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1、-函数奇偶性的归纳总结-第 7 页函数的奇偶性的归纳总结考纲要求：了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法。教学目标：1、理解函数奇偶性的概念；2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法；3、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法；4、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。教学重点：1、理解奇偶函数的定义；2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法，并探索其中简单的规律。教学难点：1、对奇偶性定义的理解；2、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。教学过程：一、知识要点：1、函数奇偶性的概念一般地，对于函数，如果对于函数定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数。一般地
2、，对于函数，如果对于函数定义域内任意一个，都有,那么函数就叫做奇函数。理解：(1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。2、按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数.3、奇偶函数的图象：奇函数图象关于原点成中心对称的函数，偶函数图象关于y轴对称的函数。4、函数奇偶性的性质：具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。常用的结论：
3、若f(x)是奇函数，且x在0处有定义，则f(0)0。奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f(x)在区间a,b(0ab)上单调递增（减），则f(x)在区间b,a上也是单调递增（减）；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。偶函数f(x)在区间a,b（0ab）上单调递增（减），则f(x)在区间b,a上单调递减（增）任意定义在R上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。若函数g(x)，f(x)，fg(x)的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=fg(x)是奇函数；u=g(x)，
4、y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= fg(x)是偶函数。 复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.5、判断函数奇偶性的方法：、定义法：对于函数的定义域内任意一个x，都有或或函数f（x）是偶函数； 对于函数的定义域内任意一个x，都有或或 函数f（x）是奇函数； 判断函数奇偶性的步骤：、判断定义域是否关于原点对称；、比较与的关系。、扣定义，下结论。、图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于y轴对称的函数是偶函数。，、运算法：几个与函数奇偶性相关的结论：奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数；奇函数奇函数=偶函数；奇函数偶函数=奇函数。若为偶函数，则。二、典例
5、分析1、给出函数解析式判断其奇偶性：分析：判断函数的奇偶性，先要求定义域，定义域不关于原点对称的是非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，再看f(x)与f(x)的关系.【例1】 判断下列函数的奇偶性：(1). (2) . 解：函数的定义域是， 为偶函数。（法2图象法）：画出函数的图象如下：由函数的图象可知，为偶函数。说明：解答题要用定义法判断函数的奇偶性，选择题、填空题可用图象法判断函数的奇偶性。(2) . 解：由 ，得x(，3(3，+).定义域不关于原点对称，故是非奇非偶函数.【例2】 判断下列函数的奇偶性：(1). (2) . (3). 。解： (1).由，解得 定义域为2x0或0x2，则.为
6、奇函数.说明：对于给出函数解析式较复杂时，要在函数的定义域不变情况下，先将函数解析式变形化简，然后再进行判断。 (2) .函数定义域为R， 函数为偶函数。(3). 由，解得 ， 函数定义域为，又，且，所以 既是奇函数又是偶函数。【例3】 判断下列函数的奇偶性：(1). ；(2). 解：(1) . 定义域为R， f(x)=f(x)，所以f(x)为奇函数。说明：给出函数解析式判断其奇偶性，一般是直接找与关系，但当直接找与关系困难时，可用定义的变形式：函数f（x）是偶函数； 函数f（x）是奇函数。 (2) .函数的定义域为R，当时，当时，当时，综上可知，对于任意的实数x，都有，所以函数为奇函数。说明
7、：分段函数判断奇偶性，必分段来判断，只有各段为同一结果时函数才有奇偶性。分段函数判断奇偶性，也可用图象法。2、抽象函数判断其奇偶性：【例4】 已知函数对任意的非零实数恒有判断函数的奇偶性。解：函数的定义域为，令，得，令，则取，得故函数为偶函数。3、函数奇偶性的应用：(1) . 求字母的值：【例5】已知函数是奇函数，又，求的值.解：由得，。又得，而得，解得。又，或.若，则，应舍去；若，则b=1Z.说明：本题从函数的奇偶性入手，利用函数的思想(建立方程或不等式，组成混合组)，使问题得解.有时也可用特殊值，如 f(1)=f(1)，得c =0。 (2) . 解不等式：【例6】若f(x)是偶函数，当x0
8、，+)时，f(x)=x1，求f(x1)0的解集。分析：偶函数的图象关于y轴对称，可先作出f(x)的图象，利用数形结合的方法.解：画图可知f(x)0的解集为 x1x1，f(x1)0的解集为x0x2.答案：x0x2说明：本题利用数形结合的方法解题较快、简捷.本题也可先求f(x)的表达式，再求f(x1)的表达式，最后求不等式的解也可得到结果.(3) . 求函数解析式：【例7】已知f(x)是R上的奇函数，且x(，0)时，f(x)=xlg(2x)，求f(x).分析：先设x0，求f(x)的表达式，再合并.解：f(x)为奇函数，f(0)=0.当x0时，x0，f(x)=xlg(2+x)，即f(x)=xlg(2
9、+x)，f(x)=xlg(2+x) (x0).说明：注意自变量在区间上的转化，分段函数的处理和分类讨论的思想紧密相连。三、巩固训练：一、选择题1.若y=f(x)在x0，+)上的表达式为y=x(1x)，且f(x)为奇函数，则x(，0时f(x)等于A.x(1x) B.x(1+x) C.x(1+x) D.x(x1)2.已知四个函数：， ， y=3x+3-x， y=lg(3x+3-x).其中为奇函数的是A.B. C.D.3.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=x22x，则在R上f(x)的表达式为A.x(x2) B. x（x2） C.x(x2) D.x（x2）二、填空题4.已知f(
10、x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，且定义域为a1，2a，则a=_，b=_.5.若 (xR且x0)为奇函数，则a=_.6.已知f(x)=ax7bx+2且f(5)=17，则f(5)=_.7.已知是定义在上的奇函数，当时，的图像如右图所示，那么不等式的解集是_ 三、解答题8.已知且x=lnf(x)，判定G(x)的奇偶性。9.已知函数f(x)满足f(x+y)+ f(xy)=2f(x)f(y)(x、yR)，且f(0)0，试证f(x)是偶函数.10.设函数是偶函数，函数是奇函数，且，求和的解析表达式。11.已知f(x)x5+ax3-bx-8，f(-2)10，求f(2)。 12.已知都是定义在R上的奇函
11、数，若在区间上的最大值为5，求在区间上的最小值。13.已知是奇函数，在区间上单调递增，且有，求实数的取值范围。四、巩固训练参考答案：一、选择题1. 解析：x(，0，x0， f(x)=(x)(1+x)，f(x)=x(1+x). f(x)=x(1+x). 答案：B2. 提示：可运用定义，逐个验算.答案：D3. 解析：设x0，则x0，f(x)是奇函数，f(x)=f(x)=(x)22(x)=x22x.，即f(x)= x（|x|2），故答案：B 。二、填空题4. 解析：定义域关于原点对称，故a1=2a，又对于f(x)有f(x)=f(x)恒成立，b=0. 答案：， 0 。5. 解析：特值法：f(1)=f(
12、1) ，。答案： 。6. 解析：整体思想：f(5)=a(5)7 b(5)+2=17 (a575b)=15， f(5)=a57b5+2=15+2=13. 答案：13 。7. 解析： 是定义在上的奇函数， 补充其图像如图，又不等式同解于或，解得，或或，不等式的解集是，答案：。三、解答题8. 解：由x=lnf(x)得f(x)=ex.又，G(x)为奇函数。9. 证明：令x=y=0，有f(0)+f(0)=2f2(0). f(0)0，f(0)=1.令x=0，f(y)+f(y)=2f(0)f(y)=2f(y). f(y)=f(y). f(x)是偶函数.归纳：赋值法(代入特殊值)在处理一般函数问题时经常用到.
13、10. 解：，又函数是偶函数，函数是奇函数，上式化为，解组成的方程组得，。11. 分析：问题的结构特征启发我们设法利用奇偶性来解 解：令g(x)=x5+ax3-bx，则g(x)是奇函数，所以g(-2)g(2)，于是f(-2)g(-2)-8, g(-2)=18.所以f(2)=g(2)-8=-g(-2)-8=-26. 12. 解：设，则为奇函数，因为当时，所以所以当时，即故在区间上的最小值为-1 。13. 解：因为函数是奇函数，所以由得，即又在区间上单调递增，故得 ，解得所以实数的取值范围为注意：利用函数的奇偶性、单调性求变量的范围，是函数奇偶性及单调性的逆用，培养逆向思维能力，判断出是解决本题的关键。