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1、-基于运动图像复原的维纳滤波器设计_毕业设计论文-第 47 页LANZHOU UNIVERSITY OF TECHNOLOGY毕业设计说明书题 目 基于运动图像复原的维纳滤波器设计 基于运动图像复原的维纳滤波器设计The design of the Wiener filter for image restoration based on张明哲Zhang Mingzhe09250104摘 要运动模糊图像成像过程中可能会出现模糊、失真或混入噪声，最终导致图像质量下降。这种质量的下降会造成图像中的目标很难识别或者图像中的特征无法提取，必须对其进行恢复,维纳滤波是一种常见的图像复原方法。本设计主要对维
2、纳滤波的基本原理进行研究，并结合MATLAB中的函数，设计相应的维纳滤波器，对运动模糊图像和它的加噪图像进行复原。之后，对逆滤波和维纳滤波进行图像复原仿真实验，并对比它们的复原效果。关键词：维纳滤波；图像恢复；退化模型AbstractMotion blur in imaging process may appear fuzzy, distorted or mixed with noise, resulting in the decrease of image quality. The drop in quality will cause that the image of the target
3、 can not be extracted and are difficult to identify , so it must be restored. Wiener filtering is a common method for image restoration. Study on the design of the main principle of the Wiener filter, and combined with the function of MATLAB, design the corresponding Wiener filter, to the restoratio
4、n of motion blurred image and noise image it. Then, on the inverse filter and Wiener filter for image restoration simulation experiment, and compared their restoration effect.Key words: Wiener filter; image restoration; degraded image目录第1章 绪论11.1 图像复原的背景及意义11.2 图像复原方法21.3 维纳滤波简介2第2章 图像基本退化模型及恢复42.1图
5、像噪声42.2图象退化模型52.2.1退化模型52.2.2连续函数退化模型72.2.3离散函数退化模型92.2.4匀速直线运动图像的退化模型122.3图像的恢复方法142.3.1逆滤波复原法142.3.2约束最小平方复原法152.3.3维纳滤波复原法16第3章 维纳滤波实现退化图像的复原183.1 维纳滤波的基本原理183.1.1维纳滤波概述183.1.2运动模糊参数的确定193.1.3维纳-霍夫（Wiener-Hopf）方程233.2 维纳滤波仿真实现243.2.1 K参数对运动模糊图像复原的影响243.2.2 图像的恢复效果对比26总结33参考文献33附录一：外文文献翻译35附录二：源程序
6、清单54致谢62第1章 绪论在实际的日常生活中，人们要接触很多匀速运动图像，画面，而在景物成像这个过程里可能会出现模糊、失真或混入噪声，最终导致图像质量下降，这种现象称为图像“退化”。因此我们可以采取一些技术手段来尽量减少甚至消除图像质量的下降，还原图像的本来面目。这就是图像复原。引起图像模糊有很多种的原因，举例来说有运动引起的，高斯噪声引起的，斑点噪声引起的，椒盐噪声引起的等等。图像复原的算法：数字图像复原问题实际上是在一定的准则下，采用数学最优化方法从退化的图像去推测原图像的估计问题。不同的准则及不同的数学最优化方法就形成了各种各样的算法。常见的复原方法有，逆滤波复原算法，维纳滤波复原算法
7、，盲卷积滤波复原算法，约束最小二乘滤波复原算法等等。图像复原是图像处理中的重要技术，图像复原可以在某种意义上对图像进行改进，即可以改善图像的视觉效果，又能够便于后续处理。其中维纳滤波是最典型的一种，20世纪40年代，维纳奠定了最佳滤波器研究的基础。即假定输入时有用信号和噪声信号的合成，并且它们都是广义平稳过程和他们的二阶统计特性都已知。维纳根据最小均方准则（即滤波器的输出信号与需要信号的均方值最小），求得了最佳线性滤波器的参数，这种滤波器被称为维纳滤波器。MATLAB是一款主要用于数值计算和图像处理的工具软件。由于它采用了矩阵的形式存贮数据，因此在图像处理领域能够发挥速度快，效率高的优点。它包
8、含了许多功能强大的工具箱，借助于这些工具箱，用户可以非常方便地进行图像分析和处理工作。此外，和其它软件比较，由于MATLAB对于图像处理的针对性，它还具有代码简洁的优势。正是基于上述情况，本文采用了MATLAB来实现文中提到的算法，并且取得了不错的效果。1.1 图像复原的背景及意义图像复原就是研究如何从所得的变质图像中复原出真实图像，或说是研究如何从获得的信息中反演出有关真实目标的信息。造成图像变质或者说使图像模糊的原因很多，如果是因为在摄像时相机和被摄景物之间有相对运动而造成的图像模糊则称为运动模糊。所得到图像中的景物往往会模糊不清，我们称之为运动模糊图像。运动模糊图像在日常生活中普遍存在，
9、给人们的实际生活带来了很多不便。近年来，在数字图像处理领域，关于运动模糊图像的复原处理成为了国内外研究的热点问题之一，也出现了一些行之有效的算法和方法。这些算法和方法在不同的情况下，具有不同的复原效果。因为这些算法都是其作者在假定的前提条件下提出的，而实际上的模糊图像，并不是一定能够满足这些算法前提，或者只满足其部分前提。作为一具实用的图像复原系统，就得提供多种复原算法，使用户可以根据情况来选择最适当的算法以得到最好的复原效果。图像复原关键是要知道图像退化的过程，即要知道图像退化后的图像进行复原处理非常具有现实意义。图像复原的目的就是根据图像退化的先验知识，找到一种相应的反过程的方法来处理图像
10、，从而尽量得到原来图像的质量，以满足人类视觉系统的要求，以便观赏、识别或者其它应用的需要。1.2 图像复原方法图像复原技术在实际生活中有着很广泛的应用。图像复原算法有线性和非线性两类。常用的几种图像复原方法，如维纳滤波法、正则滤波法、LR算法、盲去卷积等，它们都有自己的特点，也都能满足一定条件下对退化图像的处理。1）维纳滤波法1维纳滤波法是由Wiener首先提出的，应用于一维信号处理，取得了很好的效果。之后，维纳滤波法被用于二维信号处理，也取得了不错的效果，尤其在图像复原领域由于维纳滤波计算量小，复原效果好，从而得到了广泛的应用和发展。2）正则滤波法另一个容易实现线性复原的方法称为约束的最小二
11、乘方滤波，在IPT中称为正则滤波，并且通过函数deconvreg来实现。3）Lucy-Richardson算法 LR算法是一种迭代非线性复原算法，它是从最大似然公式印出来的，图像用泊松分布加以模型化的。4）盲去卷积 在图像复原过程中，最困难的问题之一是，如何获得PSF的恰当估计。那些不以PSF为基础的图像复原方法统称为盲去卷积。它以MLE为基础的，即一种用被随机噪声所干扰的量进行估计的最优化策略。1.3 维纳滤波简介维纳滤波器（Wiener filter）是由数学家维纳（Rorbert Wiener）提出的一种以最小平方为最优准则的线性滤波器。在一定的约束条件下，其输出与一给定函数（通常称为期
12、望输出）的差的平方达到最小，通过数学运算最终可变为一个托布利兹方程的求解问题。维纳滤波器又被称为最小二乘滤波器或最小平方滤波器，目前是基本的滤波方法之一。维纳滤波是利用平稳随机过程的相关特性和频谱特性对混有噪声的信号进行滤波的方法。 维纳滤波，从连续的（或离散的）输入数据中滤除噪声和干扰以提取有用的信息的过程称为滤波，滤波器研究的一个基本课题就是：如何设计和制造最佳的或最优的滤波器。所谓最佳滤波器是指能够根据某一最佳准则进行滤波的滤波器。20世纪40年代，维纳奠定了关于最佳滤波器研究的基础，即假定线性滤波器的输入为有用信号和噪声之和，两者均为广义平稳过程且知它们的二阶统计特性，维纳根据最小均方
13、误差准则（滤波器的输出信号与需要信号之差的均方值最小），求的了最佳线性滤波器的参数，这种滤波器称为维纳滤波器。在维纳研究的基础上，人们还根据最大输出信噪比准则、统计检测准则以及其他最佳准则求得的最佳线性滤波器。实际上，在一定条件下，这些最佳滤波器与维纳滤波器是等价的。设维纳滤波器的输入为含噪声的随机信号。期望输出与实际输出之间的差值为误差，对该误差求均方，即为均方误差。因此均方误差越小，噪声滤除效果就越好。为使均方误差响应。如果能够满足维纳霍夫方程，就可使维纳滤波器达到最佳。根据维纳霍夫方程，最佳维纳滤波器的冲激响应，完全由输入自相关函数以及输入与期望输出的互相关函数所决定。 基本维纳滤波就是
14、用来解决从噪声中提取信号问题的一种过滤方法。它基于平稳随机过程模型，且假设退化模型为线性空间不变系统的。实际上这种线性滤波问题，可看成是一种估计问题或一种线性估计问题。基本的维纳滤波是根据全部过去和当前的观察数据来估计信号的当前值，它的解是以均方误差最小条件下所得到的系统的传递函数或单位样本响应的形式给出的，因此更常称这种系统为最佳线性滤波器。设计维纳滤波器的过程就是在寻求在最小均方误差下滤波器的单位样本响应或传递函数的表达式，其实质是在解维纳霍夫方程。第2章 图像基本退化模型及恢复2.1 图像噪声噪声可以理解为“妨碍人们感觉器官对所接收的信源信息理解的因素”。而图像中各种妨碍人们对其信息接受
15、的因素即可称为图像噪声 ，噪声在理论上可以定义为不可预测，只能用概率统计方法来认识的随机误差，因此将图像噪声看成是多维随机过程是合适的，因而描述噪声的方法完全可以借用随机过程的描述，即用其概率分布函数和概率密度分布函数15。设图像信号对黑白图像可看作是二维亮度分布了，则噪声可看作是对亮度的干扰，可用来表示。噪声是随机的，在许多情况下这些很难测出或描述，甚至不可能得到，因而需用随机过程来描述，即要求知道其分布函数和密度函数，所以常用统计特征来描述噪声，如均值、方差、相关函数等。描述噪声的总功率：方差，描述噪声的交流功率：均值的平均，表示噪声的直流功率：图像噪声可分为外部噪声和内部噪声。(l)外部
16、噪声:从处理系统以外来的影响，如天线的干扰或电磁波从电源线窜入系统的噪声。(2)内部噪声:有四种基本形式.由光和电的基本性质引起：如电流可看作电子或空穴运动，这些粒子运动产生随机散粒噪声；导体中电子流动的热噪声；光量子运动的光量子噪声等。机械运动产生韵噪声：接头振动使电流不稳，磁头或磁带、磁盘抖动等。元器件噪声：如光学底片的颗粒噪声，磁带、磁盘缺陷噪声，光盘的疵点噪声等。系统的内部电路噪声：如CRT的偏转电路二次发射电子等噪声。从噪声的分类来看是多种多样的，但从统计的观点来看，凡是统计特征不随时间变化的称作平稳噪声，统计特征随时间变化的称作非平稳噪声。从噪声的幅运动模糊图像的恢复与处理度分布的
17、统计特征来看，其密度函数有高斯型、瑞利型，分别称为高斯噪声和瑞利噪声。高斯噪声的概率密度函数为（2-1） （2-1）式（2-1）中：表示灰度级，表示z的平均值或期望值，表示的标准差。标准差的平方称为的方差。当服从上式的分布时，其值有70%落范围内，且有95%落在范围内。瑞利噪声的概率密度函数为(2-2): （2-2）其中均值和方差分别为按噪声对信号的影响可分为加性噪声模型和乘性噪声模型两大类。设为信号，外为噪声，影响信号后的输出为。(l)加法性噪声 （2-3）形成波形是噪声和信号的叠加，其特点是对和信号无关，如一般的电子线性放大器，不论输入信号大小，其输出总是与噪声相叠加。(2)乘法性噪声 （
18、2-4）其输出是两部分的叠加，第二个噪声项信号受的影响。越大，则第二项越大，即噪声项受信号的调制。如光电子噪声、底片颗粒噪声都随信号增大而增大。乘法性噪声模型和分析计算都比较复杂，通常信号变化很小时，第二项近似不变，此时可以用加法性噪声模型来处理。通常总是假定信号和噪声是相互独立的。2.2图象退化模型2.2.1退化模型要进行图像恢复，必须弄清楚退化现象有关的某些知识，用相反的过程去掉它，这就要了解、分析图像退化的机理，建立起退化图像的数学模型15。一些退化因素只影响一幅图像中某些个别点的灰度，而另外一些退化因素则可以使一幅图像中的一个空间区域变得模糊起来。前者称为点退化，后者称为空间退化。在一
19、个图像系统中存在着许多退化源，其机理比较复杂，因此要提供一个完善的数学模型是比较复杂和困难的。但是在通常遇到的很多实例中，我们将退化原因作为线性系统退化的一个因素来对待，从而建立系统退化模型来近似描述图像函数的退化。如图2.1所示，这是一种简单的通用图像退化模型，输入图像经过一个退化系统或退化算子后产生的退化图像，我们可以表示为（2-5）的形式。 （2-5）式中H为退化系统h（x，y）图2.1 图像退化模型如果暂不考虑加性噪声。的影响，即令。，则有（2-6） （2-6）设，为常数，则退化系统H具有如下性质:(l)齐次性 （2-7）即系统对常数与任意图像乘积的响应等于常数与该图像的响应的乘积。(
20、2)叠加性 （2-8） 即系统对两幅图像之和的响应等于它对两个输入图像的响应之和。(3)线性同时具有齐次性与叠加性的系统就称为线性系统。线性系统有式（2-9）： （2-9）不满足齐次性或叠加性的系统就是非线性系统。显然，线性系统为求解多个激励情况下的响应带来很大方便。(4)位置(空间)不变性，有式（2-10）： （2-10）式中的和b占分别是空间位置的位移量。这就说明了图像上任何一点通过该系统的响应只取决于在该点的灰度值，而与该点的坐标位置无关.由上述基本定义可知，如果系统具有式(2-10)的关系，那么系统就是线性空间不变的系统。在图像恢复处理中，尽管非线性和空间变化的系统模型具有普遍性和准确
21、性。但是，它却给处理工作带来巨大的困难，通常没有解或者很难用计算机来处理15。因此在图像恢复处理中，往往用线性和空间不变性的系统模型加以近似。这种近似的优点是可直接利用线性系统中的许多理论与方法来解决图像恢复问题。所以图像恢复处理中主要采用线性的、空间不变的恢复技术。2.2.2连续函数退化模型空间坐标位置和景物明暗程度均为连续变化的图像，称为连续图像。在图像线性运算的分析中，常常用到点源的概念。事实上，一幅图像可以看成由无穷多极小的像素所组成，每一个像素都可以作为一个点源。在数学上，点源可以用狄拉克石函数来表示，二维占函数可定义为式（2-11）： (2-11)如果二维单位冲激信号沿轴和轴分别有
22、位移和，则如式（2-12）： (2-12)具有取样特性。由式(2-11)和(2-12)很容易得（2-13） （2-13）此外，任意二维信号与卷积的结果就是该二维信号本身，即（2-14）： （2-14）而任意二维信号与卷积的结果就是该二维信号产生相应位移后的结果（2-15） (2-15)由二维卷积定义，有（2-16） (2-16)考虑退化模型中韵是线性空间不变系统，因此，根据线性系统理论，系统的性能就可以由其单位冲撤响应来表征，即（2-17） (2-17)而线性空间不变系统对任意输入信号的响应则为该信号与系统的单位冲激响应的卷积为（2-18） F(x,y) (2-18)在不考虑加性噪声的情况下，
23、上述退化模型的响应为（2-19） (2-19)由于系统H是空间不变的，则它对移位信号的响应为（2-20） (2-20)在有加性噪声的情况下，上述线性退化模型可以表示为（2-21）： (2-21)简记为（2-22）： (2-22)在上述情况中，都假设噪声与图像中的位置无关。式(2-19)和式(2-22)都是连续图像的退化模型。由此可见，如果把降质过程看成为一个线性空间不变系统，那么，在不考虑噪声影响时，系统输出的退化图像应为输入原始图像和引起系统退化图像的点扩散函数的卷积。因此，系统输出(或影像)被其输入(景物)和点扩散函数唯一确定。显然，系统的点扩散函数是描述图像系统特性的重要函数。2.2.3
24、离散函数退化模型为了用数字计算机对图像进行处理，首先必须把连续图像函数进行空间的和幅值的离散化处理.空间连续坐标的离散化，称为圈像的采祥，幅值的离散化称为灰度级的整量。将这两种离散化和在一起，称为图像的数字化。如图2-2所示，连续的模拟图像经过离散化处理后变成计算机能够辨识的点阵图像，称为数字图像。严格的数字图像是一个经过等距离矩形网格采样，对幅度进行等间隔量化的二维函数。将一幅图像进行数字化的过程就是在计算机内生成一个二维矩阵的过程15。h(.)采样c(.)图2.2 离散退化模型 数字图像可以由以下三种途径得到：(1)将传统的可见光图像经过数字化处理转换为数字图像，例如将一幅照片通过扫描仪输
25、入到计算机中，扫描的过程实质上就是一个数字化的过程。(2)应用各种光电转换设备直接得到数字图像，例如卫星上搭载的推帚式扫描仪和光机扫描仪可以直接获取地表甚至地下物体的图像并实时存入存储器中。(3)直接由二维离散数学函数生成数字图像.无论哪种方式，最终得到的数字图像都是一个二维矩阵。对于一幅连续图像，若，方向的相等采样间隔分别为，并均取点，则数字图像。可用如下矩阵表示（2-23） (2-23)图像像素矩阵的产生，为图像处理提供了一种新的途径，对于许多图像的处理，都可以转化为对矩阵的分析，从而使问题变得准确、简便、易行。数字图像处理实质就是对二维矩阵的处理，是将一幅图像变为另一幅经过修改的图像，是
26、将一个二维矩阵变为另一个二维矩阵的过程。首先讨论一维的情况，然后再推广至二维情况。假设对两个函数和进行均匀采样，其结果放到尺寸为和的两个数组中，的取值范围是0,1,2,.,；对，的取值范围是0,1,2,.,。我们可以利用离散卷积来计算。为了避免卷积的各个周期重叠，并将函数用零扩展补齐。用和来表示扩展后的函数，则有(2-24)和（2-25）： (2-24) (2-25)则它们的卷积为(2-26) (2-26)因为和的周期为，的周期也为。引入矩阵表示法，则式（2-26）可写为(2-27) (2-27)其中 (2-28) (2-29) (2-30)根据的周期性可知，所以上式又可以写成（2-31） (
27、2-31)是个循环矩阵，即每行最后一项等于下一行的最前一项，最后一行最后一项等于第一行最前一项。将一维结果推广到二维，可首先做成大小的周期延拓图像，即 (2-32) (2-33)这样延拓后，和分别为二维周期函数。它们在和方向上的周期分别为和。于是得到二维退化模型为一个二维卷积形式(2-34) (2-34)如果考虑噪声将噪声项加上，上式可写成为（2-35） (2-35)同样，可以用矩阵来表示（2-36） + (2-36)其中每个是由扩展函数气的第行而来，即（2-37） (2-37)(2-37)是一个循环矩阵。因为中的每块是循环标注的，所以是块循环矩阵。2.2.4 匀速直线运动图像的退化模型在所有
28、的运动模糊中，由匀速直线运动造成图象模糊的复原问题更具有一般性和普遍意义。因为变速的、非直线运动在某些条件下可以被分解为分段匀速直线运动。假设图象有一个平面运动,令x(t)和y(t)分别为在x和y方向上运动的变化分量，T表示运动的时间。记录介质的总曝光量是在快门打开后到关闭这段时间的积分。则模糊后的图象为(2-38)： （2-38）式（2-38）中g(x,y)为模糊后的图象。以上就是由于目标与摄像机相对运动造成的图象模糊的连续函数模型。如果模糊图象是由景物在x方向上作匀速直线运动造成的，则模糊后图象任意点的值为(2-39)： （2-39）式（2-39）中是景物在x方向上的运动分量，若图象总的位
29、移量为a，总的时间为T，则运动的速率为=at/T。则上式变为(2-40)： （2-40）以上讨论的是连续图象，对于离散图象来说，对上式进行离散化得(2-41)： （2-41）其中L为照片上景物移动的像素个数的整数近似值。是每个像素对模糊产生影响的时间因子2。由此可知，运动模糊图象的像素值是原图象相应像素值与其时间的乘积的累加。从物理现象上看，运动模糊图象实际上就是同一景物图象经过一系列的距离延迟后再叠加，最终形成的图象。如果要由一幅清晰图象模拟出水平匀速运动模糊图象，可按式(2-42)进行： （2-42）这样可以理解此运动模糊与时间无关，而只与运动模糊的距离有关，在这种条件下，使实验得到简化。
30、因为对一幅实际的运动模糊图象，由于摄像机不同，很难知道其曝光时间和景物运动速度。我们也可用卷积的方法模拟出水平方向匀速运动模糊。其过程可表示为(2-43)： (2-43)其中 (2-44)h(x,y)称为模糊算子或点扩散函数，“*”表示卷积，表示原始(清晰)图象，表示观察到的退化图象。如果考虑噪声的影响，运动模糊图象的退化模型可以描述为一个退化函数和一个加性噪声项，处理一幅输入图象产生一幅退化图象。 (2-45)由于空间域的卷积等同于频率域的乘积，所以式(2-45)的频率域描述为(2-46)： (2-46)式(2-46)中的大写字母项是式(2-45)中相应项的傅里叶变换。2.3图像的恢复方法2
31、.3.1逆滤波复原法对于线性移不变系统而言(2-47) (2-47)上式两边进行傅里叶变换得(2-48) (2-48)式中，和分别是,和的二维傅里叶变换。通常在无噪声的理想情况下，上式可简化(2-49) 则= / (2-49)称为逆滤波器。对式（2-49）再进行傅里叶反变换可得到。但实际上碰到的问题都是有噪声，因而只能求的估计值(2-50) (2-50) 然后再作傅里叶逆变换得(2-51) (2-51)这就是逆滤波复原的基本原理。其复原过程可归纳如下：对退化图像作二维离散傅里叶变换，得到;计算系统点扩散函数的二维傅里叶变换，得到。（这一步值得注意的是，通常的尺寸小于的尺寸。为了消除混叠效应引起
32、的误差，需要把的尺寸延拓。计算的傅里叶变换，求得。逆滤波复原法的缺陷，：无确定，：放大噪声。若噪声为零，则采用逆滤波恢复法能完全再现原图像。若噪声存在，而且很小或为零时，则噪声被放大。这意味着退化图像中小噪声的干扰在较小时，会对逆滤波恢复的图像产生很大的影响，有可能使恢复的图像和相差很大，甚至面目全非。逆滤波复原法解决方法：解决该病态问题的唯一方法就是避开的零点即小数值的.两种途径：一是：在及其附近，认为地仔细设置的值。二是：使具有低通滤波性质。 (2-52)2.3.2约束最小平方复原法约束最小平方复原是一种以平滑度为基础的图像复原方法。如前所述，在进行图像恢复计算时，由于退化算子矩阵的病态性
33、质，多数在零点附近数值起伏过大，使得复原后的图像产生了多余的噪声和边缘。约束最小平方复原仍然是以最小二乘方滤波复原公式为基础， 通过选择合理的，并优化，从而去掉被恢复图像的这种尖锐部分，即增加图像的平滑性。 我们知道，图像增强的拉普拉斯算子,它具有突出边缘的作用，则恢复了图像的平滑性，因此，在作图像恢复时可将其作为约束。现在的问题是如何将其表示成的形式，以便使用式(2-53)。在离散情况下，拉普拉斯算子可用式（2-53）的差分运算实现： （2-53）利用与式（2-54）的模板算子进行卷积可实现式（2-53）的运算： (2-54)在离散卷积的过程中，可利用延伸和来避免交叠误差。延伸后的函数为。建
34、立分块循环矩阵，将平滑准则表示为矩阵形式（2-55）： (2-55)式(2-55)中每个子矩阵 是的第行组成的循环矩阵。即如式（2-56）表示： (2-56)根据循环矩阵的对角化可知，可利用前述的矩阵进行对角化，即 （2-57） (2-57)式中，为对角矩阵，其元素为（2-58） (2-58)则，两边同乘以，得 （2-59） (2-59)式中，为的共轭矩阵。所以有（2-60）： (2-60)式中，而且。本滤波器也称为最小平方滤波器。2.3.3维纳滤波复原法维纳滤波法是由Wiener首先提出的，应用于一维信号处理，取得了很好的效果。之后，维纳滤波法被用于二维信号处理，也取得了不错的效果，尤其在图
35、像复原领域，由于维纳滤波计算量小，复原效果好，从而得到了广泛的应用和发展8。维纳滤波器寻找一个使统计误差函数达到最小的准则函数来实现图像复原的。 (2-61)式（2-61）中，E表示数学期望。设和分别是f和n的自相关矩阵，定义如（2-62）：= (2-62)= (2-63)根据上述定义可知，和均为实对称矩阵。在大多数实际图像中，相近像素点是高度相关的，而距离教远的像素点的相关性则相对较弱。通常情况下，无论是f还是n，其元素之间的相关不会延伸到20-30个像素的距离之外，因此。一般来说，自相关矩阵和在主对角线附近有一个非零元素区域，而矩阵的右上角和左上角的区域内将接近零值。如果像素之间的相关是像
36、素距离的函数，而不是像素位置的函数，则可将和近似分为线循环矩阵。因而，用循环矩阵的对角化，可写成如（2-64）形式： (2-64) (2-65)W为MNMN矩阵，包含MM个NN子矩阵。以W(i，m)表示W的i和m列分块矩阵，则（2-66） (2-66)其中， i，m=0，1,2，M1， 是NN矩阵，以W（k，n）表示k行n列元素，则有 k，n=0,1,2，M1 (2-67)矩阵A，B的元素分别为矩阵和中的自相关元素的傅里叶变换，这些自相关的傅里叶变换分别定义为和的谱密度和。则（2-68） (2-68)第3章 维纳滤波实现退化图像的复原3.1 维纳滤波的基本原理3.1.1维纳滤波概述维纳(Wie
37、ner)滤波是用来解决从噪声中提取信号问题的一种滤波的方法。实际上这种线性滤波问题，可以看成是一种估计问题或一种线性估计问题。一个线性系统，如果它的单位样本响应为，当输入一个随机信号，且（3-1） (3-1) 其中表示信号，表示噪声，则输出为（3-2） (3-2) 我们希望通过线性系统后得到的尽量接近于,因此称为的估计值，用表示，即（3-3） (3-3)h（n）=+图3.1 维纳滤波器的输入一输出关系如图3.1所示。这个线性系统称为对于的一种估计器。实际上，式(3-3)的卷积形式可以理解为从当前和过去的观察值来估计信号的当前值。因此，用进行过滤的问题可以看成是一个估计问题。由于我们现在涉及的信
38、号是随机信号，所以这样一种过滤问题实际上是一种统计估计问题。一般，从当前的和过去的观察值估计当前的信号值称为过滤或滤波;从过去的观察值，估计当前的或将来的信号值 称为预测或外推;从过去的观察值，估计过去的信号值称为平滑或内插。因此维纳过滤又常常被称为最佳线性过滤与预测或线性最优估计。这里所谓最佳与最优是以最小均方误差为准则的。这里只讨论过滤与预测问题。如果我们以:与分别表示信号的真值与估计值，而用表示它们之间的误差，即（3-4） (3-4)显然，可能是正的，也可能是负的，并且它是一个随机变量。因此，用它的均方值来表达误差是合理的，所谓均方误差最小即它的平方的统计平均值最小如（3-5）: (3-5)采用最小均方误差准则作为最佳过滤准则的原因还在于它的理论分析比较简单，不要求对概率的描述。并且在这种准则下导出的最佳线性系统对其它很广泛一类准则而言也是最佳的。3.1.2 运动模糊参数的确定1. 算法理论分析假设快门的开启和关闭所用时间非常短，那么光学成像过程不会受到运动的干扰，图像也不会出现运动模糊退化现象。如果设T为曝光时间，则运动模糊退化模型为（3-6） （3-6）式（3-6）中：g（x，y）表示模糊退化图像，f（x，y）表示原始图像。n（x，y）表示噪声。首先考