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1、-正余弦定理知识点及题型归纳-第 5 页 解三角形一 正弦定理：=2R，其中R是三角形外接圆半径.正弦定理的如下变形常在解题中用到1.(1) a=2RsinA (2) b=2RsinB (3) c=2RsinC2.(1) sinA=a/2R (2) sinB=b/2R (3) sinC=c/2R3.a：b：c=sinA：sinB:sinC二余弦定理：1. a2 = b2 + c2 - 2bccosA 2. b2 = a2 + c2 - 2accosB 3. c2 = a2 + b2 - 2abcosC 余弦定理的如下变形常在解题中用到1. cosC = (a2 + b2 - c2) / (2a
2、b) 2. cosB = (a2 + c2 - b2) / (2ac) 3. cosA = (c2 + b2 - a2) / (2bc）三 余弦定理和正弦定理的面积公式SABC=absinC=bcsinA=acsinB（常用类型：已知三角形两边及其夹角）判断三角形的形状有两种途径：（1） 将已知的条件统一化成边的关系，用代数求和法求解（2） 将已知的条件统一化成角的关系，用三角函数法求解三解三角形的实际应用测量中相关的名称术语仰角：视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫做仰角。俯角： 视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫俯角方向角：从指
3、定方向线到目标方向的水平角(一)已知两角及一边解三角形例1已知在ABC中，c10，A45，C30，求a、b和B.（二）已知两边和其中一边对角解三角形例2在ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，C，若a=23，b=6，A=45，求边长C（三）已知两边及夹角，解三角形例3ABC中，已知b3，c3，B30，求角A，角C和边a.例四：在ABC中，若B=30, AB=2, AC=2, 则ABC的面积是（1）正弦定理判断在ABC中，若a2tanBb2tanA，试判断ABC的形状（2）余弦定理判断在ABC中，若b2sin2Cc2sin2B2bccosBcosC，试判断三角形的形状例六 判断解得个数
4、不解三角形，判断下列三角形的解的个数：（1）a=5,b=4,A=120度（2）a=7,b=14,A=150度（3）a=9,b=10,A=60度（4）c=50,b=72,C=135度考试类型一、求解斜三角形中的基本元素指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题1、中，BC3，则的周长为（ ）A B C D2、 在ABC中，已知，AC边上的中线BD=，求sinA的值3、在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C=120，c=a，则A.ab B.ab 4、在ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，则A
5、=（A） （B） （C） （D）5、在中，a=15,b=10,A=60，则=A B C D 6、在ABC中，若b = 1，c =，则a = 。7、在ABC中，已知B=45,D是BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.8、在锐角中，则的值等于 ，的取值范围为 . 9、中，所对的边分别为，,.（1）求； （2）若,求. 二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状1、在中，已知，那么一定是（ ）A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D正三角形2、的三个内角满足，则（A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形. (D)可
6、能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.三、 解决与面积有关问题：主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题1、在中，若，则的面积S_四、求值问题1、在中，所对的边长分别为，设满足条件和，求和的值2、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，则=_。3、 在ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且 （）求A的大小；（）求的最大值.五、正余弦定理解三角形的实际应用利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：图1ABCD（一.）测量问题1、如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测得CAB=30，CBA=75，AB=120cm，求河的宽度。（二.）遇险问题西北南东ABC3015图22、某舰艇测得灯塔在它的东15北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？图3ABC北4515（三.）追击问题3、 如图3，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45方向，距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南偏西15方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航行，应沿什么方向，用多少h能尽快追上乙船？