《例谈构造性思想方法在初中数学解题中的应用(7页).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《例谈构造性思想方法在初中数学解题中的应用(7页).doc（6页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、-例谈构造性思想方法在初中数学解题中的应用-第 6 页初中数学论文架桥铺路，巧径通幽-例谈构造性思想方法在初中数学解题中的应用【摘要】构造性思想方法是一种极富创造性的数学思想方法，根据待解问题的特殊性，构造一个新的数学模式，通过对这个数学模式的研究实现原问题的解决。本文结合实例从构造方程、构造函数、构造不等式、构造图形、构造实例和反例这几种常见形式展开探讨。【关键词】构造性思想方法 构造 解题初中数学新课程标准提出：“为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。” 构造性思想方法作为一种极富创造性的数学思想方法，对于培养学生的数学能力和数学素质有很大的作用
2、，在解题中应用可以拓宽学生的解题思路，激发学生思维的火花，往往会获得“巧径通幽”的奇特效果。构造性思想方法含义很广，通常认为，根据待解问题的特殊性，设计并构造一个新的关系系统，即构造一个新的数学模式（比较熟悉并易于研究和解决的模式），通过对这个数学模式的研究实现原问题的解决。构造性思想方法具有很大的灵活性，根据待解问题的特征，既可以构造方程、恒等式、不等式、函数等，利用“数”的模式解决有关数或形的问题；也可以通过构造图形、图象等，利用“形”的模式解决有关数或形的问题。构造性思想方法在初中数学的解题中还是比较常见的，下面，我根据构造性思想方法经常应用的几种形式并结合自己的教学实践，用具体的例子谈
3、谈这一思想方法在初中数学解题中的应用。一、构造方程方程是中学数学中解决问题的一个重要工具，很多问题若用一般的方法去解决比较繁琐困难，但如果通过构造方程来解决，往往能够化繁为简，化难为易。在构造方程的解题过程中要善于观察、善于发现、认真分析，根据问题的结构特征、及其问题中的数量关系，挖掘潜在已知和未知之间的因素，从而构造出方程，使问题解答巧妙、简洁、合理。例1、如图，ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，求A的度数。分析：由题中的已知发现角与角之间要么相等，要么有倍分的关系，因此可设出其中一个角为x，把其他角都表示出来，再找出等量关系，构造一元一次方程来解决。解：设ABD为x，因为
4、DE=EB，则EDB=ABD=x，AED=EDB+ABD=2x，因为AD=DE，所以A=AED=2x，BDC=A+ABD=3x，因为BC=BD，所以BDC=C=3x，因为AB=AC，所以ABC=C=3x，根据A+ABC+C=180得8x=180，所以A=2x=45。点评：在求线段长、求角度、求点的个数、折叠问题等等几何题中，经常根据题目中的等量关系来构造方程，常用到的关系有：等腰三角形和直角三角形的边角关系；面积不变性；全等三角形和相似三角形的性质等。例2、已知实数m，n满足3m2-5m-7=0,7n2+5n-3=0，且mn1，求的值。分析：此题已知中两个等式的系数比较有特点，结合所求的式子，
5、可将第二个等式两边同时除以n2，就可得到跟第一个等式系数一样的等式，根据这样的特征此题可构造一元二次方程，根据一元二次方程根与系数之间的关系来求值。解：根据已知显然可得n0，所以7n2+5n-3=0可化为，由mn1得，所以m, 是关于x的方程3x2-5x-7=0的两个实数根，根据根与系数之间的关系得。点评：含有具有共同特征的等式可让人联想到韦达定理，此类问题可构造方程来解决。二、构造函数函数是初中数学中另一块重要的内容，在很多问题中构造函数模型，利用函数思想去思考、解决问题，将会大大减少问题的复杂性，优化问题的解决。例3、如图，已知直角梯形OABC的A点在x轴上，C点在y轴上，OC=6，OA=
6、OB=10，交AC于D点，且，求D点的坐标。分析：此题中的点D是AC、PQ，OE的交点，因此可构造函数，求出两条直线的函数解析式，利用函数的知识去求点坐标。由已知容易得A、C的坐标，但P、Q两点的坐标不好求，结合OA=OB, 且，联想到延长OD交AB于E，可求出点E的坐标，进而可求出OE的函数解析式，最后根据AC、OE的函数解析式求出点D的坐标。解：延长OD交AB于E，易求，所以B点坐标（8，6），又因为A（10，0），所以的中点坐标为（9，3），所以OD的表达式为： ， 因为A（10，0），C（0，6），所以AC的表达式为： ， 由，解得： ， 故点D的坐标为（，）。 点评：求平面直角坐标系
7、中的点坐标、线段长度、面积大小等问题往往可以构造函数来解决。例4、如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=3，BAD=120，E为BC上一动点（不与B重合），作EFAB于F，当E运动到何处时，DEF的面积有最大值，最大值是多少？ 分析：根据已知发现面积随着线段BE的变化而变化，可设出两个变量，构造函数来解决。解：延长FE交DC的延长线与G，由EFAB，ABDC可得EFDG，所以BFG=G=90。所以DG为DEF中EF边上的高，由A=120，可得B=ECG =60，设BE=x，所以EF=BEsinB=，在RtCEG中，CE3x，GC(3x)cos60，所以DGDC+GC4+=，所以（其中0
8、x3）；因为a0，对称轴3，所以当0x3时，S随x的增大而增大，所以当x=3即E与C重合时，S有最大值，最大值为。点评：此题是初中数学中比较常见的“最值问题”，常用方法就是构造函数模型，利用函数的增减性，在自变量取值范围内确定最值。三、构造不等式（组）构造一元一次不等式（组）解题是新课标中考命题的重点和热点之一，对含有不等关系的题目，可以考虑通过构造不等式（组）来解。例5、已知：a、b满足，。a-5010-2a0分析：此题可根据二次根式的非负性构造不等式组来解决。解：由已知得：解得a=5，代入已知得b=-4，所以ab=-20.例6、若实数x、y满足（x+2y2）（3x+2y+2）+2(x2+4
9、)=0，求x+y的值。分析：此题可根据一元二次方程根的判别式来构造不等式。解： 原方程化为5x2+(8y4)x+(4y2+4)=0，因为方程有实数根，所以（8y4）245（4y2+4）16(y+2)20，所以y+2=0，故y=2，代入方程，解得x2，所以x+y=0。点评：题目中隐含的不等关系是构造不等式（组）的突破口，解题时求出的解通常是一个量的某一个取值范围，但当所求的量必须属于整数集时，求得的解有可能是有限个值，甚至是唯一的值。例7、(2009深圳中考)迎接大运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配
10、一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆。（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来。（2）若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？分析：题意中含有两个不等关系，因此可构造不等式组来解决。解：设搭配A种造型x个，则B种造型为（50-x）个，依题意，得： ，解得：，所以 ， 因为x是整数，x可取31、32、33，所以可设计三种搭配方案：A种园艺造型31个，B种园艺造型19个；A种园艺造型32个
11、，B种园艺造型18个；A种园艺造型33个，B种园艺造型17个。（2）由于B种造型的造价成本高于A种造型成本，所以B种造型越少，成本越低，故应选择方案成本最低，最低成本为：33800+17960=42720（元）。点评：“方案选择问题”基本素材提炼于学生的生活经验，能使学生从已有的知识出发，充分体会到数学的应用价值，此类题目往往可构造不等式组来解决。四、构造图形如果问题条件中的数量关系有明显的几何意义，或以某种方式与已知的几何图形相关联，则可以通过作出与其相关联的图形，将问题的条件及数量关系直接在图形中得到体现，然后在构造的图形中寻求原问题的答案。例8、如图，ABC中，AD平分BAC，若AC=A
12、B+BD ，求B：C的值。分析：题设或结论中若出现线段的和差，一般思路是“截长补短”，添加辅助线，构造全等三角形去解决。解：在AC上取一点E，使AE=AB，连接DE。由AD平分BAC可得BAD=CAD，因为AD=AD，所以ABDAED，得AE=AB，BD=ED。因为AC=AE+EC=AB+BD，所以BD=EC=ED，所以EDC=C，所以B=AED=2C，所以B：C=2。点评：添加辅助线是构造图形的一种最基本体现形式，通过辅助线的添加可使分散的条件集中起来，可把复杂的图形转化成基本图形来解。常见构造有：线段的和差倍分，直角三角形，等腰三角形等等。例9、求x+2+x-3的最小值。分析：利用绝对值的
13、几何意义思考有关绝对值的问题，可使某些利用绝对值的代数定义难以解决的问题，简明直观地获得妙解。解：由绝对值的几何意义知x+2为表示x的点到表示-2的点的距离，x-3为表示x的点到表示3的点的距离。 如图，设点A，点B表示-2，3，点C表示x，当点C在A的左侧时，x+2CA，x-3CB5；当点C在A的右侧时，x+2CA5，x-3CB；当点C在A、B之间时，x+2CA，x-3CB；有CA+CBAB5。显然，要使x+2+x-3最小，点C应在点A与点B之间，即-2x3，这时，x+2+x-3有最小值5。例10、分析：式子中的后一项都是前一项的一半，可以构造具有倍分关系的模型，比如左图，把面积为单位“1”
14、的正方形平分，再把其中一块继续平分，依次平分下去就可以解决了，式子的值是1减去最后一块图形的面积。解：如图，=1-。点评：构造图形解决数的问题基本思路是从题中已知条件或结论出发，观察分析其是否与已学过的图形相似（或相同），再构造出与之相适合的图形，最后利用图形的性质、几何意义等，联系所要求解（求证）的目标去解决问题。五、构造实例与反例另外，在定理、公式的教学中，构造性数学思想也有一定的应用。比如在验证乘法公式，证明勾股定理时，就是构造了一些几何图形来说明。以平方差公式为例，就可构造如图1,2的图形说明。教学四边形判定的时候，为说明一组对边相等,一组对角相等的四边形是平行四边形不一定成立，可以构
15、造一个反例如图3来说明。如图3，作等腰ABC，AB=AC，在底边BC上任取一点D，使得BDDC，连接AD，以AD为边作2=1，取DE=AC，连接AE。易证ADCDAE，所以E=C=B，AE=DC，又因为DE=AC=AB，AE=DCBD。所以四边形ABDE即为所求的反例图形，显然，四边形ABDE符合一组对边相等，一组对角相等，但不是平行四边形。点评：概念教学时，对于成立的命题可以构造一个实例来说明，对于不成立的命题可以构造一个反例来说明。任何一种思想方法的教学都不是一蹴而就的，利用构造性思想方法解题，经常听学生感慨：“方法是巧妙，但我就是想不到。”因此，教师在平时的教学中应该把握四个原理：渗透性
16、，反复性，系统性，归纳性；同时指导学生在解题时做到以下几点：1、认真分析题目中的题设和结论，思考关键词的意义，尽力找出问题中的重要元素和主要关系，在记忆中找出已经掌握的相关内容；2、仔细研究问题的结论，要明确为什么目的而构造，构造什么样的知识能达到目的； 3、确定方案构造辅助元素，架设一条连接题设和结论的桥梁。4、要及时的反思，总结。数学教学，不仅要教学生知识，还要开启学生的智慧。合理、恰当地运用构造性思想方法解题，可以使代数，几何等知识相互渗透，常能得到较为独特的解题方法。经常进行此类题目的训练，可以提高学生分析问题和解决问题的能力，增强学生的自信心，培养学生的创新意识和应用意识，锻炼学生的意志品质。参考文献：【1】李玉琪.中学数学教学与实践研究【M】北京：高等教育出版社.2001：128-163【2】季素月.中学生数学能力培养研究【M】长春：东北师范大学出版社.2002：205-216