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1、1,第四章 二维平面晶体学,本章主要讨论可以抽象出二维平面点阵结构的客体的对称性。,如晶体的表面，截面等。,二维晶体学所见即所得，许多结论可直接推广到三维。,10个点群，5种点阵，17个空间群。,32个点群，14种点阵，230个空间群。,2,4-1 群论基础（II）,4-1-1 共轭，共轭类,3,群G中所有元素可分为若干个共轭类，每一元素属于且仅属于G 的一个共轭类。,定义2： 群G中的所有相互共轭的元素的集合称为G的一个共轭类。,定义3： 设A,X为两个操作，则满足B=XAX-1的操作B称为与A近似， 或称B与A是近似操作。,共轭操作要求a,b,x皆为群元素，相似关系A,B,X可不是群元素。
2、,若A 是一个方矩阵，则满足B=XAX-1的矩阵B称为A的相似矩阵， 相应的变换称为相似变换。,互为相似的矩阵间有两个不变量：,（1）相似矩阵具有相同的迹。点操作矩阵W的迹Tr(W) 不随坐标系选取而变。,（2）相似矩阵具有相同的矩阵行列式。点操作矩阵的Det(W) 不随坐标系选取而变。,4,5,对称操作群中,共轭操作有十分鲜明的几何意义,6,交换群的每一个元素自成一个共轭类。,对于交换群中的任意两个元素a,b,有ab=ba,即a=bab-1,交换群中所有元素对任一元素的共轭变换均将这一元素变为自身。,即所有操作都将任一操作的对称要素共轭变换为自身。,例：单轴群Cn是交换群，群中的任何旋转都不
3、会改变对称轴的位置。,例：C2h是交换群。,7,相似操作也有十分鲜明的几何意义：,满足B=XAX-1的操作A，B是同类型的操作，X是使操作A的几何要素 与操作B的几何要素重合的操作。,相似操作关系WB=XWAX-1可以理解为：在B处完成一件产品（WB） 等效于将工厂由B处搬到A处（X-1），然后在A处完成制作（WA） 最后将工厂由A处运回B处（X）。,引入相似操作的便利在于： 在B处不易完成的操作，可转化为在A处完成。,8,例：证明定理3-3a,例：由定理3-1a说明相似旋转操作的几何意义。,9,例相似旋转操作的几何意义证明一个重要定理。,定理4-1（万花筒原理）：,证明：如图，将X轴取在镜面
4、mj上，并使之与镜面mi和mj 的交线垂直。反映mi将点（x，y，z）操作至（x，-y，z）。,mj对（x，y，z）的操作？,把对镜面mj的反映转化对镜面mi 反映的表达式。,由相似操作的概念,10,11,4-1-2 子群，子群的陪集，子群的陪集展开,定义1：设H为群G的一个子群，a为G的一个元素，a左乘H的 每一个元素得到的集合aH称为H的一个左陪集，同理 可定义H的右陪集。,定理4-2 ：1）有限群的子群H的每一左（右）陪集中的元素个数 与H中的个数相同。 2）H的任何两个左（右）陪集的两组元素或全部相同 或全不同。,定理4-3（Lagrange陪集展开定理） ： 群G的阶q为其子群H的阶
5、r 的整数倍。,证明,12,4-1-3 共轭子群，不变子群,定义1：设H为群G的一个子群，g为G的一个元素，则集合,构成一个群，称为H的共轭子群。,定义2：若对称操作群中存在着一组对称要素互易位置的操作， 则称这组对称要素相互共轭。,13,4-1-4 直积群,1. 外直积群,外直积群G具有如下性质：,（1）G满足群的定义。,（2）G中两个直积因子群H和P都是G的不变子群。,（3）G的阶q=rs。,14,2. 半直积群,半直积群G具有如下性质：,（1） 构成群。,（2）G中第一直积因子群H是P的不变子群。,（3）G的阶q=rs。,15,4-1-5 同构与同态,16,两个同构群的一一对应关系不会由
6、于运算而改变,定理4-4 ：n阶群A和n阶群B同构的充要条件是乘法表相同,所有的二阶群和三阶群都是同构的。,有限群的同构具有传递性。,17,同构允许多一对应,18,4-2 平面晶体学点群,4-2-1 点群的直观体现：对称要素系和对称等效点系,点群的客体可以是：宏观晶体，微观点阵，晶体各种物理性质的 函数空间等。,晶体学点群个数：,点群平移对称性限定了晶体对称轴的轴次， 所以限定了晶体学点群的个数。,对称要素系 指点群中各对称操作据以进行的，采取一定空间 布局的一组对称要素，简称对称系。,有限客体的对称系与该客体之点群包含等价的对称性内容。,一个点群唯一地对应一种对称系，一种对称系唯一地对应一种
7、点群。,点群的封闭性对应于对称系的完整性,在点群的任何对称操作前后，对称系守恒。,19,对称系中的共轭和共轭类借助于点群的对称操作来定义。,若群中存在使一组对称要素互易位置（但不可辨别）的操作， 则称这组对称要素相互共轭。,相互共轭的一组对称要素组成共轭对称系。,4-2-2 第I类点操作（旋转）构成的点群,三维空间的对称轴在二维空间退缩为“对称点”。,二维平面点群的对称系中不能有两个或两个 以上不重合对称轴。,否则产生平移。,20,4-2-3 包含第II类点操作（反映）的点群,平面中的反演等价于二重旋转，二维空间的反演等价于第I类操作。,三维空间的对称面在平面空间内退缩为“对称线”。,平面点群
8、的对称系中有两个或两个以上的对称面时，这些对称面 必然交于一线，形成对称轴。,21,22,4-3 平面点阵,4-3-1 平面点阵，基矢，晶胞,23,24,4-3-2 五种平面点阵,依据点阵的点群对称性来推导二维点阵的所有类型。,25,26,27,28,4-3-3 点阵点群,29,30,4-4 平面空间群I：点式空间群,晶体学空间群是微观晶体对称操作的集合。,点阵可视为单个单个同种原子作为点阵点的简单晶体,点阵这一特殊晶体的空间群如何表示？,31,32,4-4-1 点式空间群的构成，13个点式空间群,33,34,（1）.二重旋转与点阵平移的组合：新的二重旋转,35,（2）.4重旋转与点阵平移的组
9、合：新的4重旋转和二重旋转,P4空间群的对称系和对称等效点系。,对称图案,36,（3）.3重旋转与点阵平移的组合：新的3重旋转,P3空间群的对称系和对称等效点系。,37,（4）.6重旋转与点阵平移的组合：,P6空间群的对称系和对称等效点系。,38,（5）.反映与平移的组合：,39,4-4-2 点式空间群的HM符号,40,讨论：,41,42,P4空间群的对称系和对称等效点系。,43,4-4-3 空间群的基本对称操作，位置点与位置点群,44,4-5 平面空间群II: 非点式空间群,讨论点式空间群时，有两方面的对称性内容尚未考虑： 1）空间群的子空间群。2）滑移对称操作。,考虑滑移对称操作，引入模数群。,45,4-5-1 非点式空间群的构成，模数群,46,自洽条件,相容条件,47,4-5-2 四种非点式空间群,48,49,50,51,52,4-5-3 点阵点的对称性,53,54,55,56,57,