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1、-奇函数偶函数-第 3 页如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x值，都有f(x)=(x)那么就称f(x)为奇函数 如 果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x值，都有f(x)=f(x)，那么就称f(x)为偶函数 说明：(1)由奇函数、偶函数的定义可知，只有当f(x)的定义域是关于原点成对称的若干区间时，才有可能是奇 (2)判断是不是奇函数或偶函数，不能轻率从事，例如判断f(x) 是不易的为了便于判断有时可采取如下办法：计算f(x)+f(x)，视其结果而说明是否是奇函数用这个方法判断此函数较为方便：f(x) (3)判断函数的奇偶性时，还应注意是否对定义域内的任何x值， 当x0时，显然有f(x
2、)=f(x)，但当x=0时，f(x)=f(x)=1，f(x)为非奇非偶函数 (4)奇函数的图象特征是关于坐标原点为对称的中心对称图形；偶函数的图象特征是关于y轴为对称轴的对称图形 (5)函数的单调性与奇偶性综合应用时，尤其要注意由它们的定义出发来进行论证 例 如果函数f(x)是奇函数，并且在(0，+)上是增函数，试判断在(，0)上的增减性 解 设x1，x2(，0)，且x1x20 则有x1x20， f(x)在(0，+)上是增函数， f(x1)f(x2) 又f(x)是奇函数，f(x)=f(x)对任意x成立， =f(x1)f(x2) f(x1)f(x2) f(x)在(，0)上也为增函数 由此可得出结
3、论：一个奇函数若在(0，+)上是增函数，则在(，0)上也必是增函数，即奇函数在(0，+)上与(，0)上的奇偶性相同 类似地可以证明，偶函数在(0，+)和(，0)上的奇偶性恰好相反 时，f(x)的解析式 解 x0，x0 又f(x)是奇函数，f(x)=f(x)偶函數f(x) = x2，偶函數的一個例子設f(x)為一實變數實值函數，則f為偶函數若下列的方程對所有實數x都成立：f(x) = f( x) 幾何上，一個偶函數會對y軸對稱，亦即其圖在對y軸為鏡射後不會改變。偶函數的例子有x、x2、x4、cos(x)和cosh(sec)(x)。偶函數不可能是個雙射映射。奇函數f(x) = x，奇函數的一個例子再次地，設f(x)為一個實變數實值函數，則f為奇函數若下列的方程對所有實數x都成立：f(x) = f( x) 或 f( x) = f(x) 幾何上，一個奇函數對原點對稱，亦即其圖在繞原點做180度旋轉後不會改變。奇函數的例子有x、x3、sin(x)、sinh(x)和erf(x)。