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1、-有理数无理数-第 6 页有理数与无理数一、 专题简析 理解两个数学概念，在学习数学概念的同时了解一些数学史知识，深化概念的认识，能依据概念进行分析判断，根据概念自觉发现结论并解决一些问题。二、 阅读与探究数学上，有理数是指一大类数，这个名称经过以讹传讹，已经积非成是了，较恰当的称呼为“可比数”，凡是能精确表示为一个整数a和一个正整数b的比的数都是有理数，例如3/8，17/9，0也是有理数，整数也可以看作是分母为1的分数。 0.4, 0.1111，0.313131 是有理数，因为0.4=2/5, 0.1111=1/9，0.313131=31/99,小数部分是有限的或是无限循环的数都是有理数，分
2、数都是有理数，分数本身就是一种比的记法。有限小数都可以看作是分母是整十、整百、整千、整万的分数；无限循环小数都可以等值于一对整数的比，而且可以找到唯一的一对互质的整数。 读后归纳：整数、分数、有限小数、无限循环小数都是有理数。对应的，还有一类数叫无理数，凡是不能精确表示为一个整数a和一个正整数b的比的数都是无理数（其实应该称作“不可比数”更恰当）， 无理数的典型特征是小数部分是无限不循环的。依据材料解决问题1、 分别将下列数写成两个互质的整数比（写出分数形式） 13, 5， 0.25， 3.14， 0.024， 0.33333 ，2.11111， 0.245245245245245 ，归纳：
3、变式： 0.033333 ， 如果表示？2、 是无理数吗？将它化成小数形式 3、 这些数都是有理数吗？4、 当n=10, 100, 1000时， 其和是有理数吗？ 当n趋向于无穷大时， 其和还是有理数吗？ 5、无理数“三剑客” 在历史上，自然对数的底e与曾一个商人借钱的利息有关。 过去，有个商人向财主借钱，财主的条件是每借1元，一年后利息是1元，即连本带利还2元，年利率100%。利息好多喔！财主好高兴。财主想，一年利率100%，半年的利率为50%，半年到期连本带息是1.5元，1.5元作为本金，又半年后，（）=2=2. 25元。于是半年结一次帐，利滚利，利息比原来要多。财主又想，如果一年结3次，
4、4次，12次，365次，1000次，岂不发财了？你觉得财主会无限收益吗？ 令人惊叹的结论：当n趋向无限时，1/(0!)+1/(1!)+1/(2!)+1/(3!)+1/(4!)+1/(5!)+ =1/(n!) = e, nN （记住：是连加符号，N用来表示自然数集合） 圆周率（Pi读作pi）是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数（约等于3.141592654）。也等于圆的面积与边长为圆半径的正方形面积之比。是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状数值的关键值。它是一个无理数，即无限不循环小数。在日常生活中，通常用3.14代表圆周率去进行近似计算。而
5、用十位小数3.141592654便足以应付一定精度要求的计算。 令人惊叹的结论： =4(1/1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+)=4(-1)n/(1+2n), nN 已知 X2=2（x0） 证明：x是无理数 这是经典证明题证明是无理数 希望反复揣摩证明思路，汲取思维养分自然律之美“自然律”是e及由e经过一定变换和复合的形式。e是“自然律”的精髓，在数学上它是函数：(1+1/x)x当X趋近无穷时的极限。人们在研究一些实际问题，如物体的冷却、细胞的繁殖、放射性元素的衰变时，都要研究(1+1/x)x，当X趋近无穷时的极限。正是这种从无限变化中获得的有限，从两个相反方向发展（当X趋向正无穷
6、大的时，上式的极限等于e=2.71828，当X趋向负无穷大时候，上式的结果也等于e=2.71828）得来的共同形式，充分体现了宇宙的形成、发展及衰亡的最本质的东西。，在我国叫又环率、圆率、圆周率等。最先得出3.14的是希腊的阿基米德（约公元前240年），最先给出小数后面四位准确值的是希腊人托勒密（约公元前150年），最早算出小数后七位准确值的是我国的祖冲之（约480年），1610年荷兰籍德数学家鲁道夫应用内接和外切正多边形计算值，通过262边形计算到35位小数，花费了毕生精力，1630年格林贝格利用斯涅1706年，英国的威廉姆士首先使用这个符号，用来表示圆周和直径的比值，但只是在欧拉于1737
7、年采用了这方法以后，才在这种情况下得到了普遍的应用。耳的改进方法计算值到39位小数，这是利用古典方法计算值的最重要尝试。1727年，欧拉最先用e作为数学符号使用，后来经过一个时期人们又确定用e作为自然对数的底来纪念他。有趣的是，e正好是欧拉名字第一个小写字母，是有意的还是偶然巧合？1792年，15岁的高斯发现了素数定理：“从1到任何自然数N之间所含素数的百分比，近似等于N的自然对数的倒数；N越大，这个规律越准确。”这个定理到1896年才由法国数学家阿达玛和几乎是同一时期的比利时数学家布散所证明。e也会在意想不到的地方出现，例如：“将一个数分成若干等份，要使各等份乘积最大，怎么分？”要解决这个问
8、题便要同e打交道。答案是：使等分的各份尽可能接近e值。如，把10分成10e3.7份，但3.7份不好分，所以分成4份，每份为104=2.5，这时2.54=39.0625乘积最大，如分成3或5份，乘积都小于39。e就是这样神奇的出现了。e在自然科学中的应用并不亚于值。像原子物理和地质学中考察放射性物质的衰变规律或考察地球年龄时便要用到e。在用齐奥尔科夫斯基公式计算火箭速度时也会用到e，在计算储蓄最优利息及生物繁殖问题时，也要用到e毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580年至公元前500年间）是古希腊的大数学家。他证明许多重要的定理，包括后来以他的名字命名的毕达哥拉斯定理（勾股定理），即直角
9、三角形两直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。毕达哥拉斯将数学知识运用得纯熟之后，觉得不能只满足于用来算题解题，于是他试着从数学领域扩大到哲学，用数的观点去解释一下世界。经过一番刻苦实践，他提出“万物皆为数”的观点：数的元素就是万物的元素，世界是由数组成的，世界上的一切没有不可以用数来表示的，数本身就是世界的秩序。公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯（Hippasus）发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的（若正方形的边长为1，则对角线的长不是一个有理数），这一不可公度性与毕氏学派的“万物皆为数”（指有理数）的哲理大相径庭。这一发现使
10、该学派领导人惶恐，认为这将动摇他们在学术界的统治地位，于是极力封锁该真理的流传，希伯索斯被迫流亡他乡，不幸的是，在一条海船上还是遇到毕氏门徒。被毕氏门徒残忍地投入了水中杀害。科学史就这样拉开了序幕，却是一场悲剧。希伯索斯的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明了它不能同连续的无限直线等同看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了。不可公度量的发现连同芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次数学危机，对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，促使
11、人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学和逻辑学的发展，并且孕育了微积分思想萌芽。不可约的本质是什么？长期以来众说纷纭，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直认为是不可理喻的数。15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。然而真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希伯索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名“无理数”这就是无理数的由来。自然数用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4，所表示的数。表示物体个数的数叫自然数，自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷的
12、集体。“公度”是一个几何学概念。对于两条线段a和b，如果存在线段d，使得a=md，b=nd(m，n为自然数)，那么称线段d为线段a和b的一个公度。并称线段a和b为可公度线段或可通约线段。如果对于线段a和b，这样的线段d不存在，那么称线段a和b为无公度线段或不可通约线段。如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。约数和倍数都表示一个整数与另一个整数的关系，不能单独存在。如只能说16是某数的倍数，2是某数的约数，而不能孤立地说16是倍数，2是约数。倍与倍数是不同的两个概念，倍是指两个数相除的商，它可以是整数、小数或者分数。倍数只是在数的整除的范围内，相对于约数而言的一个数字的概念，
13、表示的是能被某一个自然数整除的数。几个整数，公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。例如：12、16的公约数有1、2、4，其中最大的一个是4，4是12与16的最大公约数，一般记为（12，16）=4。12、15、18的最大公约数是3，记为（12，15，18）=3。e是自然对数的底数，是一个无限不循环小数，其值是2.71828.，它是这样定义的：当n时，(1+1/n)n的极限利息这就要从以前说起了。至少在微积分发明之前半个世纪，就有人提到这个数，所以虽然它在微积分里常常出现，却不是随著微积分诞生的。那么是在怎样的状况下导致它出现的呢？一个很可能的解释是，这个数和
14、计算利息有关。我们都知道复利计息是怎么回事，就是利息也可以并进本金再生利息。但是本利和的多寡，要看计息周期而定，以年周期来算的话，可以一年只计息一次，也可以每半年计息一次，或者一季一次，一月一次，甚至一天一次；当然计息周期愈短，本利和就会愈高。有人因此而好奇，如果计息周期无限制地缩短，比如说每分钟计息一次，甚至每秒，或者每一瞬间（理论上来说），会发生什么状况？本利和会无限制地加大吗？答案是不会，它的值会稳定下来，趋近於一极限值，而e这个数就现身在该极限值当中,所以e可以定义成一个极限值，但是在那时候，根本还没有极限的观念，因此e的值应该是观察出来的，而不是用严谨的证明得到的。无理数e的应用这个
15、与计算复利关系密切的数，和数学领域不同分支中的许多问题都有关联。在讨论e的源起时，除了复利计算以外，事实上还有许多其他的可能。问题虽然都不一样，答案却都殊途同归地指向e这个数。比如其中一个有名的问题，就是求双曲线y=1/x底下的面积。双曲线和计算复利会有什么关系，不管横看、竖看、坐著想、躺著想，都想不出一个所以然对不对？可是这个面积算出来，却和e有很密切的关联。我才举了一个例子而已，这本书里提到得更多。e的影响力其实还不限于数学领域。大自然中太阳花的种子排列、鹦鹉螺壳上的花纹都呈现螺线的形状，而螺线的方程式，是要用e来定义的。建构音阶也要用到e，而如果把一条链子两端固定，松松垂下，它呈现的形状若用数学式子表示的话，也需要用到e。有限的趋向无限，往往会突变，有限情况下的结论往往不适应无限的情形。有理数问题例：设，求N的整数部分。解：而所以 N的整数部分是20009。