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1、第一章 数与式第1课 实数及其运算,1.实数的分类 按实数的定义分类：,要点梳理,正无理数,负无理数,有理数,正整数,零,正分数,负分数,根据需要，我们也可以按符号进行分类，如：实数,2实数的有关概念 (1)数轴：规定了 ， 和 的直线 叫做数轴数轴上所有的点与全体实数一一对应 (2)相反数：只有_不同，而_相同的两个数称 为互为相反数若a、b互为相反数，则ab_. (3)倒数：1除以一个不等于零的实数所得的_，叫做 这个数的倒数若a、b互为倒数，则ab_.,原点,正方向,单位长度,符号,绝对值,0,商,1,(4)绝对值：在数轴上，一个数对应的点离开原点的 叫做这个数的绝对值,距离,a,0,a
2、,|a|是一个非负数，即|a|_.,0,(5)科学记数法，近似数，有效数字： 科学记数法就是把一个数表示成 的形式； 一个近似数， 到哪一位，就说这个数精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起，到末位数字止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字 (6)平方根，算术平方根，立方根： 如果x2a，那么x叫做a的平方根，记作_； 正数a的正的平方根，叫做这个数的算术平方根； 如果x3a，那么x叫做a的立方根，记作_,a10n(1a10,n是整数),四舍五入,3.零指数幂，负整数指数幂： 任何非零数的零次幂都等于1，即 ； 任何不等于的数的p次幂，等于这个数p次幂的倒数， 即 4.实数的大小比较
3、： _大于零，_小于零，_大于一切负数； 在数轴上表示的两个数，右边的点所表示的数总比_的 点所表示的数_ 差值法比较： ab0ab ab0ab ab0ab,a01(a0),ap (a0，p为正整数),正数,负数,正数,左边,大,5.实数的运算： 实数的运算顺序是先算 ，再算 ，最后算 _如果有括号，先算_，再算_，最后算 _同级运算应 .,乘方和开方,乘除,加减,小括号,中括号,大括号,从左到右,按顺序进行, 难点正本 疑点清源 ,1正确理解实数相关的概念在实数范围内，由于对数学概念的理解不清楚，导致出现各种判断和列式错误这些概念包括：正数、负数、有理数、无理数、实数、相反数、倒数、平方根、
4、算术平方根、立方根、绝对值、数轴、零指数、负整数指数等 2注意基本技能的掌握及正确的运算在实数范围内，由于对基本技能掌握不熟练，导致出现一系列变形和计算错误这些技能包括：分数的通分与约分、运算的灵活应用、实数的运算、实数的大小比较、近似数的表示、用科学记数法表示数等,3利用数形结合的数学思想直观地解决问题 数本身是无形的、抽象的，而点、线等图形却是直观的数轴正是在有形的直线上按由小到大的顺序把无形的数表示出来，把“数”与“形”有机地结合起来，从而便于学习和研究,4运用分类讨论思想，全面解答问题 在学习相反数、绝对值和有理数乘方运算的符号法则时，应把实数分成正实数、零、负实数三类分别研究，运用分
5、类讨论的思想，在一些看上去较复杂的计算题中，可通过分类讨论，全面地把代数式的值一一求出来，如： 已知abc0，且M ，根据a、b、c的不同取值，M有 () A唯一确定的值B三种不同的值 C四种不同的值D八种不同的值,B,基础自测,1(2011金华)有四包真空小包装火腿，每包以标准克数(450克)为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数，以下数据是记录结果，其中表示实际克数最接近标准克数的是 () A2 B3 C3 D4 解析：四个选项中2的绝对值最小，故最接近标准,A,2(2011衢州)数2的相反数为 () A2 B. C2 D 解析：一个数的相反数就是在这个数前面加“”号 3(2011
6、义乌)3的绝对值是 () A3 B3 C D. 解析：|3|3，一个负数的绝对值是它的相反数,A,A,4(2011宁波)下列各数中，是正整数的是 () A1 B. 2 C0.5 D. 解析：选项中只有2既是正数，又是整数 5(2011陕西)我国第六次人口普查显示，全国人口为1370536875 人，将这个总人口数(保留三个有效数字)用科学计数法表示为 () A1.37109 B1.37107 C1.37108 D1.371010 解析：13705368751.3705368751091.37109.,B,A,题型分类 深度剖析,题型一 实数的分类 【例 1】(1)在0,1,2,3.5这四个数中
7、，是负整数的是 ( ) A0 B1 C2 D3.5 解析：负整数既是负数，又是整数，这里只有2符合 (2)在实数0,1, ,0.1235中，无理数的个数为 ( ) A0个 B1个 C2个 D3个 解析：无理数是无限不循环小数，开不尽方，是无限不循环小数,C,B,探究提高 判断一个数是不是无理数，关键就看它能否写成无限不循环小数初中常见的无理数共分三种类型： (1)含根号且开不尽方的数； (2)化简后含(圆周率)的式子； (3)有规律但不循环的无限小数掌握常见无理数类型有助于识别无理数,知能迁移1(1)下列五个实数： ，0，tan 45，|3|， ( )1.其中正数的和为 ( ) A4 B5 C
8、6 D7 解析：(3)0tan45 ( )11124，这三个正数的和等于4，选A. (2)下列四个数中，在0到3之间的无理数是 ( ) A. B. C D1 解析：0 ，只有 是0到3之间的无理数，选B.,B,A,题型二科学记数法与近似值、有效数字,【例 2】(1)(2011浙江)中国是严重缺水的国家之一，人均淡水资源为世界人均量的四分之一，所以我们要为中国节水，为世界节水若每人每天浪费水0.32L，那么100万人每天浪费的水，用科学记数法表示为 ( ) A. 3.2107L B. 3.2106L C. 3.2105L D. 3.2104L 解析：0.32100万0.321063.2105(L
9、) (2)下列近似数中精确到千位的是 ( ) A90200 B3.450102 C3.4104 D3.4102 解析：3.4104表示3万4千，精确到千位，选C.,C,C,探究提高 (1)科学记数法一般表示的数较大，所以解题时一定要仔细确定n的值时，从最后一位起数到最高位的下一位即可，最后可将答案还原成原数进行检验 (2)用有效数字表示的数，在确定其精确度时，要还原成原数后再进行判断,知能迁移2(1)近似数2.5万精确到_位；有效数字分是 解析：2.5万2万5千，精确到千位，有效数字分别是2，5. (2)0.5796保留三个有效数字的近似数是_；由四舍五入法得到的近似数2.30亿精确到_位，有
10、_个有效数字 解析：0.57960.580，保留三位有效数字的近似数是0.580； 2.30亿2亿3千0百万，精确到百万位，有3个有效数字,千,2，5,0.580,百万,3,(3)(2011安徽芜湖)我们身处在自然环境中，一年接受的宇宙射线及其它天然辐射照射量约为3100微西弗(1西弗等于1000毫西弗，1毫西弗等于1000微西弗)，用科学记数法可表示为 ( )A3.1106西弗 B3.1103西弗C3.1103西弗 D3.1106西弗 解析：31001031033.1103.,C,题型三实数的运算,【例 3】(1)计算： 0 ； (2)计算：(2)22(3)( )1. 解题示范规范步骤，该得
11、的分，一分不丢！ 解：(1)|4|( 1)0 412 3分 52 4分 (2)(2)22(3)( )1463 3分 1 4分,探究提高 实数运算要严格按照法则进行，对于实数混合运算，注意符号和顺序是非常重要的.,知能迁移3(1)(2011温州)计算：(2)2(2011)0 . 解：(2)2(2011)0 412 52 . (2)(2011舟山)计算：22 (3)0(2). 解：原式43124.,题型四与实数相关的概念,【例 4】(1)已知|a|1，|b|2，|c|3，且abc，那么abc_. 解析：由|a|1，|b|2，|c|3， 得a1，b2，c3. 又abc.可以a1，b2，c3， 所以a
12、bc1(2)(3)2， 或abc(1)(2)(3)0.,2或0,(2)设|a|4，|b|2，且|ab|(ab)，试求ab所有值的和 解：|a|4，|b|2，a4，b2， 又|ab|(ab)0，ab0， 可知a4，b2， 所以ab426， 或ab4(2)2， 6(2)8， ab所有值的和是8.,探究提高 (1)两个互为相反数的和为0； (2)正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数， 0的绝对值是0.,知能迁移4(1)(2011镇江)计算： ( )_； _； 0_； 1_.,1,2,(2)若ab0，则 的值等于_ 解析：由ab0，得a0且b0或a0且b0， 于是 1111 或 (1)(1)
13、13.,1或3,题型五与数轴联系,【例 5】(1)如图，若A是实数a在数轴上对应的点，则关于 a，a,1的大小关系，表示正确的是 ( ) Aa1a Baa1 C1aa Daa1 解析：如图，在数轴上找出a所对应的位置， 易知a1a，选A.,A,(2)观察图中的数轴，用字母a，b，c依次表示点A、B、C所对应 的数，则 、 、 的大小关系是 ( ) A. 103， 3. .选C.,C,探究提高 数形结合借助数轴找到数的位置，或由数找到在数轴上点的位置，及其相反数的位置再根据数轴上右边的数大于左边的数，确定各数的大小,知能迁移5(1)(2011宜昌)如图，数轴上A、B两点分别对应实数 a、 b，则
14、下列结论正确的是 ( ) A. a b Dab 0 解析：因为a0，bb.,C,(2)有理数a、b满足a0，且|a|b|，试用“”号把a、b，a、b连接起来：_. 解析：据题意，把有理数a、b表示在数轴上，并把a、b也表示在同一条数轴上，如图，易得abba.,abba,易错警示,1实数概念中的常见错误 试题若一个实数的(1)倒数；(2)绝对值；(3)平方数；(4)立方； (5)平方根；(6)算术平方根；(7)立方根等于它的本身，则这个 数分别为： (1) (2) (3)_(4)_(5)_(6)_(7)_ 学生答案展示(1)1；(2)正数；(3)1；(4)1或1；(5)1；(6)0； (7)1和
15、1. 剖析实数概念理解往往似是而非或不够全面，出现一些不该有的错误上述给出的答案不完整，漏掉了一些符合条件的数，产生错误的原因是忽略了引进负数对数的范围扩展不适应,试题若一个实数的(1)倒数；(2)绝对值；(3)平方数；(4)立方； (5)平方根；(6)算术平方根；(7)立方根等于它的本身，则这个 数分别为： (1) (2)_(3)_(4)_(5)_(6)_(7)_ 正解(1)1和1；(2)正数和0(或非负数)；(3)1和0；(4)1、0和1；(5)0；(6)0和1；(7)1、0和1. 批阅笔记本题考查了实数的基本概念，有的同学对所学的倒数、绝对值、平方与平方根等概念没有全面理解，因而造成错误
16、,思想方法 感悟提高,方法与技巧 1重视实数概念的学习，理解实数与数轴上的点是一一对应的 2注意实数乘方概念的理解，防止概念之间的混淆 3可借助数轴，“数形结合”，找到数与点的关系，根据对称性质找出互为相反数的位置，再比较大小,失误与防范 引进负数，使数的概念得以扩展，实现了算术数到有理数的飞跃，许多小学形成的认识被推翻了： 1“”“”除了仍表示运算符号外，还可以看作一个数的性质符号；“”还可以用来表示原数的相反数，即在一个数前面添上“”号，可得到原数的相反数 2减法可以转化为加法，在小学里，加法与减法是两回事，但引进负数后，减法就不再作为独立的运算而存在，而是把减法转化为加法,3原来的一些结
17、论不再成立，如“差一定小于或等于被减数”这个结论就是不一定正确了 4数“0”被赋予新的含义，具有独特的性质，思考相关问题要全面，否则的话，极易落入“0”设置的陷阱,完成考点跟踪训练 1,搞清实数的分类标准，尤其要弄懂无理数的三种常见形式： ；无限不循环小数，如0.1010010001；开方开不尽的数，如 等。 绝对值的性质要注意正确区分数的三种情况，尤其是负数去掉绝对值应变为其相反数。 实数的大小比较应重点掌握作差法和作商法，才能更好地有的放矢。,方法小结：,2.有关实数的非负性：,若几个非负数的和等于0,那么这几个非负数都0.,解：由3a+4+ (4b-3)2 = 0 得 3a+4= 0 且
18、 (4b-3) 3a+4 = 0 且 4b-3 a=-4/3，b=3/4 ab=(-4/3)(3/4)=-1,有理数集合： ；,课时训练,1、把下列各数填在相应的大括号内：,整数集合： ；,分数集合： ；,无理数集合： 。,-1，0，,-1，3.14，0， ，cos60，,2、下列说法中，错误的个数是 （ ）,无理数都是无限小数；无理数都是开方开不尽的数； 带根号的都是无理数；无限小数都是无理数。,A.1个； B.2个； C.3个； D.4个。,3、数轴上的点与（ ）一一对应。,A.整数； B.有理数； C.无理数； D.实数。,4、下列运算正确的是 （ ）,A.,B.,C.,D.,C,D,A,7、 的绝对值等于 ， 的平方根等于 ， 的倒数是 。,（黄冈2004年中考题）,9.(重庆市北碚区 2004 ) 的相反数是（ ） A. B. C. -2 D. 2,10.(青海省湟中县实验区2004 ) 的相反数的倒数是 .,C,A,