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1、-活用 的两个非负性-第 4 页活用的两个非负性湖北省黄冈市浠水实验中学 郭一鸣（特级教师） 表示非负数的算术平方根，它是一个重要的非负数表现形式，这种新的非负数形式与前面我们认识的两种非负数形式和所不同的是，在它的身上具有“双非负性”且，即算术平方根的非负性和被开方数的非负性，值得注意的是，灵活运用这两种非负性可以帮助我们解决许多新问题。一、活用算术平方根的非负性例1、若，则的取值范围是_。解析：直接由，可得点评：本题直接运用，解决问题。例2、已知实数满足，求的平方根和立方根。解析：因为，所以，即，解得所以，的平方根为，立方根为。点评：本题揭示了非负数的一个漂亮性质“若几个非负数的和为零，则
2、这几个非负数均为零”。可以直接应用它解决问题。例3、（全国初中数学联赛试题）若满足，则的取值范围是_。解析：由已知条件得，解这个关于和的方程组得，由得，解得。点评：运用和的非负性,建立关于S的不等式组,使这个似乎艰难的问题迎刃而解。二、活用被开方数的非负性例4、（宁波市中考题）使二次根式有意义的的取值范围是（ ）A、B、C、D、解析：直接由得，故选D点评：本题直接运用中的，解决问题。例5、（“希望杯”邀请赛试题）已知是实数，则的值是（ ）A、B、C、D、无法确定的解析：由，且 得，所以，故选A点评：本题利用被开方数的非负性，根据“若两个非负数的和为零，则这两个非负数均为零”，使问题得到解决。例
3、6、（武汉市初中数学竞赛试题）已知实数满足，那么的值是（ ）A2005B2006C2007D2008解析：由得，所以已知等式可化为，即，两边同时平方，得，所以。故选C点评：本题利用被开方数的非负性找到的取值范围，从而化掉绝对值符号，进一步化掉根号，使问题得到解决。三、综合运用算术平方根及被开方数的两个非负性例7、已知，求的值解析：由且，得，所以点评：本题利用算术平方根及被开方数的两个非负性，根据“若两个非负数的和为零，则这两个非负数均为零”，使问题得到解决。例8、（黄冈市初中数学竞赛试题）已知实数、满足等式，求的值。解析：由得，所以 ， 因此=0，又因为且，所以，.即 再联立，解关于、的方程组，求得点评：本题中的数量关系初看似乎较复杂，但仔细观察发现利用被开方数的非负性就可以找到解决问题的突破口，最后解关于、的方程组，使问题得到解决。