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1、二次函数y=ax2+bx+c 图象和性质,一般地，抛物线y=a(x-h) +k与y=ax 的 相同， 不同,2,2,知识回顾：,形状,位置,y=ax,2,y=a(x-h) +k,2,上加下减,左加右减,知识回顾：,抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:,1.当a0时，开口 ， 当a0时，开口 ，,向上,向下,2.对称轴是 ；,3.顶点坐标是 。,直线X=h,(h,k),直线x=3,直线x=1,直线x=2,直线x=3,向上,向上,向下,向下,（-3，5）,（1，-2）,（3，7 ）,（2，-6）,你能说出二次函数y=x 6x21图像的特征吗？,2,1,2,探究:,如何画出 的图象呢?,我们知道
2、,像y=a(x-h)2+k这样的函数,容易确定相应抛物线的顶点为(h,k), 二次函数 也能化成这样的形式吗?,配方,y= (x6) +3,2,1,2,你知道是怎样配方的吗？,(1)“提”：提出二次项系数；,( 2 )“配”：括号内配成完全平方；,（3）“化”：化成顶点式。,归纳,二次函数 y= x 6x +21图象的 画法：,(1)“化” ：化成顶点式 ；,(2)“定”：确定开口方向、对称轴、顶 点坐标；,(3)“画”：列表、描点、连线。,2,1,2,画二次函数的图象取点时先确定顶点，再在顶点的两旁对称地取相同数量的点，一般取57个点即可。,注意,求二次函数y=ax+bx+c的对称轴和顶点坐
3、标,函数y=ax+bx+c的顶点是,配方:,提取二次项系数,配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方,整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项,化简:去掉中括号,这个结果通常称为求顶点坐标公式.,函数y=ax+bx+c的对称轴、顶点坐标是什么？,1. 说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标：,函数y=ax+bx+c的对称轴、顶点坐标是什么？,对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交点时），这样就可以画出它的大致图象。,方法归纳,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质,.顶点坐标与对称轴,.位置与开口方向
4、,.增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2+bx+c(a0),y=ax2+bx+c(a0),由a,b和c的符号确定,由a,b和c的符号确定,向上,向下,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.,根据图形填表：,图象的画法,步骤：1利用配方法或公式法把,化为,的形式。,2确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。,3在对称轴的两侧以顶点为中心左右对称描点画图。,所以当x2时， 。,解法一（配方法）：,例 当x取何值时，二次函数 有最大值
5、或最小值，最大值或最小值是多少？,因为 所以当x2时， 。,因为a20，抛物线 有最低点，所以y有最小值，,总结：求二次函数最值，有两个方法 (1)用配方法；(2)用公式法,解法二（公式法）：,又,例已知函数 ，当x为何值时，函数值y随自变量的值的增大而减小。,解法一： ，,抛物线开口向下，, 对称轴是直线x3，当 x3时，y随x的增大而减小。,解法二：,，抛物线开口向下，, 对称轴是直线x3，当 x3时，y随x的增大而减小。,例已知二次函数,的最大值是0，求此函数的解析式,解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐标的值为0所以应满足以下的条件组,由解方程得,所求函数解析式为,。,练习1、已知抛物
6、线y= ax2+bx+c与抛物线 y=-2x2 形状相同,且顶点坐标为(1,-5)的函数解析式为 .,2、若抛物线ya(x-m )2+n的图象与函数y2x2的图象的形状相同,且顶点为(-3,2),则函数的解析式为 .,3、已知抛物线y= ax2+bx+c与抛物线y=x2 形状相同,但开口方向相反,且顶点坐标为 (-1,5)的函数解析式为 .,4.抛物线y=-x2+mx-n的顶点坐标是 （2，-3），求m，n的值。,5.不画图象，说明抛物线y=-x2+4x+5可由抛物线y=-x2经过怎样的平移得到？,y=2x2-5x+3,y=(x-3)(x+2),y= x2+4x-9,求下列二次函数图像的开口、
7、顶点、对称轴,请画出草图:,小试牛刀,3,9,6,抛物线位置与系数a，b，c的关系：,a决定抛物线的开口方向： a0 开口向上,a0 开口向下,x,y,c0 图象与y轴交点在y轴负半轴。,c决定抛物线与y轴交点（0，c）的位置：,c0 图象与y轴交点在y轴正半轴；,c=0 图象过原点；,x,y,a，b决定抛物线对称轴的位置: 对称轴是直线x =, a，b同号 对称轴在y轴左侧；, b=0 对称轴是y轴；, a，b异号 对称轴在y轴右侧,o,x,y,左同右异,y,o,x,y,o,x,图1,图2,o,x,y,X=1,o,x,y,X=-1,o,x,y,顶点坐标是（ ， ）。,y,.,.,x,( ,
8、),（6）二次函数有最大或最小值由a决定。,当x= 时,y有最大(最小)值,y,.,.,x,y,.,x,x,能否说出 它们的增 减性呢？,（7）=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况：,y,o,x,y,o,x,y,o,x,0抛物线与x轴有两个交点；,0抛物线与x轴有唯一的公式点；, 0抛物线与x轴无交点。,（7）=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况：,y,o,x,y,o,x,y,o,x,0抛物线与x轴有两个交点；,0抛物线与x轴有唯一的公式点；, 0抛物线与x轴无交点。, c决定抛物线与y轴交点的位置： c0 图象与y轴交点在x轴上方； c=0 图象过原点； c0 图象与y轴交点在x轴下方。
9、,顶点坐标是（ ， ）。,（5）二次函数有最大或最小值由a决定。,当x= 时,y有最大(最小)值 y=,b,2a,_,4a,4acb,2,-1,例2、已知函数y = ax2 +bx +c的图象如下图所示，x= 为该图象的对称轴，根 据图象信息你能得到关于系数a，b，c的一些什么结论？,y,1,.,.,x,1.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.不论k 取任何实数，抛物线y=a(x+k)2+k(a0)的顶点都在 （ ） A.直线y = x上 B.直线y = - x上 C.x轴上 D.y轴上 3.若二次函数y=ax2 + 4x+
10、a-1的最小值是2,则a的值是 （ ） A 4 B. -1 C. 3 D.4或-1,C,B,A,4.若二次函数 y=ax2 + b x + c 的图象如下,与x轴的一个交点为(1,0),则下列各式中不成立的是 （ ） A.b2-4ac0 B. 0,5.若把抛物线y = x2 - 2x+1向右平移2个单位,再向下平移3个单位,得抛物线y=x2+bx+c,则（ ） A.b=2 c= 6 B.b=-6 , c=6 C.b=-8 c= 6 D.b=-8 , c=18,B,B,6.若一次函数 y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数 y=ax2+bx-3 的大致图象是 ( ),7.在同一直角
11、坐标系中,二次函数 y=ax2+bx+c 与一次函数y=ax+c的大致图象可能是 （ ）,C,C,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质,.顶点坐标与对称轴,.位置与开口方向,.增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2+bx+c(a0),y=ax2+bx+c(a0),由a,b和c的符号确定,由a,b和c的符号确定,向上,向下,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.,根据图形填表：,（五）、学习回顾：,填写表格：,1.相同点
12、: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同). (2)都是轴对称图形. (3)都有最(大或小)值. (4)a0时, 开口向上, 在对称轴左侧,y都随x的增大而减小, 在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a0时,开口向下, 在对称轴左侧,y都随x的增大而增大, 在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .,驶向胜利的彼岸,回味无穷,二次函数y=ax2+bx+c(a0)与=ax的关系,2.不同点: (1)位置不同(2)顶点不同:分别是 和(0,0). (3)对称轴不同:分别是 和y轴. (4)最值不同:分别是 和0. 3.联系: y=a(x-h)+k(a0) 的图象可以看成y=ax的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 0时,向右平移;当 0时向上平移;当 0时,向下平移)得到的.,驶向胜利的彼岸,回味无穷,二次函数y=ax2+bx+c(a0)与=ax的关系,