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1、- 幂的运算方法总结-第 4 页 幂的运算方法总结 幂的运算的基本知识就四条性质，写作四个公式：aman=am+n(am)n=amn(ab)m=ambmaman=am-n只要理解掌握公式的形状特点，熟悉其基本要义，直接应用一般都容易，即使运用公式求其中的未知指数难度也不大。问题1、已知a7am=a3a10，求m的值。思路探索：用公式1计算等号左右两边，得到等底数的同幂形式，按指数也相等的规则即可得m的值。方法思考：只要是符合公式形式的都可套用公式化简试一试。方法原则：可用公式套一套。但是，渗入幂的代换时，就有点难度了。问题2、已知xn=2,yn=3,求(x2y)3n的值。思路探索：(x2y)3
2、n中没有xn和yn，但运用公式3就可将(x2y)3n化成含有xn和yn的运算。因此可简解为，(x2y)3n =x6ny3n=(xn)6(yn)3=2633=1728方法思考：已知幂和要求的代数式不一致，设法将代数式变形，变成已知幂的运算的形式即可代入求值。方法原则：整体不同靠一靠。然而，遇到求公式右边形式的代数式该怎么办呢？问题3、已知a3=2,am=3,an=5，求am+2n+6的值。思路探索：试逆用公式，变形出与已知同形的幂即可代入了。简解：am+2n+6=ama2na6=am(an)2(a3)2=3254=300方法思考：遇到公式右边的代数式时，通常倒过来逆用公式，把代数式展开，然后代入
3、。方法原则：逆用公式倒一倒。当底数是常数时，会有更多的变化，如何思考呢？问题4、已知22x+322x+1=48，求x的值。思路探索：方程中未知数出现在两项的指数上，所以必须统一成一项，即用公式把它们变成同类项进行合并。由此，可考虑逆用公式1，把其中常数的整数指数幂，化作常数作为该项的系数。简解：22x+322x+1=22x2322x21=822x222x =622x=48 22x=8 2x=3 x=1.5方法思考:冪的底数是常数且指数中有常数也有未知数时，通常把常数的整数指数冪化成常数作为其它冪的系数，然后进行其它运算。问题5、已知64m+12n33m=81,求正整数m、n的值。思路探索：幂的
4、底数不一致使运算没法进行，怎样把它们变一致呢？把常数底数都变成质数底数就统一了。简解：64m+12n33m =24m+134m+12n33m=24m+1-n3m+1=81=34 m、n是正整数 m+1=4,4m+1n=0 m=3,n=13方法思考：冪的底数是常数时，通常把它们分解质因数，然后按公式3展开，即可化成同底数冪了。问题6、已知2a=3,2b=6,2c=12，求a、b、c的关系。思路探索：求a、b、c的关系，关键看2a、2b、2c的关系，即3、6、12的关系。6是3的2倍，12是6的2倍，所以2c=22b=42a,由此可求。简解：由题意知2c=22b=42a 2c=2b+1=2a+2
5、c=b+1=a+2方法思考：底数是相同的常数时，通常把冪的值同乘以适当的常数变相同，然后比较它们的指数。方法原则：系数质数和指数，常数底数造一造。综合用到以上方法就更需要引起注意。问题7、已知2x=m,2y=n,求22x+3y+1的值。思路探索：要求的代数式与已知距离甚远，考虑逆用公式将其变成已知的代数式的形式。简解：22x+3y+1=22x23y21=(2x)2(2y)32=m2n32=2m2n3方法思考：综合运用化质数、逆用公式和整体代人的方法。问题8、已知a=244,b=333,c=422，比较a、b、c的大小。思路探索：同底数幂比较大小观察指数大小即可，底数不能变相同的，只好逆用公式将
6、指数变相同，比较底数大小了。简解：a=244=2411=（24）11=1611, b=333=3311=（33）11=2711 c=422=4211=1611 a=cb方法思考：化同指数冪是比较底数不能化相同的冪的又一种方法。思考归纳：幂的运算首先要熟练掌握幂的四条基本性质，不但会直接套用公式，还要能逆用。其次要注意要求的代数式与已知条件的联系，没明显关系时常常逆用公式将其分解。第三，底数是常数时通常将其化成质数积的乘方的形式，有常数指数的通常求出其值，作为该项的系数。第四，底数不同而指数可变相同的可通过比较底数确定其大小关系，还可通过积的乘方的逆运算相乘。思考原则：可用公式套一套，整体不同靠一靠，逆用公式倒一倒，常数底数造一造，系数质数和指数，综合运用瞧一瞧。自我查验：（用上面的方法原则解答）