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1、-因式分解精选例题(附答案)-第 13 页因式分解 例题讲解及练习【例题精选】： （1） 评析：先查各项系数（其它字母暂时不看），确定5，15，20的最大公因数是5，确定系数是5 ，再查各项是否都有字母X，各项都有时，再确定X的最低次幂是几，至此确认提取X2，同法确定提Y，最后确定提公因式5X2Y。提取公因式后，再算出括号内各项。解：（2） 评析：多项式的第一项系数为负数，应先提出负号，各项系数的最大公因数为3，且相同字母最低次的项是X2Y 解: （3）(y-x)(c-b-a)-(x-y)(2a+b-c)-(x-y)(b-2a) 评析：在本题中，y-x和x-y都可以做为公因式，但应避免负号过多
2、的情况出现，所以应提取y-x解：原式=(y-x)(c-b-a)+(y-x)(2a+b-c)+(y-x)(b-2a) =(y-x)(c-b-a+2a+b-c+b-2a) =(y-x)(b-a)（4） （4） 把分解因式 评析：这个多项式有公因式2x3，应先提取公因式，剩余的多项式16y4-1具备平方差公式的形式解：=2=2=（5） （5） 把分解因式 评析：首先提取公因式xy2，剩下的多项式x6-y6可以看作用平方差公式分解，最后再运用立方和立方差公式分解。 对于x6-y6也可以变成先运用立方差公式分解，但比较麻烦。 解： =xy2(x6-y6)= xy2=（6）把分解因式 评析：把(x+y)看
3、作一个整体，那么这个多项式相当于(x+y)的二次三项式，并且为降幂排列，适合完全平方公式。对于本例中的多项式切不可用乘法公式展开后再分解，而要注意观察分析，善于把(x+y)代换完全平方公式中的a，（6Z）换公式中的解： =(x+y-6z)2（7） （7） 把分解因式评析：把x2-2y2和y2看作两个整体，那么这个多项式就是关于x2-2y2和y2的二次三项式，但首末两项不是有理数范围内的完全平方项，不能直接应用完全平方公式，但注意把首项系数提出后，括号里边实际上就是一个完全平方式。解：（8） （8） 分解因式a2-b2-2b-1 评析：初看，前两项可用平方差公式分解。采用“二、二”分组，原式=(
4、a+b)(a-b)-(2b+1)，此时无法继续分解。再仔细看，后三项是一个完全平方式，应采用“一、三”分组。解：a2-b2-2b-1= a2-(b2-2b+1)=a2-(b+1)2=a+(b+1)a-(b+1)=(a-b-1)(a+b+1)一般来说，四项式“一、三”分解，最后要用“平方差”。四项式“二、二”分组，只有前后两组出现公因式，才是正确的分组方案。（9） （9） 把a2-ab+ac-bc分解因式解法一：a2-ab+ac-bc=(a2-ab)+(ac-bc)=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c)解法二：a2-ab+ac-bc=(a2+ac)-(ab+bc)=a(a+c)-b(
5、a+c) =(a-b)(a+c)（10） （10） 把分解因式解法一：解法二：说明：例（2）和例（3）的解法一和解法二虽然分组不同，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应系数成比例。（2）题解法一 1：1，解法二也是1：1；（3）题解法一是1：1，解法二是2：（-3）(11) 分解因式评析：四项式一般先观察某三项是否是完全平方式。如是，就考虑“一、三”分组；不是，就考虑“二、二”分组解法一：解法二：=解法三：=（12） （12） 分解因式(a-b)2-1-2c(a-b)+c2 评析：本题将（a-b）看作一个整体，可观察出其中三项是完全平方式，可以“一、三”分组解：(a-b)2-1-2c(a-b
6、)+c2 =(a-b)2-2c(a-b)+c2-1=(a-b)-c2-1=(a-b-c)2-1-(a-b-c+1)(a-b-c-1)（13）分解因式8a2-5ab-42b2 8a -21b解：8a2-5ab-42b2 a +2b =(8a-21b)(a+2b) -21ab+16ab=-5ab（14） （14） 分解因式a6-10a3+16 解：a6-10a3+16 a3 -2 =( a3-2)( a3-8) a3 -8 =( a3-2)(a-2)(a2+2a+4) -8a3-2a3 =-10a3（15） （15） 分解因式-x2+x+30解：-x2+x+30 （先提出负号） x +5 =-(
7、x2-x-30) x -6 =-(x+5)(x-6) +5x-6x=-x（16） （16） 分解因式12(x+y)2-8(x+y)-7 解：12(x+y)2-8(x+y)-7 2(x+y) +1 =2(x+y)+16(x+y)-7 6(x+y) -7 =(2x+2y+1)(6x+6y-7) -14+6=8（17）把分解因式评析：此题是一个五项式，它能否分组分解，要看分组后组与组之间是否出现公因式或是否符合公式。本题注意到后三项当把-1提出后，实际上是按立方差公式分解后的一个因式：解：（18） （18） 把分解因式评析：把看成一组符合完全平方公式，而剩下的三项把-1提出之后恰好也是完全平方式，这
8、样分组后又可用平方差公式继续分解。解：（19）分解因式 评析：先不要把前面两个二次三项式的乘积展开，要注意到这两个二次三项式的前两项都是这一显著特点，我们不妨设=a可得（a+1）（a+2）-6即a2+3a+2-6，即a2+3a-4，此时可分解为（a+4）（a-1）解： （20）把分解因式解： （21）把分解因式 评析：它不同于例3（1）的形式，但通过观察，我们可以对这两个二次三项式先进行分解，有。它又回到例3（1）的形式，我们把第一项和第三项结合在一起，第二、四项结合在一起，都产生了（x2-3x）解： （22）把分解因式 评析：不要轻易展开前四个一次因式的积，要注意到常数有16=23=6 利用
9、结合律会出现a2+6 解：（23）把（x+1）（x+3）（x+5）（x+7）-9分解因式 评析：不要轻易地把前四个一次因式的乘积展开，要注意到1+7=3+5，如果利用乘法结合律，把（x+1）（x+7）和（x+3）（x+5）分别乘开就会出现的形式，这就不难发现（x2+8x）作为一个整体a同时出现在两个因式中，即（a+7）（a+15）-9的形式，展开后有a2+22a+96，利用十字相乘，得到（a+6）（a+16）而分解。 解：（x+1）（x+3）（x+5）（x+7）-9 =（x+1）（x+7）（x+3）（x+5）-9 以下同于例3 =+96（24）把x（x+1）（x+2）（x+3）-24分解因式
10、评析：通过观察第一项和第四项两上一次式相乘出现（x2+3x），第二和第三个一次式相乘出现（x2+3x）。可以设x2+3x=a，会有a（a+2）-24，此时已易于分解 解：x（x+1）（x+2）（x+3）-24 =x（x+3）（x+1）（x+2）-24（25）把分解因式评析：不要急于展开，通过观察前两项，发现它们有公共的x2+3x，此时把它看成一个整体将使运算简化。解：（26）把分解因式 评析：我们可以观察到+前后的两项都有（a+b）和（c+d）。据此可把它们看作为一个整体。解：（27）把分解因式 评析：把（1+a）看成一个整体，第一项1与第二项a也合成一个整体（1+a） 解：（28）把分解因式
11、 评析：此题容易想到分组分解法，但比较困难，考虑到 此时可设 再用待定系数法求出m和n 解：设 比较两边对应系数 得到 m+2n=2 -3n+2m=11 mn=-4 由和 得到m=4，n=-1 代入也成立 =（2x-3y+4）（x+2y-1）（29）把分解因式 解： =（x+4y+m）（x-2y+n） 有 m+n=-4 4n-2m=-10 mn=3 由和 得到m=-3，n=-1 代入也成立 =（x+4y-3）（x-2y-1）（30）当x+y=2时，求的值 评析：x+y=2这是唯一的条件。要从中找到x+y或有关（x+y）的表达式 解：=（x+y）（）+6xy x+y=2 原式= =2=8 （31
12、）己知=2 求的值解：=2原式=2（2）2-3=2 （32）己知x-y=2，求的值解： = （x-y） -3a = （x-y） +2a x-y=a 原式=初中因式分解的常用方法（例题详解）一、提公因式法. 如多项式其中m叫做这个多项式各项的公因式， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式二、运用公式法.运用公式法，即用写出结果三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解
13、：原式= = 每组之间还有公因式！ 思考：此题还可以怎样分组？此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。例2、分解因式：解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。 第二、三项为一组。解：原式= 原式=练习：分解因式1、 2、（二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式：分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。 解：原式= 例4、分解因式： 解：原式=注意这两个例题的区别！练习：分解因式3、 4、综合练习：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7）
14、（8）（9） （10）（11）（12）四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式进行分解。特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。 例5、分解因式：分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。 由于6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(-6)，从中可以发现只有23的分解适合，即2+3=5。 1 2解：= 1 3 = 12+13=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例6、分解因式：解：原式= 1 -1 = 1 -6 （-1）+（-6）= -7练习5、分解
15、因式(1) (2) (3)练习6、分解因式(1) (2) (3)（二）二次项系数不为1的二次三项式条件：（1） （2） （3） 分解结果：=例7、分解因式：分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：=练习7、分解因式：（1） （2） （3） （4）（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解：=练习8、分解因式(1)(2)(3)（四）二次项系数不为1的齐次多项式例9、 例10、 1 -2y 把看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-
16、3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= 解：原式=练习9、分解因式：（1） （2）综合练习10、（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7）（8）（9）（10）思考：分解因式：五、主元法. 例11、分解因式： 5 -2解法一：以为主元 2 -1 解：原式= (-5)+(-4)= -9 = 1 -(5y-2) = 1 (2y-1) = -(5y-2)+(2y-1)= -(3y-1)解法二：以为主元 1 -1 解：原式= 1 2 = -1+2=1= 2 (x-1)= 5 -(x+2) = 5(x-1)-2(x+2)=(3x-9)练习11、分解因式(1) (2)(3
17、) (4)六、双十字相乘法。定义：双十字相乘法用于对型多项式的分解因式。条件：（1），（2），即： 则例12、分解因式（1） （2）解：（1）应用双十字相乘法： 原式= （2）应用双十字相乘法： 原式=练习12、分解因式（1） （2）七、换元法。例13、分解因式（1） （2）解：（1）设2005=，则原式=（2）型如的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。 原式=设，则原式=练习13、分解因式（1）（2） （3）例14、分解因式（1）观察：此多项式的特点是关于的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数
18、，然后再用换元法。解：原式=设，则原式= （2）解：原式= 设，则 原式=练习14、（1）（2）八、添项、拆项、配方法。 例15、分解因式（1） 解法1拆项。 解法2添项。原式= 原式=（2）解：原式=练习15、分解因式（1） （2）（3） （4）（5） （6）九、待定系数法。例16、分解因式分析：原式的前3项可以分为，则原多项式必定可分为解：设=对比左右两边相同项的系数可得，解得原式=例17、（1）当为何值时，多项式能分解因式，并分解此多项式。 （2）如果有两个因式为和，求的值。（1）分析：前两项可以分解为，故此多项式分解的形式必为解：设= 则=比较对应的系数可得：，解得：或当时，原多项式可
19、以分解；当时，原式=；当时，原式=（2）分析：是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如的一次二项式。解：设= 则=，解得，=21练习17、（1）分解因式（2）分解因式（3）已知：能分解成两个一次因式之积，求常数并且分解因式。（4）为何值时，能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。初二因式分解练习题 5 （单元测试） 姓名 一、填空题：（5分 4=20分）（1）分解因式； ；（2）分解因式： ；（3）分解因式： ；（4）分解因式： ；二、选择题：（5分 6=30分）（1）下列变形，是因式分解的是-（ ）A B C D （2）下列各式中，不含因式 的是-（ ）A B C D （3）下列各式中，能用平方差分解因式的式子是-（ ）A B C D （4）已知 ，则 的值是-（ ）A ， B C D ， （5）如果 是一个完全平方式，那么 的值是-（ ）A B C D （6）已知 ，则 的值是-（ ）A 0 B C 3 D 9三、把下列各式因式分解：（6分 5=30分）（1） （2） （3） （4） （5） 四、（10分）已知 ，求证： 五、（10分）求证：每个奇数的平方被8除必余1