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1、42 不定积分的基本公式与运算法 则、直接积分法,案例研究,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,案例4.2 列车的制动点：,列车快进站时必须制动减,速若列车制动后的速度为,（kg/min），问列,车应该在离站台停靠点多远的地方开始制动？,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,分析 令,得,即 3 分钟后列,车停下来. 设列车从制动点开始计算所运行的路程为s，,则,若我们能求出上述
2、不定积分，则可得运动方程,于是，将,代入该方程，可求得制动点的距离为,因此，我们的重点是研究不定积分的计算问题.,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,抽象归纳,不定积分的基本公式,类似地，可以推导出其他基本积分公式：,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trad
3、e College,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,问 下述公式右边的对数中为什么要加绝对值？,讨论 当,时，有,当,时，也有,所以,是,的原函数.,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,例1 求下列不定积分：,（1）,（2）,（3）,解（1）,（2）,（3）,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations &
4、 Trade College,不定积分的基本运算法则,法则两个函数代数和的不定积分等于各个函数,的不定积分的代数和，即,法则2 被积函数中不为零的常数因子可以提到积,分符号外面，即,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,例2 求,解,问：最后的结果为什么只写一个任意常数？,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,直接积分法,定义 直接用积分基本公式与运算性质求不定积,分，或者对被积函
5、数进行适当的恒等变形（包括代数变,形与三角变形），再利用积分的基本公式与运算法则求不,定积分的方法叫做直接积分法,例3 求,解,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,例4 求,解,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,例5 求,解利用降幂公式化简.,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade Co
6、llege,案例4.2的解 求积分，得,依题意，当,时，,代入上式，得,于是，,得,将,代入上式，得,即列车在离站台1.5公里处开始制动.,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,例6 已知某种商品的最大需求量为A（即价格为0时的需求量），有关部门给出这种商品的需求量Q的变化,率模型为,（也称边际需求），其中p,表示商品的价格，求这种商品的需求函数.,解,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,将,代入上式，得,所以这种商品的,需求函数为,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,小结：,1不定积分的基本公式：10个公式，要熟记；,2不定积分的基本运算法则：,（1）,（2）,3直接积分法。,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,