字滤波器的传递函数为: (2-3)其单位冲击响应函数为: (2-4) (2-5)如果当n0时，有h(n)=0，这样的滤波器系统称之为因果系统。如果冲激响应函数是有限长的，即 (2-6)则称此滤波器为有限冲激响应FIR滤波器，否则，称之为无限冲激响应IIR滤波器。2.3 自适应滤波器的结构所谓的自适应滤波，就是利用前一时刻以获得的滤波器参数的结果，自动的调节现在时刻的滤波器参数，以适应信号和噪声未知的或随时间变化的统计特性，从而实现最优滤波。自适应滤波器实质上就是一种能调节其自身传输特性以达到最优的维纳滤波器。自适
27、应滤波器不需要关于输入信号的先验知识，计算量小，特别适用于实时处理。由于无法预先知道信号和噪声的特性或者它们是随时间变化的，仅用FIR和IIR种具有固定滤波系数的滤波器无法实现最优滤波。在这种情况下，必须设计自适应滤波器，以跟踪信号和噪声的变化。自适应滤波器的特性变化是由自适应算法通过调整滤波器系数来实现的。一般而言，自适应滤波器由两部分组成，一是滤波器结构，二是调整滤波器系数的自适应算法。自适应滤波器的结构采用FIR或IIR结构均可，由于IIR滤波器存在稳定性问题，因此一般采用FIR滤波器作为自适应滤波器的结构。图2-3表示出了自适应滤波器结构的一般形式 图2-3 自适应滤波器结构的一般形式
28、图2-3为自适应滤波器结构的一般形式，图中输入信号，通过权系数可调的数字滤波器后产生输出信号，将输出信号与标准信号（又称期望信号）进行比较，得到误差信号。 和 通过自适应算法对滤波器的权系数进行调整，调整的目的使得误差信号最小。重复上面过程，滤波器在自己的工作过程中逐渐了解到输入信号和噪声的统计规律，并以此为根据自动调整滤波器权系数，从而达到最佳的滤波效果。一旦输入的统计规律发生了变化，滤波器能够自动跟踪输入信号变化，自动调整滤波器的权系数，最终达到滤波效果，实现自适应过程。图2-4是使用自适应滤波器的系统识别原理图。 图2-4 自适应滤波器的系统识别框图自适应滤波器的结构可以采用FIR或II
29、R滤波器存在稳定性问题，因此一般采用FIR滤波器作为自适应滤波器的结构。自适应FIR滤波器结构又可分为3种结构类型：横向型结构（Transversal Structure）、对称横向型结构（Symmetric Transversal Structure）以及格型结构（Lattice Struture）。本文采用自适应滤波器设计中最常用的FIR横向型结构。2.4自适应滤波算法种类2.4.1 最小均方（LMS）算法由Widrow和Hoff引入的最小均方(LMS)算法，由于其简单性、运算的高效性及在各种运行条件下良好的性能，而被广泛应用。基于梯度的最小均方(LMS)算法是最基本的算法，其含义相对简单
30、明了。选定均方误差为权矢量二次函数时，性能度量曲线可以形象地看成一个碗形曲面这样自适应处理器的任务便是不断地向最低点逼近，即可以通过计算梯度的方法实现性能度量的最优化。而基于梯度的算法中，最简单的一种就是最小均方算法LMS算法，LMS算法使用的准则是使均衡器的期望输出值和实际输出值之间的均方误差(MSE)最小化的准则，依据输入信号在迭代过程中估计梯度矢量，并更新权系数以达到最优的自适应迭代算法9。这算法不需要计算相应的相关函数，也不需要进行矩阵运算。自适应滤波器最普通的应用就是横向结构。滤波器的输出信号是 (2-7)T表示转置矩阵， n是时间指针，N是滤波器次数。这个例子就是有限脉冲响应滤波器
31、的形式，为x(n)和w(n)两个矩阵卷积。这种自适应算法使用误差信号 (2-8)为了方便起见，将上述式子表示为向量形式，则上述式子表示为： (2-9)误差序列可写为： (2-10)其中是期望信号，是滤波器的输出。使用输入向量和 来更新自适应滤波器的最小化标准的相关系数。显然，自适应滤波器控制机理是用误差序列按照某种准则和算法对其系数进行调节的，最终使自适应滤波的目标(代价)函数最小化，达到最佳滤波状态。本节所用的标准是最小均方误差(MSE)。 (2-11)E表示算子期望。 (2-12)由式(2-12)可见，自适应滤波器的代价函数是延迟线抽头系数的二次函数。当矩阵R和矢量P己知时，可以由权系数矢
32、量w直接求其解。最优解最小化MSE，源自解这个公式 (2-13)将式(2-12)对求其偏导数，并令其等于零，假设矩阵R满秩(非奇异)，可得代价函数最小的最佳滤波系数 (2-14)这个解称为维纳解，即最佳滤波系数值。因为均方误差(MSE)函数是滤波系数w的二次方程，由此形成一个多维的超抛物面，这好像一个碗状曲面又具有唯一的碗底最小点，通常称之为自适应滤波器的误差性能曲面。当滤波器工作在平稳随机过程的环境下，这个误差性能曲面就具有固定边缘的恒定形状。自适应滤波系数的起始值是任意值，位于误差性能曲面上某一点，经过自适应调节过程，使对应于滤波系数变化的点移动，朝碗底最小点方向移动，最终到达碗底最小点，
33、实现了最佳维纳滤波。自适应过程是在梯度矢量的负方向接连的校正滤波系数的，即在误差性能曲面的最陡下降法方向移动和逐步校正滤波系数，最终到达均方误差为最小的碗底最小点，获得最佳滤波或准最优工作状态。广泛使用的LMS算法是一种选择性法适应采样和采样基础。这个方法可以避免复杂的计算。LMS算法是最陡下降法，在这个算法中，向量通过改变对最小均方误差性能的负梯度比例自适应滤波算法及应用研究来增强。对于LMS算法梯度通过假设平方误差。作为公式2-13的MSE来预测。因此，梯度预测可以单一化表示为: (2-15)在实际应用中，2u经常用来代替u。瞬间梯度预测产生的Widrow Hoff LMS算法，为自适应滤
34、波器在n时刻的滤波系数或权矢量。按照最陡下降法调节滤波系数，则在时刻的滤波系数或权矢量可以用下列简单递归关系来计算: (2-16)是自适应步长来控制稳定性和收敛率。这种瞬时估计是无偏的，因为它的期望值等于最陡下降法的梯度矢量。以任意初始向量来开始，向量集中在最佳解决方法，假如选择 (2-17)为矩阵R的最大特征值，受限制于 (2-18)为指示矩阵的轨迹，是平均输入功率。对于自适应信号处理应用，最重要的实际考虑是收敛速度，决定滤波器跟踪不稳定型号的能力。总体来说，权向量要获得收敛只有当最缓慢的权集中一点。这个最慢的时间 (2-19)这个指出时间连续相反的以的比例收敛，并且依靠输入矩阵的自相关特征
35、值。具有全异的特征值，规定时间是受最慢模式的限制。以梯度预测为基础的自适应导致噪声矩阵的权向量，因此会有性能的损失。这个自适应处理的噪声导致稳态权向量随意的改变为最适宜的权向量。稳态权向量的精度通过超额的最小均方误差来测量。这个LMS算法超过EMS的是 (2-20)是MSE在稳态的最小值。公式(2-19)和(2-20)产生LMS算法基本协定:为了在稳态获得高精度(低超自适应滤波算法及应用研究额MSE)，需要的最小值，但是也会降低收敛率。后面会有进一步关于LMS算法特征的讨论。对于N维更新是常数，误差信号乘以得到 。这个常数首先计算，然后乘以来更新。自适应LMS算法如同最陡下降法，利用时间的滤波
36、系数矢量为任意的起始值，然后开始LMS算法的计算，其步骤如下:l)由现在时刻的滤波器滤波系数矢量估值，输入信号矢量及期望信号，计算误差信号: (2-21)2)利用递归法计算滤波系数矢量的更新估值。3)将时间指数增加1，回到第一步骤，重复上述计算步骤，一直到达稳定状态为止。由此可见，自适应LMS算法简单，它既不需要计算输入信号的相关函数，又不要求矩阵之逆。因而得到了广泛的应用。2.4.2 递归最小二乘（RLS)算法 从2.1节的分析得知，LMS算法的收敛速度很慢，为了得到较块的收敛速度，有必要设计包含附加参数的更复杂的算法。特别是，如果矩阵R是NN的且特征值为，则可以使用一种含有N个参数的算法，
37、其中每个参数对应一个特征值。 在快速收敛算法的推导中，我们将采用最小二乘法。因此，将直接处理接收数据，使二次性能指数最小，而以前是使平方误差的期望值最小。这意味着，用时间平均而不是统计平均来表示性能指数。 基于时间平均的最小平方误差被定义如下： (2-22)式中，是接近1,但是小于1的加权因子，)是的复共轭，且误差为 (2-23)且 (2-24)式中，是时刻的输入数据向量，是时刻的新的抽头增益向量。因而是用时刻的抽头增益向量测试时刻的旧数据所得的误差，是在所有旧数据上用新抽头增益所得的累计平方误差。要完成RLS算法就要找到均衡器的抽头增益向量，使得累计平方误差最小。为了测试新的抽头增益向量，会
38、用到那些先前的数据。而因子会在计算时更依赖于新近的数据，也就是说，会丢掉非稳定环境中的较旧的数据。如果信道是稳定的，那么可以设为1。为了获得的最小值，可使的梯度为0,即，通过运算可知： (2-25)式中，是RLS均衡其的最佳抽头增益向量。 (2-26) (2-27)式(2-26)中的方阵是输入数据向量的确定相关矩阵，式(2-26)中向量是输入向量和期望输出之间的确定互相关矩阵。要用式(2-25)计算均衡器的抽头增益向量，就需要计算。从式(2-26)中的定义可知，我们可以得到关于的递归公式。 (2-28)由于式(2-28)中的三项都是NN的方阵，我们可以使用方程倒数的引理得到递归公式： (2-2
39、9)式中 (2-30)根据上述递归公式，可知： (2-31)式中 (2-32)初始化：是一个正常数计算：对于n=1,2，计算 (2-33) (2-34)是一个可以改变均衡器性能的抽头系数。如果信道是非时变的，那么可以设为1。而通常的取值为0.81。值对收敛速率没有影响，但是它影响着RLS算法的跟踪能力。值越小，均衡器的跟踪能力更强。但是，如国值太小，均衡器将会不稳定。2.5 RLS算法和LMS算法分析2.5.1 RLS算法分析RLS算法是基于最大平方方法，和LMS算法相比，主要的不同是固有的统计学观念。平均时间的计算需要基本更多的指令，因此带来的全面的RLS算法计算，比LMS方法要复杂。信号估
40、计和误差为： (2-35)系数更新： (2-36)其中K的值： (2-37)相关矩阵： (2-38)可见RLS算法的计算复杂度为：。2.5.2 LMS算法分析最小均方算法(LMS)是用于减少输入信号和经过滤波的输出信号之间的不规则方波的算法。信号估计和误差分别为： (2-39)权值更新： (2-40)根据上面的计算公式，LMS算法的复杂度为：。 2.6 仿真结果分析 2.6.1 RLS算法关于不同参数的比较 图2-5 RLS算法当=1时图2-6 RLS算法当=4时从图2-5，图2-6中可知：a)收敛性比较：当 =1时，算法能够收敛，而当=4时，算法无法收敛；b)稳定性比较：只有收敛的算法才可能
41、是稳定的算法，所以=1比=4的情况更稳定；c)误调性比较：当=4时，算法无法收敛，所以此时的误调十分明显；d)学习速度比较：学习速度与收敛速度是同步的；亦即当=1时，效果更好。2.6.2 LMS算法关于不同步长的比较图2-7 LMS算法当=0.015时误差信号 图2-8 LMS算法当=0.03时误差信号从图2-7，图2-8中可知：a)收敛性比较：收敛速度越快，算法的效果越好。步长越大，收敛速度越快： =0.03比=0.015时的收敛速度快；b)稳定性比较：稳定性越好，算法就越健壮。从图2-8中可以看到，当=0.03时，收敛完成后，却出现了一个很大的误差，即误调，这是难以预测的，这样会导致程序算法不稳定，严重影响到应用；c)误调性比较：当步长过大时，就会有可能会出现过度收敛，在稳定性的讨论中已经说过，出现误调会危及应用，这是必须避免的。在图2-8（当=0.03时)，出现了一个明显的误调，虽然它的收敛速度较快，但这是以出现误调为代价的；d)学习速度比较：学习速度是指系统学习信道参数的速度，即通过训练序列的