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1、-中考圆有关的动点几何压轴题-第 24 页北辰教育学科老师辅导讲义学员姓名： 年级：初三 辅导科目：数学 学科教师：陆军授课日期授课时段授课主题中考25题压轴题之涉及圆问题分析教学内容与圆有关的常见辅助线添加方法辅助线秘诀一已知直径或作直径，我们要想到两件事：1；直径上有一个隐藏的中点（圆心）2；利用圆周角定理构造直角三角形辅助线秘诀二作半径1；连半径，造等腰三角形2；作过切点的半径辅助线秘诀三涉及弦长，弦心距；可造垂径定理的模型，为勾股定理创造条件辅助线秘诀四切线的证明1；有交点：连半径，证垂直2；无交点：作垂直，证半径辅助线秘诀五已知数圆心角度数，要想到同弧所对圆周角度数，反之亦然。辅助线
2、秘诀六出现等弧问题时，我们要想到1；在同圆或等圆中相等的弧所对的弦相等，弦心距也相等。2；在同圆或等圆中相等的弧所对的圆心角，圆周角也相等。辅助线秘诀七已知三角比或求某个角的三角比，要想到把角放在直角三角形中，没有作垂直。注意；同角或等角的三角比相同辅助线秘诀八圆中出现内接正多边形时；作边心距，抓住一个直角三角形来解决辅助线秘诀九已知两圆相切，常用的辅助线是；1；作公切线，连接过切点的半径得到垂直关系2；作连心线辅助线秘诀十已知两圆相交，常用的辅助线是；1；作两圆公切弦2；作连心线例题讲解定圆结合直角三角形，考察两线段函数关系，三角形面积比值1（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）、
3、（3）小题各5分）已知：如图，在Rt中，点在边上，以点为圆心的圆过、两点，点为上一动点.（1）求的半径；（2）联结并延长，交边延长线于点，设，求关于的函数解析式，并写出定义域；备用图第25题图（3）联结，当点是AB的中点时，求ABP的面积与ABD的面积比的值定圆结合直角三角形，考察三角形相似，线段与三角形周长的函数关系2（2010上海）如图，在RtABC中，ACB=90半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P（1）当B=30时，连接AP，若AEP与BDP相似，求CE的长；（2）若CE=2，BD=BC，求BPD的正切值；（3）若tanBPD
4、=，设CE=x，ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式定圆结合直角三角形，考察两线段函数关系，圆心距，存在性问题3如图，在半径为5的O中，点A、B在O上，AOB=90，点C是弧AB上的一个动点，AC与OB的延长线相交于点D，设AC=x，BD=y（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）如果O1与O相交于点A、C，且O1与O的圆心距为2，当BD=OB时，求O1的半径；（3）是否存在点C，使得DCBDOC？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由定圆中结合平行线，弧中点，考察两线段函数关系，圆相切4（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题2分，第（3）小题6分）在半径为4
5、的O中，点C是以AB为直径的半圆的中点，ODAC，垂足为D，点E是射线AB上的任意一点，DF/AB，DF与CE相交于点F，设EF=，DF= （1） 如图1，当点E在射线OB上时，求关于的函数解析式，并写出函数定义域；（2） 如图2，当点F在O上时，求线段DF的长；（3） 如果以点E为圆心、EF为半径的圆与O相切，求线段DF的长ABEFCDO（第25题图1）ABEFCDO动圆结合直角梯形，考察圆相切和相似5（14分）（2014金山区二模）如图，已知在梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AB=4，AD=3，sinDCB=，P是边CD上一点（点P与点C、D不重合），以PC为半径的P与边BC相交于点C
6、和点Q（1）如果BPCD，求CP的长；（2）如果PA=PB，试判断以AB为直径的O与P的位置关系；（3）联结PQ，如果ADP和BQP相似，求CP的长动圆结合内切直角三角形，考察相似，两线段函数关系 6. 2005中考（本题满分12分，每小题满分各为4分）在ABC中，ABC90，AB4，BC3，O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点D，交线段OC于点E，作EPED，交射线AB于点P，交射线CB于点F。（1） 如图8，求证：ADEAEP；（2） 设OAx，APy，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3） 当BF1时，求线段AP的长.动圆结合定圆，考察两线段函数关系，圆
7、相切7.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图1，已知的半径长为3，点是上一定点，点为上不同于点的动点。（1）当时，求的长；（2）如果过点、，且点在直线上（如图2），设，求关于的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）在（2）的条件下，当时（如图3），存在与相内切，同时与相外切，且， 试求的半径的长。动圆结合定圆，考察两线段函数关系，相似，勾股定理，圆相交和正多边形8如图1，已知O的半径长为1，PQ是O的直径，点M是PQ延长线上一点，以点M为圆心作圆，与O交于A、B两点，连接PA并延长，交M于另外一点C（1）若AB恰好是O的直径，设OM=x，AC=y，试在图
8、2中画出符合要求的大致图形，并求y关于x的函数解析式；（2）连接OA、MA、MC，若OAMA，且OMA与PMC相似，求OM的长度和M的半径长；（3）是否存在M，使得AB、AC恰好是一个正五边形的两条边？若存在，试求OM的长度和M的半径长；若不存在，试说明理由动圆结合三角形，考察相似，线段比，圆位置关系9.2006中考25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分7分，第（3）小题满分3分）已知点P在线段AB上，点O在线段AB的延长线上。以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点。（1）如图，如果AP=2PB，PB=BO。求证：CAOBCO；（2）如果AP=m（m是常数，且
9、m1），BP=1，OP是OA、OB的比例中项。当点C在圆O上运动时，求AC：BC的值（结果用含m的式子表示）；（3）在（2）的条件下，讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系，并写出相应m的取值范围。1解：（1）联结OB在Rt中，AC=8（1分）设，则在Rt中，（2分）解得，即的半径为5（1分）（2）过点O作OHAD于点H OH过圆心，且OHAD（1分）在Rt中，可得即（1分）在和中，AOHADC（1分）即得（1分）定义域为（1分）（3）是AB的中点，AP=BPAO=BO，PO垂直平分AB设，可求得，ABPABD（1分）（1分） 由AP=BP可得，即（1分）由可得，即（1分）（1分
10、）2考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形。专题：几何综合题；压轴题。分析：（1）当B=30时，A=60，此时ADE是等边三角形，则PEC=AED=60，由此可证得P=B=30；若AEP与BDP相似，那么EAP=EPA=B=P=30，此时EP=EA=1，即可在RtPEC中求得CE的长；（2）若BD=BC，可在RtABC中，由勾股定理求得BD、BC的长；过C作CFDP交AB于F，易证得ADEAFC，根据得到的比例线段可求出DF的长；进而可通过证BCFBPD，根据相似三角形的对应边成比例求得BP、BC的比例关系，进而求出BP、CP的长；在RtCEP中，根据求得的CP
11、的长及已知的CE的长即可得到BPD的正切值；（3）过点D作DQAC于Q，可用未知数表示出QE的长，根据BPD（即EDQ）的正切值即可求出DQ的长；在RtADQ中，可用QE表示出AQ的长，由勾股定理即可求得EQ、DQ、AQ的长；易证得ADQABC，根据得到的比例线段可求出BD、BC的表达式，进而可根据三角形周长的计算方法得到y、x的函数关系式解答：解：（1）B=30，ACB=90，BAC=60AD=AE，AED=60=CEP，EPC=30BDP为等腰三角形AEP与BDP相似，EPA=DPB=30，AE=EP=1在RtECP中，EC=EP=；（2）设BD=BC=x在RtABC中，由勾股定理，得：（
12、x+1）2=x2+（2+1）2，解之得x=4，即BC=4过点C作CFDPADE与AFC相似，即AF=AC，即DF=EC=2，BF=DF=2BFC与BDP相似，即：BC=CP=4tanBPD=（3）过D点作DQAC于点Q则DQE与PCE相似，设AQ=a，则QE=1a且，DQ=3（1a）在RtADQ中，据勾股定理得：AD2=AQ2+DQ2即：12=a2+3（1a）2，解之得ADQ与ABC相似，ABC的周长，即：y=3+3x，其中x03考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆与圆的位置关系。专题：代数几何综合题；分类讨论。分析：（1）过O的圆心作OEAC，垂足为E通过证明ODEAOE求得，然后将相
13、关线段的长度代入求得y关于x的函数解析式，再由函数的性质求其定义域；（2）当BD=OB时，根据（1）的函数关系式求得y=，x=6分两种情况来解答O1A的值当点O1在线段OE上时，O1E=OEOO1=2；当点O1在线段EO的延长线上时，O1E=OE+OO1=6；（3）当点C为AB的中点时，BOC=AOC=AOB=45，OCA=OCB=，然后由三角形的内角和定理求得DCB=45，由等量代换求得DCB=BOC根据相似三角形的判定定理AA证明DCBDOC解答：解：（1）过O的圆心作OEAC，垂足为E，AE=，OE=DEO=AOB=90，D=90EOD=AOE，ODEAOE，OD=y+5，y关于x的函数
14、解析式为：定义域为：（1分）（2）当BD=OB时，x=6AE=，OE=当点O1在线段OE上时，O1E=OEOO1=2，当点O1在线段EO的延长线上时，O1E=OE+OO1=6，O1的半径为或（3）存在，当点C为的中点时，DCBDOC证明如下：当点C为的中点时，BOC=AOC=AOB=45，又OA=OC=OB，OCA=OCB=，DCB=180OCAOCB=45DCB=BOC又D=D，DCBDOC存在点C，使得DCBDOC点评：本题主要考查了圆与圆的位置关系、勾股定理此题很复杂，解答此题的关键是作出辅助线OEAC，利用相似三角形的判定定理及性质解答，解答（2）时注意分两种情况讨论，不要漏解4解：（
15、1）联结OC，AC是O的弦，ODAC，OD=AD（1分）DF/AB，CF=EF，DF=（1分）点C是以AB为直径的半圆的中点，COAB（1分）EF=，AO=CO=4,CE=2,OE=.（1分）. 定义域为（1+1分）（2）当点F在O上时，联结OC、OF，EF=，OC=OB=AB=4（分）DF=2+=2+2（1分）（3）当E与O外切于点B时，BE=FE， ，）（1分） DF=（1分）当E与O内切于点B时，BE=FE， ，）（1分）DF=（1分）当E与O内切于点A时，AE=FE， ，）（1分）DF=（1分）5.：（1）作DHBC于H，如图1，ADBC，ABBC，AB=4，AD=3，DH=4，BH=
16、3，在RtDHC中，sinDCH=，DC=5，CH=3，BC=BH+CH=6，BPCD，BPC=90，而DCH=BCP，RtDCHRtBCP，=，即=，PC=；（2）作PEAB于E，如图2，PA=PB，AE=BE=AB=2，PEADBC，PE为梯形ABCD的中位线，PD=PC，PE=（AD+BC）=（3+6）=，PC=BC=，EA+PC=PE，以AB为直径的O与P外切；（3）如图1，作PFBC于F，则CF=QF，设PC=x，则DP=5x，PFDH，CPFCDH，=，即=，解得CF=，CQ=2CF=，BQ=BCCQ=6，PQ=PC，PQC=PCQ，ADBC，ADP+PCQ=180，而PQC+PQ
17、B=180，ADP=PQB，当ADPBQP，=，即=，整理得2x225x+50=0，解得x1=，x2=10（舍去），经检验x=是原分式方程的解PC=；当ADPPQB，=，即=整理得5x243x+90=0，解得x1=，x2=5（舍去），经检验x=是原分式方程的解PC=，如果ADP和BQP相似，CP的长为或J7.8.考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；相交两圆的性质；正多边形和圆。专题：计算题；证明题。分析：（1）过点M作MNAC，垂足为N，可得，再根据PMAB，又AB是圆O的直径，可得，在RtPNM中，再利用即可求得y关于x的函数解析式；（2）设圆M的半径为r，利用勾股定理求出OM，根据OM
18、APMC，可得PMC是直角三角形然后可得CPM、PCM都不可能是直角又利用AOM=2PP，可得即若OMA与PMC相似，其对应性只能是点O与点C对应、点M与点P对应、点A与点M对应从而求得OM，然后即可求得M的半径长（3）假设存在M，使得AB、AC恰好是一个正五边形的两条边，连接OA、MA、MC、AQ，设公共弦AB与直线OM相交于点G，由正五边形求得AMB和BAC，再利用AB是公共弦，OMAB，AMO=36，从而求得AOM=AMO，在求证MAQMOA，利用相似三角形对应边成比例即可求得解答：解：（1）过点M作MNAC，垂足为N，由题意得：PMAB，又AB是圆O的直径，OA=OP=1，APO=45
19、，在RtPNM中，又PM=1+x，NPM=45，y关于x的函数解析式为（x1），（2）设圆M的半径为r，OAMA，OAM=90，又OMAPMC，PMC是直角三角形OA=OP，MA=MC，CPM、PCM都不可能是直角PMC=90又AOM=2PP，AMO=P，即若OMA与PMC相似，其对应性只能是点O与点C对应、点M与点P对应、点A与点M对应，即，解得，从而OM=2，OM=2，圆M的半径为（3）假设存在M，使得AB、AC恰好是一个正五边形的两条边，连接OA、MA、MC、AQ，设公共弦AB与直线OM相交于点G由正五边形知，BAC=108，AB是公共弦，OMAB，AMO=36，从而P=18，AOM=2
20、P=36AOM=AMOAM=AO=1，即圆M的半径是1，OA=OQ=1，AOM=36AQO=72QAM=AQOAMO=36MAQMOA，AM=1，MQ=OM1，解得：（负值舍去），所以，存在M，使得AB、AC恰好是一个正五边形的两条边，此时的，圆M的半径是19/(1)两边一夹角(2)解：设OP=x，则OB=x-1，OA=x+m，OP=，OB=OA/OC=OC/OB设圆O与线段AB的延长线相交于点Q，当点c与点P、点Q不重合时，CAOBCOAC/BC=OC/OB=OP/OB=m；当点C与点P或点Q重OB合时，可得AC/BC=m，。当点C在圆O上运动时，AC:BC=m(3)解：由(2)得，ACBC，且AC-BC=(m-1)BC(m1)，AC+BC=(m+1)BC，圆B和圆C的圆心距d=BC，显然BC(m+1)BC，圆B和圆C的位置关系只可能相交、内切或内含当圆B与圆C相交时，(m-1)BCBC(m+1)BC，得0m1，1m2；当圆B与圆C内切时，(m-1)BC=BC，得m=2；当圆B与圆C内含时，BC2