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1、-函数与导数专题2012版教师版B4-第 14 页东北师大附中2009级高三数学（理）第二轮复习导学案专题六 导数及其应用编写教师：高长玉 一、考纲要求1.导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景（2）理解导数的几何意义2导数的运算（1）能根据导数定义求函数的导数（2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数（3）能求简单的复合函数（仅限于形如的复合函数）的导数3导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函
2、数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）4生活中的优化问题：会利用导数解决某些实际问题5定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念（2）了解微积分基本定理的含义二、命题趋势函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的主要趋势 考试热点：考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、函数的图象函数与方
3、程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想三、典例解析（一）利用导数研究曲线的切线考情聚焦：1利用导数研究曲线的切线是导数的重要应用，为近几年高考命题的热点2常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题，多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形式出现，属容易题考向链接：1导数的几何意义函数在处的导数的几何意义是：曲线在点处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数对时间的导数）2求曲线切线方程的步骤：（1）求出函数在点的导数，即曲线在点处切线的斜率；（2）
4、在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为注：当曲线在点处的切线平行于轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为；当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解求切线问题例1若曲线上一点,求：（1）点处的切线方程；（2）过点的切线方程。解：（1）,则当时,.点处的切线方程为.即.（2）设所求的切线与曲线相切于点,则切线斜率为.由直线方程点斜式,得切线方程为.又因为所求切线过点,则有,解此三次方程,得或,从而过点的切线的斜率为4或1,可求出切点为、,相应的切线方程为或.切线个数的问题：例2已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设,如果过点可作曲线的三条切线,证明：.分析：本题
5、第一问,由导数的几何意义容易求解切线方程问题；第二问难点在于由条件“过点可作曲线的三条切线”找到解题的切入点,关键是先把问题转化为方程问题来求解.解：（1）求函数的导数.曲线在点处的切线方程为：,即.（2）如果有一条切线过点可作曲线的三条切线,则方程有三个相异的实数根.记,则.当变化时,、的变化情况如下表：由的单调性,当极大值或极小值时,方程最多有一个实数根；当时,解方程,得,即方程只有两个相异的实数根；当时,解方程,得,即方程只有两个相异的实数根.综上,如果过可作曲线三条切线,即有三个相异的实数根,则即.例3. 已知函数在上是减函数，在上是增函数，函数在上有三个零点（）求的值； （）若1是其
6、中一个零点，求的取值范围；（）若，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线相切？请说明理由解:（），在上是增函数，在（0,1）上是减函数，当时，取到极小值，即（）由（）知，1是函数的一个零点，即，的两个根分别为，在（0,1）上是增函数，且函数在R上有三个零点，即故的取值范围是设过点（2，5）与曲线的切线的切点坐标为即 令在（0，2）上单调递减，在上单调递增又与轴有两个交点过点（2，5）可作2条曲线的切线. 注：过点做曲线的切线条数的问题,通常转化为方程（其中（）是切点坐标）有几个解的问题，再转化为函数有几个零点的问题。进而使用导数来解决问题。两条曲线公切线的问题：例题4设函数其中、为常数,已知曲
7、线与在点处有相同的切线.（1）求、的值,并写出切线的方程；（2）若方程有三个互不相同的实根、,其中,且对任意的恒成立,求实数的取值范围.解析：（1）.由于曲线与在点处有相同的切线,故有,.由此得解得所以,切线的方程为（2）由（1）得,所以.依题意,方程有三个互不相同的实根、是方程的两相异的实根.所以,即.又对任意的恒成立,特别地,取时,成立,得.由韦达定理,可得,故.对任意的,有.则.又,所以函数在时的最大值为0.于是当, 对任意的,恒成立.综上,的取值范围是.例题5 已知函数，（）若在处取得极小值，求的极大值；（）若，是否存在与曲线和都相切的直线？若存在，判断有几条，并加以证明；若不存在，说
8、明理由解：（），又在处取得极小值，来源:学科网极大值极小值的极大值为（）当时，设直线与曲线和都相切，切点分别为，则，直线的方程为：，即又过点，且，且，即对于方程，设，则当时，是减函数；当时，是增函数，又当且趋向于时，趋向于，在区间、上各有一个根因此与曲线和都相切的直线存在，有条切线的应用问题：例6 如图2,有一正方形钢板缺损一角（图中的阴影部分）,边缘线是以直线为对称轴,以线段的中点为顶点的抛物线的一部分.工人师傅要将缺损一角切割下来,使剩余的部分成为一个直角梯形.若正方形的连长为,问：如何画切割线,可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值.解法1：以为原点,直线为轴,建立如图3所示的直角坐
9、标系.依题意,可设抛物线弧的方程为.由点的坐标为,得.解得.故边缘线的方程为.要使梯形的面积最大,则所在的直线必与抛物线弧相切,设切点坐标为.由,得直线的方程可表示为.即.由此可求得.设梯形的面积为,则：当时,.故的最大值为,此时.答：当、时,可使剩余的直角梯形的面积最大,其最大值为.解法2：以为原点,直线为轴,建立如图4所示的直角体系.依题意可设抛物线的方程为.由点的坐标为,得,解得.故边缘线的方程为.要使梯形的面积最大,则所在的直线必与抛物线弧相切,设切点坐标为.由,得直线的方程可表示为,即.由此可求得设梯形的面积为,则：.当时,.故的最大值为.此时答：当、时,可使剩余的直角梯形的面积最大
10、,其最大值为.（二）利用导数研究函数的单调性考情聚焦：1导数是研究函数单调性有力的工具，近几年高考中的单调性问题，几乎均用它解决2常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式或指、对数式结构，多以解答题形式考查，属中难点题目考向链接：利用导数研究函数单调性的一般步骤（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）若求单调区间（或证明单调性），只需在函数的定义域内解（或证明）不等式0或0若已知的单调性，则转化为不等式或在单调区间上恒成立问题求解例7已知函数 其中为常数.（1）若函数在上为单调增函数，求的取值范围；（2）求的单调区间.解：（1），在上为单调递增，在上恒成立
11、，即在上恒成立.令 则当时， 在上单调递增，的取值范围是（2）， 则当时，是减函数.，是增函数.当时，是增函数综上所述，当时，增区间为减区间为；当时，增区间为例8. 已知函数()当时，求曲线在点处的切线方程；()求的单调区间解（）当时， 由于， 所以曲线在点处的切线方程为 即 当时，.所以，在区间上，；在区间上，.故的单调递增区间是，单调递减区间是.当时，由，得，所以，在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是.当时，故的单调递增区间是.当时，得，.所以在区间和上，；在区间上，故得单调递增区间是和，单调递减区间是例9. 已知函数，为函数的导函数 （）设函数的图象与x轴交点为A
12、，曲线在A点处的切线方程是，求的值；（）若函数，求函数的单调区间解：（），在处切线方程为，当时， 0-0+减函数极小值增函数的单调递增区间为，单调递减区间为 当时，令，得或 （）当，即时，0-0+0-减函数极小值增函数极大值减函数的单调递增区间为，单调递减区间为，；（）当，即时， 故在单调递减； （）当，即时，0-0+0-减函数极小值增函数极大值减函数在上单调递增，在，上单调递减 综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，当时，的单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为， 例10. 已知，函数。（1）当为何值时，取得最小值？证明你
13、的结论； （2）设 在上是单调函数，求的取值范围.解：;例11.已知函数（）若函数在区间上不单调，求的取值范围解：函数在区间不单调，等价于在区间上有实数解，且无重根又，由，得从而 或 解得 或所以的取值范围是（三）利用导数研究函数的极值与最值考情聚焦：1导数是研究函数极值与最值问题的重要工具，几乎是近几年高考中极值与最值问题求解的必用方法2常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式、或指、对数式结构，多以解答题形式出现，属中高档题考向链接：1利用导数研究函数的极值的一般步骤：（1）确定定义域（2）求导数（3）若求极值，则先求方程的根，再检验在方程根左右值的符号，
14、求出极值（当根中有参数时要注意分类讨论）若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程的根的大小或存在情况，从而求解2求函数的极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值例12设函数（）当时，求的单调区间；（）若在上的最大值为，求的值.解：函数的定义域为，.（）当时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为（）当时，即在上单调递增，故在的最大值为 因此例13已知函数 （）求证函数在上单调递增； （）对，恒成立，求的取值范围解：（） 由于，故当时，所以， 故函数在上单调递增 （）由，可知在区间上单调递减，在区间上单调递增 所以 记则（仅在时取到等号）， 所以递增，故， 所以 于是
15、 故对 ，所以 （四）利用导数研究函数的图象考情聚焦：1该考向由于能很好地综合考查函数的单调性、极值（最值）、零点及数形结合思想等重要考点，而成为近几年高考命题专家的新宠2常与函数的其他性质、方程、不等式、解析几何知识交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式、指、对数式结构，多以解答题中压轴部分出现属于较难题考向链接：利用导数研究函数的零点的一般步骤是：1. 指出函数的定义域；2求函数的单调区间；3验证在每一个单调区间是否存在两点函数值异号；4.结论例14已知函数.（）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；（）若对于都有成立，试求的取值范围；（）记.当时，函数在区间上有两个零点，求实
16、数的取值范围.解: (I) 直线的斜率为1.函数的定义域为，因为，所以，所以. 所以. .由解得；由解得.所以的单调增区间是,单调减区间是. (II) ，由解得；由解得.所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.所以当时，函数取得最小值，.因为对于都有成立，所以即可.则. 由解得.所以的取值范围是. (III)依题得，则.由解得；由解得.所以函数在区间为减函数，在区间为增函数. 又因为函数在区间上有两个零点，所以解得.所以的取值范围是. （五）利用导数求参数的取值范围考情聚焦：1该考向由于能很好地综合考查函数的单调性、极值（最值）、零点及数形结合思想等重要考点，而成为近几年高考命题专家的新宠2常
17、与函数的其他性质、方程、不等式、解析几何知识交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式、指、对数式结构，多以解答题中压轴部分出现属于较难题考向链接：1 转换主元首先确定题目中的主元，化归成初等函数求解此方法常适用于化为一次函数对于一次函数有：2. 化归二次函数法根据题目要求，构造二次函数结合二次函数实根分布等相关知识，求出参数取值范围对于一元二次函数有：（1）上恒成立；（2）上恒成立3 分离参数法在题目中较容易分离出参数，化成（）型成立问题.（1）对任意，都有成立；（2）对任意，都有成立；（3）存在，使得成立有解；（4）存在，使得成立有解4 利用集合与集合的包含关系处理例15. 设函数其中为实数
18、，不等式对任意都成立，求实数的取值范围分析：注意题目条件给出信息，“对任意都成立”确定主元为构造出关于的一次函数解：由题设知：对任意都成立 即对任意都成立设 , 则对任意，为单调递增函数 所以对任意，恒成立的充分必要条件是即 ， 于是的取值范围是例16已知函数.（）求函数f (x)的单调区间；（）若对所有都有，求a的取值范围.解：（）由已知得，令；令. 因此，函数f (x)的单调增区间是，单调减区间是.（）令，则，.当，即时，g(x)在是减函数，因此当时，都有，即；当时，令；令，因此函数上是减函数，在上是增函数.由于对所有都有，即成立，因此，所以.综上所述，a的取值范围是.例17. 已知函数，
19、 （I）若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围； （II）设函数上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围解：（I）由题知令，要使在定义域内是增函数，只需在内恒成立 由题意的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为，只需，即时， 在内为增函数，所以正实数的取值范围是 （II）上是减函数，时，；时， 当时，其图象对称轴在轴的左侧，且，所以内单调递减当时，在，内单调递减故当时，上单调递减，不合题意；当时，由得，所以又由（I）知当时，上是增函数，不合题意； 当时，由（I）知上是增函数，且故只需，而即解得，所以实数的取值范围是 例18. 已知函数，（）求的单调区间和值域；（）设，函数，若对于任意，
20、总存在，使得成立，求的取值范围解：对函数求导，得令解得 或所以，当时，是减函数；当时，是增函数； 当时，的值域为（）对函数求导，得因此，当时， 因此当时，为减函数，从而当时有又，即当时有任给，存在使得，则即解式得 或，解式得 ，又，故，的取值范围为（六）利用导数证明不等式：考情聚焦：该考向是考察学生证明不等式的能力，处理函数方程和不等式的关系，考查学生知识迁移和转化的能力及学生的数学应用意识和创新能力。例19已知函数，设 证明：.证明：对求导，则. 在中以b为主变元构造函数，设，则.当时，因此在内为减函数；当时，因此在上为增函数.从而当时，有极小值.因为，所以，即.又设，则.当时，因此在上为减
21、函数.因为，所以，即.综上结论得证例20已知，函数（的图像连续不断）（）求的单调区间；（）当时，证明：存在，使；（）若存在均属于区间的，且，使，证明 （I）解：， 令 所以，的单调递增区间是的单调递减区间是 （II）证明：当 由（I）知在（0，2）内单调递增， 在内单调递减.令由于在（0，2）内单调递增，故取所以存在即存在（说明：的取法不唯一，只要满足即可）（III）证明：由及（I）的结论知，从而上的最小值为又由，知故从而例21设函数定义在上，导函数（）求的单调区间和最小值；（）讨论与的大小关系；（）是否存在，使得对任意成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.解 （）由题设易知，令
22、得，当时，故（0,1）是的单调减区间，当时，故是的单调增区间，因此，是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为.设，则，当时，即，当时，来源:学科网因此，在内单调递减，当时，即，当时，即.（）满足条件的不存在.证明如下：证法一 假设存在 ，使 对任意 成立，即对任意，有 （*）但对上述，取时，有 ，这与(*)左边不等式矛盾，因此，不存在 ，使 对任意成立。证法二 假设存在，使 对任意的成立。由（）知， 的最小值为。又，而时，的值域为， 时， 的值域为，从而可取一个，使 ，即 ，故 ，与假设矛盾。例22已知函数在上有极值.（1） 求的取值范围；（2） 设，求证.解：（1）要使函数
23、在上有极值，则要求在有零点，即方程在有解，而在上的值域为所以的取值范围为设为的两个零点，则，所以不妨设故有函数在为增函数，在上为减函数所以在有最大值，同理在有最小值故由消去及得所以例23 设函数在两个极值点，且（I）求满足的约束条件，在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域；(II)证明：分析（I）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。大部分考生有思路并能够得分。由题意知方程有两个根则有故有 右图中阴影部分即是满足这些条件的点的区域。(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标中的，（如果消会较繁琐
24、）再利用的范围，并借助（I）中的约束条件得进而求解，有较强的技巧性。解： 由题意有又消去可得又，且 例24.利用已知不等式证明不等式。 （1）利用.已知，求证.只需证明即可.（2）证明不等式由得即令再适当的放缩即可.（3）相关的不等式使用. .证明: (令即可.已知函数f(x)=x-ax+(a-1)，。（1）讨论函数的单调性；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。解：(1)的定义域为。 （i）若即,则故在单调增加。(ii)若,而,故,则当时，;当及时，故在单调减少，在单调增加。(iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.(II)考虑函数 则由于
25、1a5,故，即g(x)在(4, +)单调增加，从而当时有，即，故，当时，有 23已知函数。（I）讨论函数的单调性；（II）设.如果对任意，求的取值范围。解：（）的定义域为（0，+）. .当时，0，故在（0，+）单调增加；当时，0，故在（0，+）单调减少；当-10时，令=0，解得.则当时，0；时，0.故在单调增加，在单调减少.（）不妨假设，而-1，由（）知在（0，+）单调减少，从而 ，等价于令，则等价于在（0，+）单调减少，即 . 从而 故a的取值范围为（-，-2. 24（2010山东）已知函数.()当时，讨论的单调性；（）设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.解析：()，令（1）当时，当
26、,函数单调递减；当，函数单调递增.(2)当时，由，即，解得.当时，恒成立，此时，函数单调递减；当时，时，函数单调递减；时，函数单调递增；时，函数单调递减.当时，当,函数单调递减；当，函数单调递增.综上所述：当时，函数在单调递减，单调递增；当时，恒成立，此时，函数在单调递减；当时，函数在单调递减，单调递增，单调递减.（）当时，在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意，有，又已知存在，使，所以，（）又当时，与（）矛盾；当时，也与（）矛盾；当时，.综上，实数的取值范围是.附：一些常见的函数性质1.2.3.令，则4. 为减函数.且有一个零点5.在.6. 在为增函数.7.经典不等式：借助其证明不等式的题目很多。