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1、-例谈小学生领悟数学化归思想的朴素实践-第 7 页小学数学论文领悟化归,开启数学思想的闪亮天窗例谈小学生领悟数学化归思想的朴素实践摘 要：2011新版课标对学生要求从“双基”变“四基”，不但要求学生掌握数学基础知识，训练数学基本技能，更提出在积累数学基本活动经验的同时，领悟数学基本思想。而数学基本思想之一的化归思想的领悟在低段教学中尤为重要，本文试图用例谈的形式来揭示引导领悟的实践过程及基本策略，以期让学生习得“形式改变，化繁为简”“借助图形，化难为易”“类比转换，化生为熟”“分层击破，化整为零”等基本操作路径。主题词：例谈 数学化归思想 化繁为简 化难为易 化生为熟 化整为零2011年国家出
2、台的新版义务教育课程标准，相比2001年版，明显的变化是对学生要求从“双基”变“四基”，在掌握数学基础知识、训练数学基本技能这“两基”的基础上，增加了积累数学基本活动经验，领悟数学基本思想。何为数学的基本思想？数学思想是数学知识的精髓，是分析、解决数学问题的基本原则，也是数学素养的的重要内涵，它是培养学生良好思维品质的催化剂。其中化归的思想是重要的数学基本思想之一。所谓的化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。它的基本功能是：生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观，含糊化成明朗。一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的
3、问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。纵观我们小学教材，已萌芽着化归思想，成为教材的灵魂。例如，整数四则运算的教学中，乘法化归为加法、除法化归为乘法进行理解；分数、小数四则运算原理的教学中，异分母分数加减法化归为同分母分数相加减；除数是小数的除法是化归为除数是整数的除法进行的；组合图形面积的计算，先通过分割、移位等变换手段化为简单的基本图形等。而观察我们的小学数学课堂，教师们往往能重视数学知识的落实和基本技能的训练，却忽视了化归数学思想的渗透，对数学的思想方法缺乏必要的引导，导致学生数学思维能力得不到真正的提高。尴尬的现状迫使我们教师要更新观念，重视新版课
4、标的导向，应该努力挖掘教材中可以进行化归数学思想渗透的各种因素，恰当地让学生观察、实验、猜测、推理、交流、反思等、过程，领悟基本的化归数学思想。下面笔者就以例谈的形式，罗列教学片段，剖析教学策略，简要阐述引导学生领悟数学化归思想的朴素实践。 一、形式改变，化繁为简得来全不费工夫简单化原则是化归方法的首要原则，即是指把复杂的问题转化为简单的问题，把复杂的形式转化为简单的形式，把高阶的降为低阶，把高维的降到低维，使其中蕴涵的数量关系和空间形式更加具体，从而找到问题的解决办法。复杂问题简单化是数学问题中运用最普遍的思想方法。一个难以直接解决的问题通过对问题深入观察和研究，转化成简单的问题迅速求解。正
5、如匈牙利数学家路莎彼得所说：“数学家们也往往不是对问题进行正面的攻击，而是将它不断变形，直到把它转化成能够解决的问题。”例子1：教学内容：97+98+99+100+101+102+103=？教学片段：师：同学们，这算式得数是多少？你是怎么算出的？生：得数是700，按顺序一个一个加起来。生：得数也是700，我是将97的103加，98和102加，99和101加，这样就有6个100，再加上中间的100，就是7个100.师：比较一下这两种方法，你喜欢哪种方法？生：第二种，因为第二种简单。师：简单在哪里？生：第二种方法，把加法转换为乘法，只要数准个数就能算出得数，简单又准确。师：如果将上面的算式再接着连
6、续加上5个数，还能用乘法算吗？生：也能，将97和108相加得205，这样的得数有6个，2056=1230。师：做了两道题，有什么收获想与大家说说吗？生：有规律的加法算式可以用乘法来计算。生：这样算起来容易又不出错。实例剖析：这位老师让学生亲历算法实践中发现解题捷径，以学生原有的知识经验为基点，并在引导比较中让学生明白变换形式能化繁为简，从而提高学生的知识水平，提升数学举一反三的能力。通过这样对内在算式意义的理解，特别是在以后加法进行简便计算时，学生就会善于从整体上把握结合律的特点，只要将局部的个别数加以变化就能简便计算。改变形式，化繁为简的化归思想在朴素的实践中领悟。 再如：6厘米5厘米16厘
7、米20厘米求这个图形的周长是多少？分析：大多数学生看到这类题目，会先去计算出每一条边长，再把6条边相加求出周长。显而易见，这种解法算出的结果是正确的，但是过程相当繁琐。反之，我们可以引导学生把图形进行变形：把长6厘米的边长往上移，5厘米的边长往右移，转变成一个长方形，这样，就变成了计算长方形的周长，非常简单。 6厘米5厘米16厘米20厘米解：长方形周长=（长+宽）2 （20+16）2=62（厘米）由此可见，解答一些图形的题目，运用变换思想，将原图形通过旋转、平移、翻折、割补等途径加以“变形”，可使题目变难为易，求解也水到渠成。教学中，我们应不失时机地利用这些图形变换，进行思想渗透。主要通过现实
8、问题具体化到抽象问题，然后在抽象与具体间建立联系，从而实现抽象向具体的化归，同时利用割补、平移等化归途径，自主将复杂问题简单化。繁琐的算式，复杂的图形，这样简单的转换就容易操作，真有“得来全不费工夫”之感，这种愉悦的朴素实践，让孩子们领悟了解决数学问题可以化繁为简。二、借助图形，化难为易柳暗花明又一村化归思想中抽象问题具体化对较抽象的问题,应认真审题、全面理解题意,能清楚地理解全部条件和结论，具体化时要把语言和不宜直接计算的算式化为能直接计算的算式,把不便进行数学处理的语言化为便于进行数学处理的语言,作出必要的图形。真像美国数学家罗斯蒂思说的：“如果一个特定的问题可以转化为一个图形，那么就整体
9、把握了问题的实质。”我们可以引导学生根据具体题目的意思动手画图，通过数形结合，大大开拓解题思路，使问题的解决达到化繁为简的目的。例如：小明家、小红家和学校在同一条直线上，小明从家到学校要走500米，小红从家到学校要走400米，请问小红家和小明家可能相距多少米？教师抛出题目后没有急着讲解，先让学生尝试探究，再组织交流，在探究过程中，教师提醒不会的学生可以通过线段图来解决。第一种答案出来了：小明家和小红家相距100米。思考过程和线段图如下：小明家和小红家在学校的同一方向500米 小明家 小红家 学校 ？米 400米 第二种答案是：小明家和小红家相距900米。思考过程和线段图如下：小明家和小红家在学
10、校的不同方向 500米 400米小明家 学校 小红家 ？米 通过画图，明显地展示出了题目三者的关系，并得到了2种不同的可能情况。解：1.小明家-小红家=相距的距离 500-400=100（米）2.小明家+小红家=相距的距离 500+400=900（米）线段图明了的呈现了可能存在的两种不同情况，揭示了解决问题的思路，又避免了遗漏。学生亲历尝试探究的过程领悟数形结合能够化难为易。如果没有图形的帮助，低段学生很难明白为什么会有两种不同的答案。新课程教材在各册都安排了相应的“数学广角”，既丰富了数学思想方法，又拓展了学生的学习能力。但这类习题灵活多变，如何让学生把握其内在的关联？只需运用化归的方法指导
11、学生理解其共同之处，归结为熟悉的数学问题，从而破解。为了突破解题策略，就需要仔细阅读习题，并通过作图加以联想，突出数与形的结合，引导学生在学习实践中，打破思维定势，架起数形结合的桥梁，由此及彼，通过作画对比与联想，从全新的角度分析数量关系，就会找到正确的解题思路。“柳暗花明又一村”的感觉油然而生，化难为易的数学思想在朴素的教学实践中渗透。三、类比转换，化生为熟似曾相识燕归来任何一个生疏的问题，都是由一个个熟悉的基本问题经过变化发展而来的。生问题的解决可以借助熟问题的类比迁移。因此，教师要善于引导学生透过表象看本质，有序地思考，找出问题之间的内在联系，将一个难题化解为熟悉的基本问题，在这个探索的
12、过程中，学生的解题思路会逐渐清晰，解题方法会更加灵动和丰富。在一年级上册的教材中，学生就依次开始学习“15的认识和加减法”，“610的认识和加减法”，“1120的认识和加减法”，“20以内的进位加法”。对于一年级的学生来说，学习了110的组成之后，学生对于“拆小数，凑大数”和“拆大数，凑小数”已经掌握地非常娴熟，同时也为“20以内的进位加法”的学习打下了坚实的基础。在9加几的教学中，老师首先提出9+4=？，在学生积极地动手操作后，创造性地得出多种方法：数数法、接着数、凑十法等，其中“凑十法”就是最重要的方法，老师继续追问其思考过程：看到9想到1，把4分成1和3,9+1=10，再算10+3=13
13、。“凑十法”通过将大数拆成小数（或者小数拆成大数）和另一个数（大数）凑成十，把20以内的进位加法转化成简单的“几加几等于十”，“十加几等于十几”的计算题。在这一过程中，9+4=？这道进位加法题本是新问题，运用烂熟于心的运算经验，老师将生问题转换成若干个熟问题，新问题就迎刃而解了。这一引导过程蕴涵了生熟转换的数学基本思想，学生亲历此过程，不但解决了问题，而且掌握了运用化归思想解决问题的基本策略，降低难度，提高解题的效率。类比转换思想在解决数学问题中的运用相当普遍，转化的途径和方法不一定相同，但有一个共同的规律，就是在待解决的问题和已解问题之间架起一个联系的桥梁。这就要求在学习数学的过程中，引导学
14、生要不断地构建知识结构，形成知识网络，要领悟蕴含在数学内容之中的数学思想方法，这些都是提高数学解题能力的条件和基础。如应用题：小明家有苹果5个，苹果比桔子少21个，问桔子有多少个？老师出示题目后，尝试让学生列式计算，答案各不相同，有的说16个，有的说26个，两种结论争执不休。老师说，我们先不要争论结果是多少，要以理服人就得拿出理由。坚持16的说，题目告诉我们桔子少，应该用减法算。坚持26的学生举实例说，你今年8岁，比妈妈少24岁，你说妈妈比你还小吗？全班同学哈哈大笑。老师让原先主张16的同学说说现在的想法，读题目不能只看几个字，应该搞清谁比谁大，千万不能看字面意思，认为谁离“少”字近谁就“少”
15、，一时读不懂题目还可以想想生活中熟悉的说法，题意便能准确理解。孩子若有所悟的表述，蕴涵的是类比迁移的基本思想，老师不局限于得出结论是什么，引导谈谈学习体验是点睛之笔，它谈出了解决问题的过程，谈出了解决问题的方法与策略，也谈出了类比转换，化生为熟的化归思想。这朴素的教学实践是落实“四基”的积极体现。具体而朴素的操作实践，让学生初步懂得解决数学的新问题，可以借助熟悉的老方法来解决，还可以借助熟悉的生活经验。这种“似曾相识燕归来”的亲近感增进孩子数学学习的成功体验，进而进一步激发学习兴趣，把握化归的基本思想。四、分层击破，化整为零为有源头活水来化整为零，就是把复杂的问题分解成若干个简单的问题，然后“
16、各个击破”，从而来使这个复杂的问题简单化，从而得到解决。特别是在有限的课堂时间内，综合性强、难度大的题目不能一下子推给学生，学生费时还找不到问题的突破口，但要是设计一系列有层递性的问题，降低难度，指出思维方向，引导学生思考，这样对学生来说问题就简单多了。例1：编织社编织草帽，原来20人10天生产1000顶草帽。现在增加80人，要生产7500顶草帽，需要多少天才能完成?分析：这道题中的数据比较多，数量关系也比较复杂，我们可以通过化整为零，把问题分成以下几个小问题展示给学生，分层击破。1、由“原来20人10天生产1000顶草帽”，可以求出：每人每天生产多少顶草帽？10002010=5(顶) 2、由
17、“现在增加80人”可以求出：现在有多少人编织草帽？20+80=100(人) 3、现在每天编织多少顶草帽? 5l00=500(顶) 4、要编织7500顶草帽需要多少天? 7500500=15(天)综合算式为：7500（10002010）（20+80）=15(天)。从以上案例看出，“分层击破，化整为零”的思想方法在数学解题中的运用不仅可以体现解决问题的整个思维过程，给人以层次分明的感觉，本来看上去是一个比较复杂的问题，通过分解后，教师引导学生把内含的一个个小知识点从中抽取出来，逐个突破，变成了几个简单的问题，把这些小问题“分而治之”，从而使整个问题简单化。其实，形式复杂的数学题，其本质总是存在简单
18、的一面，引导学生抓住问题的源头，抽丝剥茧，问题就迎刃而解。问渠哪得清如许，为有源头活水来。化整为零的化归思想在同类型题目的历练中形成。化繁为简，化难为易，化生为熟，化整为零是数学化归思想的基本呈现形式，“化归”在小学生数学学习过程中具有重要作用，它不仅传递一种数学思想，还可以启迪心灵、激发灵感、充满着人类的智慧。教师在朴素的教学实践中善于渗透化归思想，有针对性地依托教材，引导学生领悟化归的方法，有利于发展学生的数学思维，有利于挖掘学生的潜能，有利于培养学生独立探究、正确解题的能力。新版课标从“两基”到“四基”改变的现实意义在此得以彰显。【参考文献】1、全日制义务教育数学课程标准（实验稿）；北京师范大学出版社出版，2011年版2、郑国平；数学思想：数学课堂活的灵魂p4-5，小学教学参考，2010.43、谢毅；一“转”一“化”天地新p3738，山东教育，2010.104、浙江省教育厅教研室关于2011版课程标准的解读小学数学斯苗儿http:/www.zjjys.org/kcgginfo.aspx?type=127&id=370，2011.125、义务教育2011版各科课程标准6、徐建芳；论数学解题中的“化整为零，化繁为简”的思想方法p67，文理导航，2010.11