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1、-导数与函数的单调性、极值、最值25036适用学科高中数学适用年级高中三年级适用区域通用课时时长（分钟）60知识点函数的单调性 函数的极值 函数的最值教学目标掌握函数的单调性求法，会求函数的函数的极值，会求解最值问题，教学重点会利用导数求解函数的单调性，会求解函数的最值。教学难点熟练掌握函数的单调性、极值、最值的求法，以及分类讨论思想的应用。教学过程一、课堂导入问题：判断函数的单调性有哪些方法？比如判断的单调性，如何进行？因为二次函数的图像我们非常熟悉,可以画出其图像，指出其单调区间，再想一下，有没有需要注意的地方？如果遇到函数，如何判断单调性呢？你能画出该函数的图像吗？定义是解决问题的最根本
2、方法，但定义法较繁琐,又不能画出它的图像，那该如何解决呢？二、复习预习函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢?三、知识讲解考点1 利用导数研究函数的单调性如果在某个区间内，函数yf(x)的导数f(x)0，则在这个区间上，函数yf(x)是增加的；如果在某个区间内，函数yf(x)的导数f(x)0，exa0，exa，xln a. 因此 当a0时，f
3、(x)的单调增区间为R，当a0时，f(x)的单调增区间是ln a，)(2)f(x)exa0在(2,3)上恒成立aex在x(2,3)上恒成立又2x3，e2exe3，只需ae3.当ae3时，f(x)exe3在x(2,3)上，f(x)0，函数f(x)x2(a1)xa(1ln x)(1)求曲线yf(x)在(2，f(2)处与直线yx1垂直的切线方程；(2)求函数f(x)的极值【规范解答】(1)由已知，得x0，f(x)x(a1)， yf(x)在(2，f(2)处切线的斜率为1，所以f(2)1，即2(a1)1， 所以a0，此时f(2)220，故所求的切线方程为yx2.(2)f(x)x(a1).当0a0，函数f
4、(x)单调递增；若x(a,1)，f(x)0，函数f(x)单调递增此时xa是f(x)的极大值点，x1是f(x)的极小值点，函数f(x)的极大值是f(a)a2aln a， 极小值是f(1).当a1时，f(x)0，所以函数f(x)在定义域(0，)内单调递增，此时f(x)没有极值点，故无极值当a1时，若x(0,1)，f(x)0，函数f(x)单调递增；若x(1，a)，f(x)0，函数f(x)单调递增此时x1是f(x)的极大值点，xa是f(x)的极小值点，函数f(x)的极大值是f(1)，极小值是f(a)a2aln a.综上，当0a1时，f(x)的极大值是，极小值是a2aln a.【总结与反思】(1)导函数
5、的零点并不一定就是函数的极值点所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点(2)若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值考点三 利用导数求函数的最值例3 已知函数f(x)ax21(a0)，g(x)x3bx.(1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a3，b9时，若函数f(x)g(x)在区间k,2上的最大值为28，求k的取值范围【规范解答】 (1)f(x)2ax，g(x)3x2b.因为曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切
6、线，所以f(1)g(1)且f(1)g(1)，即a11b且2a3b，解得a3，b3.(2)记h(x)f(x)g(x)，当a3，b9时，h(x)x33x29x1，所以h(x)3x26x9.令h(x)0，得x13，x21. h(x)，h(x)在(，2上的变化情况如下表所示：x(，3)3(3,1)1(1,2)2h(x)00h(x)2843由表可知当k3时，函数h(x)在区间k,2上的最大值为28；当3k1，则f(x)的单调减区间为_【答案】(2,2a)【规范解答】f(x)x22(1a)x4a(x2)(x2a)，由a1知，当x0，故f(x)在区间(，2)上是增函数；当2x2a时，f(x)2a时，f(x)
7、0，故f(x)在区间(2a，)上是增函数综上，当a1时，f(x)在区间(，2)和(2a，)上是增函数，在区间(2,2a)上是减函数 (2)已知a0，函数f(x)x3ax在1，)上是单调递增函数，则a的取值范围是_【答案】(0,3【规范解答】f(x)3x2a，f(x)在1，)上是单调递增函数，f(x)0，a3x2，a3.又a0，可知00，知ax22ax10在R上恒成立，即4a24a4a(a1)0，由此并结合a0，知0a1.所以a的取值范围为a|00，由f(x)0得x，所以f(x)在区间(0，)上单调递减，在区间(，)上单调递增所以，x是函数f(x)的极小值点，极大值点不存在(2)g(x)xln
8、xa(x1)，则g(x)ln x1a，由g(x)0，得xea1，所以，在区间(0，ea1)上，g(x)为递减函数，在区间(ea1，)上，g(x)为递增函数当ea11，即a1时，在区间1，e上，g(x)为递增函数，所以g(x)的最小值为g(1)0.当1ea1e，即1a2时，g(x)的最小值为g(ea1)aea1.当ea1e，即a2时，在区间1，e上，g(x)为递减函数，所以g(x)的最小值为g(e)aeae.综上，当a1时，g(x)的最小值为0；当1a2时，g(x)的最小值为aea1；当a2时，g(x)的最小值为aeae.【巩固】1、已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2
9、)求f(x)在区间0,1上的最小值【规范解答】(1)由题意知f(x)(xk1)ex. 令f(x)0，得xk1.f(x)与f(x)的情况如下：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)(2)当k10，即k1时，f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k；当0k11，即1k2时，f(x)在0，k1)上单调递减，在(k1,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1；当k11，即k2时，f(x)在0,1上单调递减，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e.综上
10、，当k1时，f(x)在0,1上的最小值为f(0)k；当1k2时，f(x)在0,1上的最小值为f(k1)ek1；当k2时，f(x)在0,1上的最小值为f(1)(1k)e.2设函数f(x)x29ln x在区间a1，a1上单调递减，则实数a的取值范围是()A1a2 Ba4Ca2 D00)，当x0时，有00且a13，解得10时，因为二次函数yax2(a1)xa的图像开口向上，而f(0)a0，所以需f(1)(a1)e0，即0a1；当a1时，对于任意x0,1，有f(x)(x21)ex0，且只在x1时f(x)0，f(x)符合条件；当a0时，对于任意x0,1，f(x)xex0，且只在x0时，f(x)0，f(x
11、)符合条件；当a0，f(x)不符合条件故a的取值范围为0a1.(2)因g(x)(2ax1a)ex，g(x)(2ax1a)ex，当a0时，g(x)ex0，g(x)在x0处取得最小值g(0)1，在x1处取得最大值g(1)e.当a1时，对于任意x0,1有g(x)2xex0，g(x)在x0处取得最大值g(0)2，在x1处取得最小值g(1)0.当0a0. 若1，即0a时， g(x)在0,1上单调递增，g(x)在x0处取得最小值g(0)1a，在x1处取得最大值g(1)(1a)e.当1，即a1时，g(x)在x处取得最大值g()2ae，在x0或x1处取得最小值，而g(0)1a，g(1)(1a)e，由g(0)g
12、(1)1a(1a)e(1e)a1e0，得a.则当a时， g(0)g(1)0，g(x)在x0处取得最小值g(0)1a；当a0，g(x)在x1处取得最小值g(1)(1a)e.课程小结1、利用导数研究函数的单调性如果在某个区间内，函数yf(x)的导数f(x)0，则在这个区间上，函数yf(x)是增加的；如果在某个区间内，函数yf(x)的导数f(x)0，则在这个区间上，函数yf(x)是减少的2、利用导数求函数的极值: (1)求出导数f(x)；(2)解方程f(x)0；(3)对于f(x)0的每一个解x0：若f(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点；若f(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点；若f(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点3、利用导数求函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求f(x)在(a，b)内的极值；将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值-第 22 页导数与函数的单调性、极值、最值