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1、不等式的性质,不等关系与不等式（2）,复习引入,1. 比较两实数大小的理论依据是什么?,2. “作差法”比较两实数的大小的一般 步骤?,如果ab ab0; 如果ab ab0; 如果ab ab0,探究（一）：不等式的基本性质,思考1：若甲的身高比乙高，则乙的身材比甲矮，反之亦然.从数学的观点分析，这里反映了一个不等式性质，你能用数学符号语言表述这个不等式性质吗？,ab ba（对称性）,思考2：若甲的身材比乙高，乙的身材比丙高，那么甲的身材比丙高，这里反映出的不等式性质如何用数学符号语言表述？,ab，bc ac； ab，bc ac（传递性）,思考3：再有一个不争的事实：若甲的年薪比乙高，如果年终两
2、人发同样多的奖金或捐赠同样多的善款，则甲的年薪仍然比乙高，这里反映出的不等式性质如何用数学符号语言表述？,ab a+cb+c（可加性）,思考4：还有一个不争的事实：若甲班的男生比乙班多，甲班的女生也比乙班多，则甲班的人数比乙班多. 这里反映出的不等式性质如何用数学符号语言表述？,ab，cd a+cb+d（同向可加性）,思考5：如果ab，c0，那么ac与bc的大小关系如何？如果ab，c0，那么ac与bc的大小关系如何？为什么？,思考6：如果ab0，cd0，那么ac与bd的大小关系如何？为什么？,ab，c0 acbc； ab，c0 acbc,ab0，cd0 acbd,(可乘性),(正数同向不等式的
3、可乘性),思考7：如果ab0，nN*，那么an与bn的大小关系如何？,ab0 anbn (nN*),(可乘方性),(可开方性),思考8：如果ab0，nN， 那么 与 的大小关系如何？,ab0 (nN ),探究（二）：不等式的拓展性质,思考1：在等式中有移项法则，即abc acb，那么移项法则在不等式中成立吗？,abc acb,思考2：如果aibi(i1，2，3，n)，a1a2an与b1b2bn的大小关系如何？,aibi (i1，2，3，n) a1a2anb1b2bn,思考3：如果aibi(i1，2，3，n)，那么a1a2anb1b2bn吗？,aibi0 (i1，2，3，n) a1a2anb1b
4、2bn,思考4：如果ab，那么an与bn的大小关系确定吗？,ab，n为正奇数 anbn,思考5：如果ab，cd，那么ac与bd的大小关系确定吗？ac与bd的大小关系确定吗？,ab，cd acbd,思考6： 若ab，ab0，那么 的大小关系如何？,ab，ab0,不等式的性质,对称性,ab,传递性,ab，bc,可加性,ab,移项法则,a+cb,同向可加,ab，cd,可乘性,ab,同向正可乘,ab0，cd0,可乘方,ab0,可开方,ab0,例1：应用不等式的性质，证明下列不等式：,（1）已知ab，ab0，求证： ；,证明：,（1）因为ab0，所以,又因为ab，所以,即,因此,（2）已知ab， cbd
5、；,证明：（2）因为ab，cb，cd，,根据性质3的推论2，得,a+(c)b+(d)，即acbd.,（3）已知ab0，0cd，求证：,证明：（3）因为0cd，根据（1）的结论得,又因为ab0，所以,即,例2. 已知ab，不等式:（1）a2b2；（2） ；（3） 成立的个数是（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3,A,例3设A=1+2x4，B=2x3+x2，xR，则A，B的大小关系是 。,AB,（2）若3ab1，2c1， 求(ab)c2的取值范围。,因为4ab0，1c24， 所以16(ab)c20,例4（1）如果30x36，2y6，求x2y及 的取值范围。,18x2y32，,例5若 ，求
6、 的取值范围。,5、若6a8,2b3,分别求2a+b,a-b的范围,注意：同向不等式不能两边相减,例6,求:,的取值范围.,已知:函数,解：因为f(x)=ax2c,所以,解之得,所以f(3)=9ac=,因为,所以,两式相加得1f(3) 20.,练习已知4ab1，14ab5，求9ab的取值范围。,解：设9ab=m(ab)+n(4ab) =(m+4n)a(m+n)b，,令m+4n=9，(m+n)=1，解得，,所以9ab= (ab)+ (4ab),由4ab1，得,由14ab5，得,以上两式相加得19ab20.,性质、如果ab，那么 ba ,性质、如果ab且bc，那么ac,推论：如果ab且bc，那么a
7、c,性质、如果ab，那么acbc；,推论、如果a b c，那么a c b ；,性质、ab0,且cd0，那么acbd,性质4、如果ab且c0，那么acbc； 如果ab且c0，那么acbc；,性质、ab,且cd，那么acbd,性质、ab0, 那么anbn,性质8、ab0, 那么,课堂小结,性质1：如果ab，那么bb.,性质1表明，把不等式的左边和右边交换位置，所得不等式与原不等式异向，我们把这种性质称为不等式的对称性。,常用的基本不等式的性质,(对称性),性质2：如果ab，bc，那么ac.,证明：根据两个正数之和仍为正数，得,(ab)+(bc)0 ac0 ac.,这个性质也可以表示为cb，ba，则
8、ca. 这个性质是不等式的传递性。,(传递性),性质3：如果ab，则a+cb+c.,证明：因为ab，所以ab0， 因此(a+c)(b+c)=a+cbc=ab0，,即 a+cb+c.,性质3表明，不等式的两边都加上同一个实数，所得的不等式与原不等式同向.,(可加性),a+bc a+b+(b)c+(b) acb.,由性质3可以得出,推论1：不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边。 （移项法则）,推论2：如果ab，cd，则a+cb+d.,证明：因为ab，所以a+cb+c， 又因为cd，所以b+cb+d，,根据不等式的传递性得 a+cb+d.,几个同向不等式的两边
9、分别相加，所得的不等式与原不等式同向。,同向不等式可相加性,性质5：,推论1：如果ab0，cd0，则acbd.,性质4：如果ab，c0，则acbc；如果ab，c0，则acbc.,证明：因为ab，c0，所以acbc， 又因为cd，b0，所以bcbd，,根据不等式的传递性得 acbd。,几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得的不等式与原不等式同向。,(可乘性),性质6：,推论2：如果ab0，则anbn，(nN+，n1).,证明：因为,个，,根据性质4的推论1，得anbn.,(可乘方性),性质7：,推论3：如果ab0，则， (nN+，n1).,证明：用反证法，假定 ，即 或 ，,根据性质4的推论2和根式性质，得ab或a=b，,这都与ab矛盾，因此,(可开方性),性质8：,