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1、-初中数学论文：初中数学错误归因分析、研究意义及教学意蕴-第 6 页初中数学论文善待“数学错误”，提高教学有效性初中数学错误归因分析、研究意义及教学意蕴摘 要：数学错误是数学教学过程中不可避免的问题，而提高学习者的数学思维能力、创新探究能力、帮助教师改善教学以及成为一种优秀的教学资源是其主要的教育功能，从而提高教学效率。数学错误产生的原因既有数学知识本身及其师生教法学法，也有个体差异等因素。通过分析可得出，研究数学错误对于初中数学教学具有极其重要的教学意蕴。关键词：初中数学；数学错误；有效教学；教学意蕴数学错误是数学学习教学过程中由于学习者、知识或者教师教学方式本身等原因必然产生的对数学知识的
2、误读现象。正如英国著名的数学学者保罗欧内斯特在他的数学教育哲学中指出：“数学知识是可纠正的且永远要接受更正”。1 范文贵. 数学家的观点对数学学习的启示J.数学教育学报,2007,16(3):17-20数学错误如果得不到及时纠正，将影响后面的数学知识学习的同时还将影响学习者数学学习的兴趣和信心。全日制义务教育数学课程标准明确指出，教师对出现学习者的数学错误“要耐心地引导他们分析其产生的原因，并鼓励他们自己去改正，从而增强学习数学的兴趣和信心”。2 教育部.全日制义务教育数学课程标准M.北京：北京师范大学出版社,2004:83从提高教学有效性角度，漠视数学错误的存在，就是漠视数学教学的针对性和有
3、效性。本文结合文献和教学实践对初中数学错误研究作了一个较为系统的梳理，以期对提高数学教学有性有一定的指导意义。一、数学错误研究现状目前国内研究尽管角度不同，但归纳起来主要从三方面研究数学错误：第一、从解题角度分析错误。此类文献大多数针对 一道题或一类题进行分析，主要侧重数学知识本身或数学解题方法，对学习者的心理发展很少涉及。此外，此类文献一个显著特点就是以样例论述，理论分析成分较少。例说善待数学课堂教学中的错误资源3 黎兴贵. 例说善待数学课堂教学中的错误资源J.中小学教学研究,2009,(5):23-24和善待错误4 张红,吴菊敏.善待错误J.中学数学杂志.2009,(4):7-10就是这类
4、文献的代表。第二、从教育学或心理学角度分析错误。这类文献的特点就是从认知图式、元认知或工作记忆等角度分析数学产生的原因。从吴杰5 吴杰.数学错误的教育心理学分析DB/OL.（2006-12-18）.2010-3-20. 和陈燕等6 陈燕,等.从认知负荷理论看数学错误J.数学教育学报,2009,18(4):19-22的论文便可窥豹见斑。这两代表性文献从心理表象及认知图式或工作记忆角度分析了数学错误产生的原因，并提出通过样例效应或概念图工具等方法帮助学习者矫正错误。这些文献从心理学或教育学的专业视角分析，较有理论深度，理论较新，但在具体的操作上，更多的是借鉴国外的方法，缺少本土化、可操作性强的措施
5、和方法。第三、从数学概念教学研究错误的教育功能。有研究者7 11 李善良.数学概念学习中的“合理性”错误J.数学教育学报,2002,11(3):6-11认为，数学概念学习中的错误可以分为具有短暂性、可预防避免的过程性错误和具有长期性、不可避免性的合理性错误，合理利用学习者数学学习过程中容易出现的“合理性错误”，有利于师生的诊断和治疗。根据郜舒竹、薛涟霞8 18 郜舒竹,薛涟霞.学生错误研究之文献综述J.数学教育学报,2009,18(1):75-78的研究，国外学者对数学错误主要分两个阶段系统诊断并分析原因及提出纠正措施阶段。国外学者对学习者数学错误的研究是从对学习者算术错误的诊断开始入手的，后
6、来由错误的原因从单纯的数学知识慢慢延伸到教育和心理的因素。发现错误合理性并研究数学错误的教育功能。他们认为，错误是构成学习者学习过程的一个自然的、不可避免的组成部分，并将错误样例作为教学资源加以利用。分析国内外文献可以发现，当前数学错误研究中主要从教育学或心理的某种理论或某种知识角度研究数学错误，全面系统研究数学错误教育功能、产生原因及其指导作用仍是目前数学错误研究的不足。二、数学错误的教育功能 从文献分析可以得出结论：数学错误是数学知识教学过程中不可避免的现象，有其特殊的教育功能，如果充分利用好数学错误，既可以促进学习者思维的发展，也可为教师提供教学反思和过程的资源，也可以为构建高效的教学环
7、境奠定坚实的基础。(一)提高学习者的整体认知能力 根据王涤平9 王涤平.有效利用错误 培养思维品质J.湖州师范学院学报,1999,21(6):82-84的研究，暴露错误，能培养思维的批判性、深刻性和严谨性。既然错误是不可避免的，那么学习者在数学学习的过程中，通过暴露出的数学错误，能够提醒学习者不断反思学习方法、思维过程和认知方式，检验学习的质量，把握问题的本质。数学问题可以分为良构问题和非良构问题，大量的数学现实问题都是解决方法多一、常与其背景相联系的非良构问题。解决非良构问题的主要认知加工模型是一般认知、元认知和认知论认知。10 李玉琪.元认知开发与数学问题解决J.教育研究,1996,(1)
8、:59-63数学错误能够促进学习者进行元认知体验，进而进行自我监控、自我反思、自我评价，从而提高学习者的整体元认知能力，从而向认知的高级阶段发展，最终提高学习者的整体认知水平。(二)培养学习者创新探究精神 学习者是在“尝试新问题产生数学错误不断反思探究解决数学问题遇到新情景产生数学错误”的不断尝试中获得知识，提高认知水平，并在此过程中获得挫折、质疑、自信的体验，并逐步养成多方位、多层次、多角度地探究数学问题的习惯，进而将形成敢于存疑、也于创新、探究数学问题的勇气，也培养了探究创新的兴趣，建立了创新质疑的自信。在此过程中，数学错误成了学习者创新探究的主要媒介，更成了创新探究的润滑剂、催化剂。数学
9、错误的这种作用在数学非良构问题解决中尤其突出，因为非良构问题更多的需要学习主体投入更多的认知体验，收获也更大。(三)帮助教师通过教学反思，改善教学，增加教学智慧教师可以通过数学错误，可以对教学整个过程进行反思：是合理性数学错误还是过程性数学错误，是教学内容设计问题还是教学媒体设计问题，是教学方法问题还是教学环境问题。通过这种反思活动，可以帮助教师对教学进行诊断和治疗，不断改善教学，提高教学的针对性和有效性，并逐步积累成了教学智慧。这样，教师可以通过概念图等教学手段来提高概念教学的有效性，也可以通过认真备教材、备学习者、备教法来提高数学教学的有效性。(四)形成优质的教学资源，有利于促进高效学习的
10、环境数学错误是一种可以恰当利用的优质教学资源。如前所述，恰当利用好数学错误资源，不但能够提高学习者思维和认知能力，还能培养学习者的创新精神及对数学的兴趣爱好和信心，与此同时，数学错误资源还有利于教师对教学进行自我诊断和治疗，改善教学，促进专业成长。师生在恰当利用这些优秀学习资源的同时，已经潜在地构建了一个高效学习的学习环境，这种环境正是数学知识本身“是可纠正的且永远要接受更正”所需要的。三、数学错误归因分析有研究者将数学错误可以分为过程性错误和合理性错误。 12 13 14 何克抗,等.教学系统设计M.北京:北京师范大学出版社，2002:50,132,138,156-157过程性错误是短暂的、
11、外在的、可预防避免的，合理性错误是长期的，隐蔽性的、不可避免的。这种分类有益于我们从各个角度去分析数学错误产生的原因：(一)从学习论分析学习者学习风格、成就动机及相应的个性特征和智力、原有知识差异使得学习个体在学生过程中，会产生许多过程性错误和合理性错误。以数学课前预习为例，许多初中生购买与课程配套的教学辅导用书并能充分利用之，学习主动性强，学习效率高，过程性错误和合理性错误普遍一些；其他学习者往往没有课前预习，数学知识接受能力强的学习者则产生许多合理性错误，而数学知识接受能力弱的学习者则容易产生学习焦虑和学习困难，由此出现大量的过程性错误和合理性错误。学习者的认知水平和能力也不同程度影响学习
12、者数学错误的产生。以学习者的元认知能力为例，学习者如果缺乏较高的元认知能力，其在数学知识学习过程中得不到良好的元认知体验及监控，缺乏相应的学习情景及策略，其元认知能力得不到提高，就会造成学习者的数学认知结构得不到较好地发展，学习者就会产生认知困难，从而产生过程性或合理性错误。(二)从教学系统设计论分析不同的教学系统设计会选择不同的教学目标、教学内容、教学策略、教学方法。以教为主的教学系统设其设计焦点在于“教学”上，强调教师的主导作用，突出循序渐进、按部就班、精细严密地运用系统方法对教学进行设计；以学为主的教学系统设计则强调以学生为中心，强调情境对意义建构的重要作用，强调协作学习及支持学习的信息
13、资源环境的构建。15 和学新.教学策略的涵义、结构及其运用J.中小学教材教学,2004,(8):39-4216 17 李运林,徐福荫.教学媒体的理论与实践M.北京:北京师范大学出版社，2003:32,70-7119 浙江省教育厅教研室.浙江省初中学科教学建议DB/OL. （2010-1-13）.2010-3-20.这种教学系统设计的差异使得教师在选择教学媒体及教学资源、学习环境构建上差别很大，由此产生的教学效果差别也很大，作为教学系统设计的接受对象在此学习过程中所出现的数学数量和频率均会有所差异。因此，教师的教学思想、教学行为不同程度地影响学生的学习者的学习效果。很明显的例子便是学生原有知识经
14、验和情景的意义建构是否被考虑，以教为主的教学则侧重行为目标，较少考虑学生，这样合理性的数学错误便较易且较多地出现，过程性数学错误相对较少；以学为主的教学则重视学生的知识经验和情景意义建构，合理性错误出现的可能性相对较小。(三)从教育传播论分析：从教育传播论分析，以网络技术和多媒体技术为代表的新兴技术的出现为教学提供了更多的便利，信息量更大，教学内容表现形式更丰富多样，使得培养学生空间想象等数学思维能力的途径变得更多样化，但同时过大的信息量使得学习者在学习过程中仅有部分信息被选择进入视觉工作记忆进行进一步加工，失去了主动思考的时间，造成信息传递上的认知负荷，影响学习者学习的效率，更容易出现各种数
15、学错误。教学媒体的呈现力、重现力、参与性的特点将不同程度的影响教学信息的传递，进而影响学生对信息的选择，出现数学错误。四、数学错误的教学意蕴只要合理利用，方法得当，就能最大限度地发挥数学错误的教育功能。数学错误的这种功能对新课程背景下的初中数学教学具有重要的教学意蕴，也就是说，数学错误能帮助我们改善教学，提高教学有效性。(一)提高教学设计针对性，发展学生认知结构在初中数学教学设计过程中，要注重对学习者和学习需求的设计，考虑学生原有知识经验以及学习需求，创造有利于意义建构的情景，提高教学设计的针对性，使其符合学生认知发展水平， 激发学生学习动机，从而为其高效学习、减少数学错误奠定基础。数学错误产
16、生的原因既有教师的因素，也有学生的因素。从教学角度考虑，归根结底是教师的因素。教学目标、内容、方法、组织方式均由教师设计，而这些都涉及到学习者的方方面面，教师只有充分考虑学习者的认知水平、个性特征和学习习惯，确定学习者的认知起点、学习动机。为了提高教学设计的针对性，可以通过诊断性评价手段如预测，对学生的知识和技能、智力、学习习惯、班级学习氛围及情感等准备情况进行“摸底”，了解学生的实际水平和准备状况，为教学设计提供依据，使教学活动适合学生的需要和背景。了解学情背景后，教学设计还要考虑找出适宜教学最优化的媒体资源或工具，并根据传播效果原理设计、构建具有高校的学习环境，发展学生认知水平，减少数学错
17、误。(二)恰当选择教学策略，提高教学有效性教学策略是指在不同的教学条件下，为达到不同的教学结果所采用的方式、方法、媒体的总和。教学策略的选择过程就是教学最优化的过程，也是教师对教学活动的元认知过程和调控过程以及教学方法的执行过程。为达到提高教学有效性，选择教学有效性必须坚持几项原则5：依据教学的具体目标与任务，即不同的教学目标与任务，必须选择不同的教学策略，这样制定的教学策略才符合学情，教学才有针对性，教学才能有效；依据教学内容的特点，即教师要根据具体的教学内容的特点，制定和选择恰当的教学策略；依据学生的实际情况，即要选择能调动学生的积极的学习兴趣和态度的教学策略；依据教师本身的素养，即每个教
18、师在制定和选择教学策略时，都要考虑自身的学识、能力、性格及身体等诸方面条件，尽量能扬长避短，选择那种最能表现自己才华、施展自己聪明才智的教学策略； 依据教学策略的适用范围和使用条件，即教学策略必须考虑每种教学策略的适应范围和使用条件，发挥长处，规避短处；依据教学时间和效率的要求，即依据以最小时间获得最优的教学效果选择教学策略。 (三)合理选择教学媒体，减少认知负荷加拿大学者麦克鲁汉曾指出，“媒介是人体的延伸”，教学媒体必然影响到教师的作用、教学内容、教学方法、教学的组织形式。教学过程中，如果媒体选择不当或呈现顺序、方式不当，将影响学习者的工作记忆，造成认知负荷。因此，必须选择最优的教学媒体而不
19、是最好的媒体。为了减少认知负荷，提高教学的有效性，在设计教学媒体时遵守如下几条效果原理：共同经验原理，即设计教学媒体时必须充分考虑学生的经验与知识水平；抽象层次原理，即选择教学素材时必须在学习者明白的抽象范围上进，并且要在这范围内的各个抽象上下移动；重复作用原理，即指将一个概念在不同的场合或用不同的方式去重复呈现，以达到传播效果。以初中数学概念教学为例，可以利用概念图作为教学辅助工具反复呈现教学内容，并将学习者以前学过的概念涵盖进去，由具体到抽象，这样就能提高教学效果，减少学习者的数学错误。与此同时，可以通过片段呈现、预先培训、合理利用视听双通道、为材料添加标识、剔除冗余信息等方法，降低信息在
20、传递过程对学习者认知的干扰。(四)将数学错误作为教学资源，构建自主的学习环境英国学者保罗欧内斯特指出，是很多数学错误是是有规律的，不是偶然的，从学习者身上观察到的一系列错误表明错误不是教给的，而是学习者构造了自己特有的概念与各式造成的。通过把错误案例作为一种学习资源，构建由学习者自主选择的学习环境，这样会激发学生的元认知，学习者在学习过程中进行自我诊断与反思、探究、批判与治疗，并获得种种挫折感、成就感的体验。当然，这些错误案例必须经过适当加工归类才能加以利用，如设计成数学错误专题练习，制作数学错误专题网站，设计数学错误教育游戏等。这些资源由学习者根据自己的兴趣爱好或知识薄弱环节自主选择具体的学习专题，激发学习者的学习动机，促进其自我学习、自我评价、自我诊断、自我治疗。 五、结束语浙江省初中学科教学建议数学指出，教师“对学习数学有困难的学习者，适当放低评价起点，允许再次评价，使他们看到自己的进步，树立学好数学的信心”，教师应该“记录和分析作业中常见的典型错误，及时查漏补缺、改进教学”。这些都要求教师善待“数学错误”，及时在教学中纠正、转化、利用“数学错误”资源进行诊断和治疗，不断调整和改善教学，提高学习者的数学思维能力，巩固其数学知识，减少学习者的出现数学错误的频次，最终为提高教学有效性服务。参考文献