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1、-复变函数习题解答(第1章)-第 6 页p44第一章习题(一) 13, 16, 17 , 2013. 试证arg z ( -p 0，D2 = zC | Im(z) 0，D3 = zC | Im(z) 0(1) 首先，f(z)在原点无定义，故f(z)在原点处不连续(2) 设aR，且a 0则f(a) = p考察点列zn = | a | (cos(1/n - p) + i sin(1/n - p) )，nN+显然，-p 0 上的二元连续函数，故f(z)是D1上的连续函数(3.2) 在D2上，f(z) = arccot(x/y)，因arccot(x/y)是(x, y)R2 | y 0 上的二元连续函数
2、，故f(z)是D2上的连续函数(3.3) 在D3上，f(z) = arccot(x/y) - p，因arccot(x/y) - p是(x, y)R2 | y 0，使得Ur(a) = zC | | z a | 0，$h 0，使得 zDk，当| z a | h时，| f(z) - f(a) | e设d = min r, h ，则 zD，当| z a | d时，zUr(a) Dk，又因| z a | d h，故必有| f(z) - f(a) | e所以，f在a处连续由a的任意性，f(z)是上的连续函数连续性部分的证明可以用几何的方法，而且写起来会简单些但我们之所以选择这个看起来很复杂的方法，是可以从
3、这里看出q(z) = arg(z)作为(x, y)的二元函数，在D1, D2, D3上都有很明显的可导的表达式，因此它在区域D上不仅是连续的，而且是连续可导二元函数：qx = y/(x2 + y2)，qy = - x/(x2 + y2)证明中的第四部分并不是多余的，这是因为若f在两个集合A, B上都连续(即使它们有公共的部分)，一般说来，并不能保证f在两个集合AB上也连续问题：若f在区域A, B上都连续，且A B ，问f在AB上是否必连续？16. 试问函数f(z) = 1/(1 z )在单位圆| z | 1内是否连续？是否一致连续？【解】(1) f(z)在单位圆| z | 1内连续因为z在C内
4、连续，故f(z) = 1/(1 z )在C1内连续(连续函数的四则运算)，因此f(z)在单位圆| z | 1内连续(2) f(z)在单位圆| z | 1内不一致连续令zn = 1 1/n，wn = 1 1/(n + 1)，nN+则zn, wn都在单位圆| z | 0，故 f(z)在单位圆| z | 1内不一致连续也可以直接用实函数f(x) = 1/(1 x )在(0, 1)不一致连续来说明，只要把这个实函数看成是f(z)在E = zC | Im(z) = 0, 0 Re(z) 0，$NN+，使得n N，有| zn - z0 | e此时有| xn - x0 | | zn - z0 | e；| y
5、n - y0 | | zn - z0 | 0，$N1N+，使得n N1，有| xn - x0 | N2，有| yn - y0 | N，有n N1且n N2，故有| zn - z0 | = | (xn - x0) + i (yn - y0) | | xn - x0 | + | yn - y0 | 0，$KN+，使得n K，有| zn - z0 | K时，有| (z1 + z2 + . + zn)/n - z0 | = | (z1 - z0) + (z2 - z0) + . + (zn - z0) |/n ( | z1 - z0 | + | z2 - z0 | + . + | zn - z0 |)
6、/n = ( | z1 - z0 | + . + | zK - z0 |)/n + ( | zK +1 - z0 | + . + | zn - z0 |)/n M/n + (n - K)/n (e /2) M/n + e /2因lim n (M/n) = 0，故$LN+，使得n L，有M/n K时，有| (z1 + z2 + . + zn)/n - z0 | M/n + e /2 e /2 + e /2 = e所以，lim n (z1 + z2 + . + zn)/n = z0(2) 当z0 时，结论不成立这可由下面的反例看出例：zn = (-1)n n，nN+显然lim n zn = 但kN
7、+，有(z1 + z2 + . + z2k)/(2k) = 1/2，因此数列(z1 + z2 + . + zn)/n不趋向于这个结论的证明的方法与实数列的情况完全相同，甚至反例都是一样的p45第一章习题(二) 6, 8, 9, 11, 12 6. 设| z | = 1，试证：| (a z + b)/(b* z + a* ) | = 1(z*表示复数z的共轭)【解】此题应该要求b* z + a* 0| a z + b | = | (a z + b)* | = | a* z* + b* | = | a* z* + b* | | z | = | (a* z* + b*) z | = | a* z*
8、z + b* z | = | a* | z |2 + b* z | = | b* z + a* |故| (a z + b)/(b* z + a* ) | = 18. 试证：以z1, z2, z3为顶点的三角形和以w1, w2, w3为顶点的三角形同向相似的充要条件为= 0【解】两个三角形同向相似是指其中一个三角形经过(一系列的)旋转、平移、位似这三种初等几何变换后可以变成另一个三角形(注意没有反射变换)例如我们将采用下述的观点来证明：以z1, z2, z3为顶点的三角形和以w1, w2, w3为顶点的三角形同向相似的充要条件是：将它们的一对对应顶点都平移到原点后，它们只相差一个位似旋转记f1(
9、z) = z - z1 (将z1变到0的平移)；f3(z) = z - w1 (将0变到w1的平移)；那么，三角形z1z2z3与三角形w1w2w3同向相似存在某个绕原点的旋转位似变换f2(z) = z0 z，使得f2 ( f1(zk) = f3(wk)，(k = 2, 3)，其中z0C0存在z0C0，使得z0(zk - z1) = wk - w1，(k = 2, 3)(w2 - w1)/(z2 - z1) = (w3 - w1)/(z3 - z1)= 0= 0= 0证完9. 试证：四个相异点z1, z2, z3, z4共圆周或共直线的充要条件是(z1 z4)/(z1 z2) : (z3 z4)
10、/(z3 z2)为实数【解】在平面几何中，共线的四个点A, B, C, D的交比定义为(A, B; C, D) = (AC/CB) : (AD/DB)这是射影几何中的重要的不变量类似地，在复平面上，(不一定共线的)四个点z1, z2, z3, z4的交比定义为z1z2, z3z4 = (z1 z3)/(z2 z3) : (z1 z4)/(z2 z4)本题的结论是说：复平面上四个点共圆或共线的充要条件是其交比为实数() 分两种情况讨论(1) 若(z1 z4)/(z1 z2)为实数，则(z3 z4)/(z3 z2)也是实数设(z1 z4)/(z1 z2) = t，tR则z4 = (1 t)z1 +
11、 t z2，故z4在z1, z2所确定的直线上，即z1, z2, z4共线因此，同理，z1, z2, z3也共线所以，z1, z2, z3, z4是共线的(2) 若(z1 z4)/(z1 z2)为虚数，则(z3 z4)/(z3 z2)也是虚数故Arg (z1 z4)/(z1 z2) kp，Arg (z3 z4)/(z3 z2) kp而Arg (z1 z4)/(z1 z2) Arg (z3 z4)/(z3 z2)= Arg (z1 z4)/(z1 z2) : (z3 z4)/(z3 z2) = kp注意到Arg (z z4)/(z z2) = Arg (z4 z)/(z2 z)是z2 z到z4
12、z的正向夹角，若Arg (z1 z4)/(z1 z2) = Arg (z3 z4)/(z3 z2)，则z1, z3在z2, z4所确定的直线的同侧，且它们对z2, z4所张的角的大小相同，故z1, z2, z3, z4是共圆的若Arg (z1 z4)/(z1 z2) = Arg (z3 z4)/(z3 z2) + p，则z1, z3在z2, z4所确定的直线的异侧，且它们对z2, z4所张的角的大小互补，故z1, z2, z3, z4也是共圆的() 也分两种情况讨论(1) 若z1, z2, z3, z4是共线的，则存在s, tR0, 1，使得z4 = (1 s)z3 + s z2，z4 = (
13、1 t)z1 + t z2，那么，z3 z4 = s (z3 z2)，即(z3 z4)/(z3 z2) = s；而z1 z4 = t (z1 z2)，即(z1 z4)/(z1 z2) = t，所以，(z1 z4)/(z1 z2) : (z3 z4)/(z3 z2) = t/sR(2) 若z1, z2, z3, z4是共圆的，若z1, z3在z2, z4所确定的直线的同侧，那么，Arg (z4 z1)/(z2 z1) = Arg (z4 z3)/(z2 z3)因此(z4 z1)/(z2 z1) : (z4 z3)/(z2 z3)是实数也就是说(z1 z4)/(z1 z2) : (z3 z4)/(
14、z3 z2)是实数若z1, z3在z2, z4所确定的直线的异侧，则Arg (z4 z1)/(z2 z1) + Arg (z2 z3)/(z4 z3) = (2k + 1)p，故Arg (z1 z4)/(z1 z2) : (z3 z4)/(z3 z2)= Arg (z1 z4)/(z1 z2) Arg (z3 z4)/(z3 z2)= Arg (z1 z4)/(z1 z2) + Arg (z3 z2)/(z3 z4)= Arg (z4 z1)/(z2 z1) + Arg (z2 z3)/(z4 z3) = (2k + 1)p，所以，(z1 z4)/(z1 z2) : (z3 z4)/(z3 z
15、2)仍为实数证完这个题目写的很长，欢迎同学们给出更简单的解法11. 试证：方程| z - z1 |/| z - z2 | = k ( 0 k 1，z1 z2 )表示z平面的一个圆周，其圆心为z0，半径为r，且z0 = (z1 - k2 z2)/(1 - k2)，r = k | z1 - z2|/| 1 - k2 |【解】到两定点距离成定比的点的轨迹是圆或直线当比值不等于1时，轨迹是一个圆，这个圆就是平面几何中著名的Apollonius圆设0 0 | (1 - z)/(1 + z) | 0 点z在y轴右侧 点z在点-1和点1为端点的线段的垂直平分线的右侧 点z在点-1和点1为端点的线段的垂直平分
16、线的与1同侧的那一侧 点z到点-1的距离大于点z到点1的距离 |1 + z | | 1 - z | | (1 - z)/(1 + z) | 1不用几何意义可以用下面的方法证明：设z = x + i y，x, yR| (1 - z)/(1 + z) | | 1 - z | |1 + z |2 | 1 - z |2 1 + z2 + 2Re(z) 1 + z2 - 2Re(z) Re(z) 0由本题结论，可知映射f(z) = (1 - z)/(1 + z)必然把右半平面中的点映射到单位圆内的点并且容易看出，映射f(z)把虚轴上的点映射到单位圆周上的点问题：f(z)在右半平面上的限制是不是到单位圆的双射？f(z)在虚轴上的限制是不是到单位圆周的双射？mN+，$mN+， a1, a2, ., an lim n，+ne 0， un， n 1 un，mR，e 0，$d 0，【解】0, 2p l 2 dx，f(x) = (-, +)-p, p1 k n un，0, 2p