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1、-基本计数原理 概念及例题-第 5 页基本计数原理 分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1种不同的方法，在第二类办法中有M2种不同的方法，在第N类办法中有MN种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+MN种不同的方法。 2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有M2不同的方法，做第N步有MN不同的方法.那么完成这件事共有 N=M1M2.MN 种不同的方法。3、排列：从n个不同的元素中任取m(mn)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列4、排列数：从n个不同元素中取出m(mn
2、)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号表示。5、公式：，6、 组合：从n个不同的元素中任取m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。7、公式： 8、二项式定理：9、二项式通项公式10、二项式系数11、杨辉三角： （3）最值：n为偶数时，n1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第 排列组合例题1(2010山东潍坊)6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为()A40 B50 C60 D70答案B解析先分组再排列，一组2人一组4人有C2615种不同的分法；两组各3人共有C36
3、A2210种不同的分法，所以乘车方法数为25250，故选B.2有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有()A36种 B48种 C72种 D96种答案C解析恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A33A2472种排法，故选C.3只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有()A6个 B9个 C18个 D36个答案C解析注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有C133(种)选法，即1231,1232,1233，而每种选择有A22
4、C236(种)排法，所以共有3618(种)情况，即这样的四位数有18个4男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有()A2人或3人 B3人或4人C3人 D4人答案A解析设男生有n人，则女生有(8n)人，由题意可得C2nC18n30，解得n5或n6，代入验证，可知女生为2人或3人5某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有()A45种 B36种 C28种 D25种答案C解析因为108的余数为2，故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么共有C2828种走法6某公司招聘来
5、8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有()A24种 B36种 C38种 D108种答案B解析本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C13种分法，然后再分到两部门去共有C13A22种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C13种方法，由分步乘法计数原理共有2C13A22C1336(种)7组合数Crn(nr
6、1，n，rZ)恒等于()A.r1n1Cr1n1 B(n1)(r1)Cr1n1CnrCr1n1 D.nrCr1n1答案D解析Crnn！r！(nr)！n(n1)！r(r1)！(n1)(r1)！nrCr1n1，故选D.8已知集合A5，B1,2，C1,3,4，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为()A33 B34 C35 D36答案A解析所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C12A3312个；所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C12A33A3318个；所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C133个故共有符合条件的点的个数为12183
7、33个，故选A.9(2010四川理，10)由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是()A72 B96 C108 D144答案C解析分两类：若1与3相邻，有A22C13A22A2372(个)，若1与3不相邻有A33A3336(个)故共有7236108个10(2010北京模拟)如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有()A50种 B60种 C120种 D210种答案C解析先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1,2)、(2,3)、(3
8、,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，甲任选一种为C16，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A25种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C16A25120种，故选C.二、填空题11安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有_种(用数字作答)答案2400解析先安排甲、乙两人在后5天值班，有A2520(种)排法，其余5人再进行排列，有A55120(种)排法，所以共有201202400(种)安排方法12今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有_种不同的
9、排法(用数字作答)答案1260解析由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有C49C25C331260(种)排法13(2010江西理，14)将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有_种(用数字作答)答案1080解析先将6名志愿者分为4组，共有C26C24A22种分法，再将4组人员分到4个不同场馆去，共有A44种分法，故所有分配方案有：C26C24A22A441 080种14(2010山东济宁)要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有_种不同的种法(用数字作答) 答案72解析5有4种
10、种法，1有3种种法，4有2种种法若1、3同色，2有2种种法，若1、3不同色，2有1种种法，有432(1211)72种三、解答题15(1)计算C98100C199200；(2)求20C5n54(n4)Cn1n315A2n3中n的值解析(1)C98100C199200C2100C120010099220049502005150.(2)20(n5)！5！n！4(n4)(n3)！(n1)！4！15(n3)(n2)，即(n5)(n4)(n3)(n2)(n1)6(n4)(n3)(n2)(n1)n615(n3)(n2)，所以(n5)(n4)(n1)(n4)(n1)n90，即5(n4)(n1)90.所以n25
11、n140，即n2或n7.注意到n1且nZ，所以n2.点拨在(1)中应用组合数性质使问题简化，若直接应用公式计算，容易发生运算错误，因此，当mn2时，特别是m接近于n时，利用组合数性质1能简化运算16(2010东北师大附中模拟)有一排8个发光二极管，每个二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3个二极管点亮，但相邻的两个二极管不能同时点亮，根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息，求这排二极管能表示的信息种数共有多少种？解析因为相邻的两个二极管不能同时点亮，所以需要把3个点亮的二极管插放在未点亮的5个二极管之间及两端的6个空上，共有C36种亮灯办法然后分步确定每个二极管发光颜色
12、有2228(种)方法，所以这排二极管能表示的信息种数共有C36222160(种)17按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？(1)各组人数分别为2,4,6个；(2)平均分成3个小组；(3)平均分成3个小组，进入3个不同车间解析(1)C212C410C6613 860(种)；(2)C412C48C44A335 775(种)；(3)分两步：第一步平均分三组；第二步让三个小组分别进入三个不同车间，故有C412C48C44A33A33C412C48C4434 650(种)不同的分法186男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？(1)任何2名女生都不相邻有多少种排法？(2)男甲不
13、在首位，男乙不在末位，有多少种排法？(3)男生甲、乙、丙排序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？解析(1)任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有A66A47种不同排法(2)方法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有A99种排法，若甲不在末位，则甲有A18种排法，乙有A18种排法，其余有A88种排法，综上共有(A99A18A18A88)种排法方法二：无条件排列总数A1010甲在首，乙在末A88甲在首，乙不在末A99A88甲不在首，乙在末A99A88甲不在首乙不在末，共有(A10102A99A88)种排法(3)10人的所有排列方法有A1010种，其中甲、乙、丙的排序有A33种，又对应甲、乙、丙只有一种排序，所以甲、乙、丙排序一定的排法有A1010A33种(4)男甲在男乙的左边的10人排列与男甲在男乙的右边的10人排列数相等，而10人排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有12A1010种排法