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1、-应用随机过程 期末复习资料-第 29 页第一章 随机过程的基本概念一、随机过程的定义例1：医院登记新生儿性别，0表示男，1表示女，Xn表示第n次登记的数字，得到一个序列X1 ， X2 ， ，记为Xn，n=1,2, ，则Xn 是随机变量，而Xn，n=1,2, 是随机过程。例2：在地震预报中，若每半年统计一次发生在某区域的地震的最大震级。令Xn 表示第n次统计所得的值，则Xn 是随机变量。为了预测该区域未来地震的强度，我们就要研究随机过程Xn，n=1,2, 的统计规律性。例3：一个醉汉在路上行走，以概率p前进一步，以概率1-p后退一步（假设步长相同）。以X(t)记他t时刻在路上的位置，则X(t)
2、, t0就是（直线上的）随机游动。例4：乘客到火车站买票，当所有售票窗口都在忙碌时，来到的乘客就要排队等候。乘客的到来和每个乘客所需的服务时间都是随机的，所以如果用X(t)表示t时刻的队长，用Y(t)表示t时刻到来的顾客所需等待的时间，则X(t), tT和Y(t), tT都是随机过程。定义：设给定参数集合T，若对每个tT, X(t)是概率空间上的随机变量，则称X(t), tT为随机过程，其中T为指标集或参数集。，E称为状态空间，即X(t)的所有可能状态构成的集合。例1：E为0,1例2：E为0, 10例3：E为例4：E都为注：（1）根据状态空间E的不同，过程可分为连续状态和离散状态，例1，例3为
3、离散状态，其他为连续状态。（2）参数集T通常代表时间，当T取R, R+, a,b时，称X(t), tT为连续参数的随机过程；当T取Z, Z+时，称X(t), tT为离散参数的随机过程。（3）例1为离散状态离散参数的随机过程，例2为连续状态离散参数的随机过程，例3为离散状态连续参数的随机过程，例4为连续状态连续参数的随机过程。二、有限维分布与Kolmogorov定理随机过程的一维分布：随机过程的二维分布：随机过程的n维分布：1、有限维分布族：随机过程的所有一维分布，二维分布，n维分布等的全体称为X(t), tT的有限维分布族。2、有限维分布族的性质：（1）对称性：对（1,2，n）的任一排列，有（
4、2）相容性：对于mn，有3、Kolmogorov定理定理：设分布函数族满足上述的对称性和相容性，则必存在一个随机过程X(t), tT，使恰好是X(t), tT的有限维分布族。定义：设X(t), tT是一随机过程：（1） 称X(t)的期望（如果存在）为过程的均值函数。（2） 如果，存在，则称随机过程X(t), tT为二阶矩过程。此时，称函数，为过程的协方差函数；称为过程的方差函数；称为自相关函数。例：，其中和V是相互独立的且均服从N(0,1)分布的随机变量，求和。三、随机过程的基本类型独立增量过程：如果对任意随机变量 是相互独立的，则称X(t), tT是独立增量过程。平稳增量过程：如果对任意，有
5、X(t1+h)-X(t1) X(t2+h)-X(t2)，则称X(t), tT是平稳增量过程。平稳独立增量过程：兼有独立增量和平稳增量的过程称为平稳独立增量过程，例如Poisson过程和Brownian motionPoisson 过程2.1 Poisson 过程1. 计数过程定义：随机过程称为计数过程，如果表示从0到t时刻某一特定事件A发生的次数，它具备以下两个特点：（1）且取值为整数；（2）时，且表示时间内事件A发生的次数。2. Poisson过程定义2.1.1：计数过程称为参数为（）的Poisson过程，如果（1）（2）过程具有独立增量性；（3）在任一长度为t的时间区间中事件发生的次数服从
6、均值为的Poisson分布，即对一切，有 注：Poisson过程具有平稳增量性因为的分布只依赖于t, 与区间起点s无关， 于是可认为是单位时间内发生的事件的平均次数，一般称是Poisson过程的强度。例2.1.1：（Poisson过程在排队论中的应用）研究随机服务系统中的排队现象时，经常用到Poisson过程模型。例如：到达电话总机的呼叫数目，到达某服务设施（商场、车站、购票处等）的顾客数，都可以用Poisson过程来描述。以某火车站售票处为例，设从早上8:00开始，此售票处连续售票，乘客以10人/小时的平均速率到达，则9:00-10:00这一小时内最多有5名乘客来此购票的概率是多少？10:0
7、0-11:00没有人来买票的概率是多少？解：我们用一个Poisson过程来描述，设8:00为时刻0，则9:00为时刻1，参数，于是, 例2.1.2：（事故发生次数及保险公司接到的索赔数）若以表示某公路交叉口、矿山、工厂等场所在时间内发生不幸事故的数目，则Poisson过程就是的一种很好近似。例如，保险公司接到赔偿请求的次数（设一次事故导致一次索赔），向315台的投诉（设商品出现质量问题为事故）等都是可以用Poisson过程的模型。我们考虑一种最简单的情形，设保险公司每次的赔付都是1，每月平均接到索赔要求4次，则一年中它要付出的金额平均为多少？解：设一年开始时刻为0，1月末为时刻1，年末为时刻1
8、2，则有=48问题：为什么实际中有这么多现象可以用Poisson过程来反映呢？定理2.1.1：定义1和定义2是等价的。例2.1.3：事件A的发生形成强度为的Poisson过程，如果每次事件发生时以概率p能够被记录下来，并以M(t)表示到时刻t被记录下来的事件总数，则是一个强度为的Poisson过程。例2.1.4：若每条蚕的产卵数服从Poisson分布，强度为，而每个卵变为成虫的概率为p，且每个卵是否变为成虫彼此间没有关系，求在时间0, t内每条蚕养活k只小蚕的概率。2.2 与Poisson过程相联系的若干分布设表示第n次事件发生的时刻，n=1,2，规定。表示第n次与第n-1次事件发生的间隔时间
9、，n=1,2，。1. 关于和的分布定理2.2.1：（n=1,2,）服从参数为的指数分布，且相互独立。定理2.2.2：（n=1,2,）服从参数为n和的分布。注：如果每次事件发生的时间间隔相互独立，且服从同一参数为的指数分布，则计数过程是参数为的Poisson过程。例2.2.1：设从早上8:00开始有无穷多的人排队等候服务，只有一名服务员，且每个人接受服务的时间是独立的并服从均值为20min的指数分布，则到中午12:00为止平均有多少人已经离去，已有9个人接受服务的概率是多少？例2.2.2：假设某天文台观测到的流星流是一个Poisson过程，根据以往资料统计为每小时平均观察到3颗流星。试求：上午8
10、:00-12:00期间，该天文台没有观察到流星的概率。2. 事件发生时刻的条件分布对于，有现在考虑的情况：定理2.2.1：在已知的条件下，事件发生的n个时刻的联合分布密度是， 例2.2.3：乘客按照强度为的Poisson过程来到某火车站，火车在时刻t启程，计算在内到达的乘客等待时间的总和的期望值。即要求，其中是第i个乘客来到的时刻。2.3 Poisson过程的推广1. 非齐次Poisson过程定义2.3.1：计数过程称作强度函数为的非齐次Poisson过程，如果等价定义：定义2.3.2：计数过程称作强度函数为的非齐次Poisson过程， 若（1）（2）具有独立增量性；（3）即任意实数，为具有参
11、数的Poisson分布，称为非齐次Poisson过程的均值函数（或累积强度函数）。定理2.3.1：设是一个强度函数为的非齐次Poisson过程。对任意的，令 则是一个强度为1的Poisson过程。例2.3.1：设某设备的使用期限为10年，在前5年内它平均2.5年需要维修一次，后5年平均2年需维修一次。试求它在试用期内只维修过一次的概率。2 复合Poisson过程定义2.3.3：称随机过程为复合Poisson过程，如果对于，它可以表示为：，其中是一个Poisson过程，是一族独立 同分布的随机变量，并且与独立。注：复合Poisson过程不一定是计数过程。例2.3.2：保险公司接到的索赔次数服从一
12、个Poisson过程，每次要求赔付的金额都相互独立，且有相同分布F，每次的索赔数额与它发生的时刻无关，则时间内保险公司需要赔付的总金额就是一个复合Poisson过程，其中。例2.3.3：设顾客到达某服务系统的时刻，形成一强度为的Poisson过程，在每个时刻，可以同时有多名顾客到达。表示在时刻到达的顾客人数，假定相互独立，并且与也独立，则在时间内到达服务系统的顾客总人数可用一复合Poisson过程来描述。例2.3.4：假定顾客按照参数为的Poisson过程进人一个商店，又假设各顾客所花的钱数形成一族独立同分布的随机变量。以记到时间t为止顾客在此商店所花费的总值，易见是一个复合Poisson过程
13、。定理2.3.2：设，是一复合Poisson过程，Poisson过程的强度为，则（1）有独立增量；（2）若，则 ，例2.3.5：在保险中的索赔模型中，设索赔要求以Poisson过程到达保险公司，速率为平均每月两次。每次索赔服从均值为10000元的正态分布，则一年中保险公司平均的赔付额是多少？例2.3.6：设顾客以每分钟6人的平均速率进入某商场，这一过程可用用Poisson过程来描述。又该进入该商场的每位顾客买东西的概率为0.9，且每位顾客是否买东西互不影响，也与进入该商场的顾客数无关。求一天（12小时）在该商场买东西的顾客数的均值。3条件Poisson过程定义2.3.4：设随机变量，在的条件下
14、，计数过程是参数为的Poisson过程，则称为条件Poisson过程。定理2.3.3：设是条件Poisson过程，且，则（1）；（2）例2.3.7：设意外事故的发生频率受某种未知因素影响有两种可能，且 ，为已知。已知到时刻t已发生了n次事故。求下一次事故在t+s之前不会到来的概率。另外，这个发生频率为的概率是多少？第三章 Markov 链3.1 基本概念定义3.1.1：随机过程称为Markov链，若它只取有限或可列个值（常用非负整数集来表示），并且对任意的，及任意状态，有=，其中表示过程在时刻n处于状态，称为该过程的状态空间，记为. 上式刻画了Markov链的特性，称为Markov性。定义3.
15、1.2：称条件概率为Markov链的一步转移概率，简称转移概率，记为，它代表处于状态的过程下一步转移到状态的概率。定义3.1.3：当Markov链的转移概率=只与状态有关，而与n无关时，称之为时齐Markov链；否则，就称之为非时齐的。注：我们只讨论时齐Markov链，简称Markov链。定义3.1.4：当Markov链的状态为有限时，称为有限链，否则称为无限连。但无论状态有限还是无限，我们都可以将（）排成一个矩阵的形式，令P=（）=为转移概率矩阵，简称转移矩阵。容易看出（）具有性质：（1），；（2）=1，。例3.1.1：考虑一个包含三个状态的模型，若个体健康，认为他处于状态，若他患病，认为他
16、处于状态，若他死亡，认为他处于状态，易见这是一个Markov链，转移矩阵为P=例3.1.2：（赌徒的破产或称带吸收壁的随机游动）系统的状态时，反映赌博者在赌博期间拥有的钱数，当他输光或拥有钱数为n时，赌博停止，否则他将持续赌博。每次以概率p赢得1，以概率q=1-p输掉1。这个系统的转移矩阵为P=例3.1.3：（带反射壁的随机游动）设上例中当赌博者输光时将获得赞助1继续赌下去，就如同一个在直线上做随机游动的球在到达左侧0点处立刻反弹回一样，这就是一个一侧带有反射壁的随机游动，此时转移矩阵为：P=例3.1.4：（自由随机游动）设一个球在全直线上做无限制的随机游动，它的状态为0，它是一个Markov
17、链，转移矩阵为：P=练习：设有一只蚂蚁在图上爬行，当两个节点相邻时，蚂蚁将爬向它邻近的一点，并且爬向任何一个邻近节点的概率是相同的，求转移矩阵。2 n步转移概率， C-K方程定义3.1.5：称条件概率，为Markov链的n步转移概率，相应地称为n步转移矩阵。规定：问题：和是什么关系？定理3.1.1：Chapman-Kolmogorov方程，简称C-K方程对一切有（1）（2）证明：例3.1.5：（赌徒的破产或称带吸收壁的随机游动）系统的状态时，反映赌博者在赌博期间拥有的钱数，当他输光或拥有钱数为n时，赌博停止，否则他将持续赌博。每次以概率p赢得1，以概率q=1-p输掉1。设，赌博者从2元赌金开始
18、赌博，求他经过4次赌博之后输光的概率。例3.1.6：甲乙两人进行某种比赛，设每局甲胜的概率是p。乙胜的概率是q，和局的概率是r，。设每局比赛后，胜者记“+1”分，负者记“-1”分，和局不计分，且当两人中有一人获得2分时比赛结束。以表示比赛至第n局时甲获得的分数，则为时齐Markov链，求甲获得1分的情况下，不超过两局可结束比赛的概率。例3.1.7：质点在数轴上的点集上做随机游动，质点到达点-2后，以概率1停留在原处；到达点2后，以概率1向左移动一点；到达其他点后，分别以概率向左、右移动一点，以概率停留在原处。试求在已知该质点处于状态0的条件下，经3步转移后仍处于状态0的概率。例3.1.8：（广
19、告效益的推算）某种啤酒A的广告改变了广告方式，经调查发现买A种啤酒及另外三种啤酒B, C，D的顾客每两个月的平均转换率如下（设市场中只有这四种啤酒）：假设目前购买A，B, C，D四种啤酒的顾客的分布为（25%，30%，35%，10%），试求半年后啤酒A的市场份额。3.2 状态的分类及性质定义3.2.1：若存在使得，称状态可达状态，记为。若同时有，则称与互通，记为。定理3.2.1：互通是一种等价关系，即满足：（1） 自反性：；（2） 对称性：，则（3） 传递性：，则证明：定义3.2.2：把任何两个互通状态归为一类，若Markov链只存在一个类，就称它是不可约的；否则称为可约的。例3.2.1：在例
20、3.1.1中考三个状态：健康状态，患病状态，死亡状态，可分为几个类？定义3.2.3：若集合非空，则称它的最大公约数为状态的周期。若，称是周期的。若，称是非周期的。规定，上述集合为空集时，称的周期为无穷大。注：（1）虽然有周期但并不是对所有的n，都大于0。请举出反例：（2）虽然有周期但可能，举出反例：定理3.2.2：若状态同属一类，则。证明：定义3.2.4：对于任何状态，以记从出发经n步后首次到达的概率，则有令，如果，称状态为常返状态；如果，称状态为非常返状态。问题：的含义是什么？定义3.2.4：（1）对于常返状态，定义，可以知道表示的是由出发再返回到所需的平均步数（时间）。（2）对于常返状态，
21、若，则称为正常返状态；若，则称为零常返状态。（3）若为正常返状态，且是非周期的，则称之为遍历状态。若是遍历状态，且，则称为吸收状态，此时显然。例3.2.3：设Markov链的状态空间为，其一步转移概率矩阵为：试将状态进行分类。定理3.2.3：状态为常返的当且仅当；状态为非常返状态时，有。引理3.2.1：对任意状态及，有。引理3.2.2：若且为常返状态，则。定理3.2.4：常返性是一个类性质。例3.2.4：设Markov链的状态空间为，转移概率为，考虑各个状态的性质。3.3 极限定理与平稳分布3.3.1 极限定理例3.3.1 ： 设Markov链的转移矩阵为，0p,q1 试求： 例3.3.2：在
22、例3.2.5中令p=，求 若令p= ，求定理3.3.1：（1）若状态i是周期为d的常返状态，则 ， （2）若状态i是非常返状态时，则 推论3.3.1：设i是常返状态，则i是零常返状态 定理3.3.2：（1）若j是非常返状态或零常返状态，则对 （2）若j为正常返状态且周期为d，则推论3.3.2： 对, 有推论3.3.3：有限状态的Markov链，不可能全为非常返状态，也不可能有零常返状态，从而不可约的有限Markov链是正常返的。推论3.3.4：若Markov链有一个零常返状态，则必有无限个零常返状态。例3.3.3：设Markov链的状态空间为E=1, 2 ，3，4, 5，转移矩阵为试确定常返状
23、态，非常返状态，并对常返状态i确定其平均回转时间。3.3.2 平稳分布与极限分布定义3.3.1：对于Markov链，概率分布称为平稳分布，若问题：为什么称之为平稳分布？定义3.3.2：（1）称Markov链是遍历的，如果所有状态相通且均是周期为1的正常返状态。 （2）对于遍历的Markov链，极限 称为Markov链的极限分布。注：定理3.3.3 对于不可约非周期的Markov链：（1）若它是遍历的，则是平稳分布且是唯一的平稳分布。（2）若状态都是非常返的或全为零常返的，则平稳分布不存在。例3.3.4：设Markov链的转移矩阵为求极限分布。例3.3.5：设有6个车站，车站中间的公路连接情况如
24、下图所示：汽车每天可以从一个车站驶向与之直接相邻的车站，并在夜晚到达车站留宿，次日凌晨重复相同的活动。设每天凌晨汽车开往邻近的任何一个车站都是等可能的，试说明很长时间后，各站每晚留宿的汽车比例趋于稳定。求出这个比例以便正确地设置各站的服务规模。例3.3.6 设甲袋中有k个白球和1个黑球，乙袋中有k+1个白球，每次从两袋中各任取一球，交换后放入对方的袋中。证明经过n次交换后，黑球仍在甲袋中的概率满足例3.3.7 我国某种商品在国外的销售情况共有连续24个季度的数据（其中1表示畅销，2表示滞销）：1，1，2，1， 2，2，1，1，1，2，1，2，1，1，2，2，1，1，2，1，2，1，1，1如果该
25、商品销售情况近似满足时齐次与Markov性：（1） 试确定销售状态的一步转移概率矩阵。（2） 如果现在是畅销，试预测这之后的第四个季度的销售状况。（3） 如果影响销售的所有因素不变，试预测长期的销售状况。 3.4 Markov链的应用群体消失模型（分枝过程）： 考虑一个能产生同类后代的个体组成的群体，每一个体生命结束时以概率产生了j个新的后代，与别的个体产生的后代的个数相互独立。初始个体数以表示，称为第零代的总数；第零代的后代构成第一代，其总数记为，第一代的每个个体以同样的分布产生第二代，一般地，以记第n代的总数。此Markov链称为分枝过程。假设，则有 其中表示第n-1代的第i个成员的后代的
26、个数。考虑以下几个问题：（1） （2） 的意义（3）定理3.4.1： 3.5连续时间Markov链3.5.1 连续时间Markov链定义3.5.1：过程的状态空间E为离散空间，若对一切及有成立，则称是一个连续时间Markov链。转移概率 转移概率矩阵 定义3.5.2：称连续时间Markov链是时齐的，若与s无关。简记,相应地记 定理3.5.1：设是连续时间Markov链，假定在时刻0过程刚刚到达。以记过程在离开i之前在i停留的时间，则服从指数分布。说明：构造连续时间Markov链的方法（1）在转移到下一个状态之前处于状态i的时间服从参数为的指数分布。（2）在过程离开状态i时，将以概率到达j，且
27、 定义3.5.3 称一个连续时间Markov链是正则的，若以概率1在任意有限长的时间内转移的次数是有限的。例3.5.1（Poisson过程）参数为的Poisson过程，取值为。由第2章可知，它在任意一个状态i停留的时间服从指数分布，并且在离开i时以概率1转移到i+1，由Poisson过程的独立增量性看出它在i停留的时间与状态的转移是独立的，从而Poisson过程是时齐的连续时间Markov链。例3.5.2（Yule过程）考察生物群体繁殖过程的模型。设群体中各个生物体的繁殖是相互独立的，强度为的Poisson过程，并且群体中没有死亡，此过程称为Yule过程，此过程是一个连续时间Markov链。例
28、3.5.3（生灭过程）仍然考虑一个生物群体的繁殖模型。每个个体生育后代如例3.5.2的假定，但是每个个体将以指数速率死亡，这是一个生灭过程。例3.5.4（M/M/S排队系统）顾客的来到是参数为的Poisson过程。服务人员数为s个，每个顾客接受服务的时间服从参数为的指数分布。遵循先来先服务，若服务员没有空闲时间就排队的原则。以记t时刻系统中的总人数，则是一个生灭过程（来到看作出生，离去看作死亡），来到率是服从参数为的Poisson过程，离去过程的参数会发生变化，以记系统中有n个顾客时的离去率，则 3.5.2 Kolmogorov微分方程 定理3.5.2：时齐连续时间Markov链的转移概率满足
29、：（1）（2）（3 连续时间Markov链的C-K方程。证明 ：定理3.5.3 推论3.5.1：对有限状态时齐的连续时间Markov链，有 注：对于无限状态的情况，一般只能得到 定理3.5.4 kolmogorov微分方程对一切 且，有（1）向后方程（2）在适当的正则条件下，有向前方程例3.5.5：讨论Poisson过程的微分方程及转移概率。例3.5.6：类似Poisson过程，给出Yule过程的转移概率。例3.5.7：讨论生灭过程的微分方程。第三章练习题1、设今日有雨明日也有雨的概率为0.7，今日无雨明日有雨的概率为0.5。求星期一有雨，星期三也有雨的概率。2、设Markov链的状态空间为E
30、=1,2,3,4,5,6，其一步转移概率矩阵为试确定状态的周期，常返性，并给此Markov链分类。3、若，证明：（1） （2）4、 将两个红球、四个白球分别放入甲乙两个盒子中。每次从两个盒子中各取一球交换，以 记第n次交换后甲盒中的红球数。（1）试说明是一个Markov链并求转移矩阵P（2）试证明是遍历的。（3）求它的极限分布。5、对于Yule过程计算群体总数从1增长到N的平均时间。6、考虑有两个状态的连续时间Markov链，状态为0和1，链在离开0到达1之前在状态0停留的时间服从参数为的指数分布，相应地在1停留的时间是参数为的指数变量。对此建立kolmogorov微分方程，并求其解。第四章
31、更新过程4.1 更新过程的定义及若干分布4.1.1 更新过程的定义事件发生的时间间隔是独立同分布的非负随机变量，这样得到的计数过程叫做更新过程，其数学表达式如下： 定义4.1.1：设，n=1,2,是一列独立同分布的非负随机变量，分布函数为F(x)设F(0)=PX=01，记=，则0+。令，n1，T=0。我们把由定义的计数过程称为更新过程。例子：机器零件的更换。在时刻0，安装上一个新零件并开始运行，设此零件在T时刻损坏，马上用一个新的来替换（假设替换不需要时间），则第二个零件在T时刻开始运行，设它在T时刻损坏，同样马上换第三个，很自然可以认为这些零件的使用寿命是独立同分布的，那么到t时刻为止所更换
32、的零件数目就构成一个更新过程。说明：（1）在更新过程中事件发生一次叫做一次更新，X表示第n-1次和第n次更新的间隔时间，T是第n次更新发生的时刻，N(t)就是t时刻之前发生的总的更新次数。 （2）Poisson过程是更新过程。4.1.2 N(t)的分布及EN(t)的一些性质问题一：在有限时间0,t内是否会发生无穷多次更新，即N(t)= ？问题二：求N(t)的分布 PN(t)=n问题三：以M(t)记EN(t)，求M(t)（M(t)叫做更新函数）。注：M(t)是t的不减函数，且对0t，M(t) +例4.1.1：考虑一个时间离散的更新过程N，j=1,2，在每个时刻独立地做Bernoulli试验，设成
33、功的概率为p，失败的概率为q=1-p。以试验成功作为事件（更新），求此过程的更新函数M(k)。4.2 更新方程定义 4.2.1： 若的导数存在，则其导数称为更新密度，记为。 由= 知 m(t)=。其中是的密度函数。定理4.2.1：和分别满足积分方程其中。定义4.2.2: (更新方程)称如下形式的积分方程为更新方程其中为已知，为分布函数，且当0时，均为0。定理4.2.2：设更新方程中为有界函数，则方程存在唯一的在有限区间内有界的解 其中是的更新函数。例4.2.1：（Wald等式）设 (i=1，2)，证明：4.3 更新定理定理4.3.1 Feller初等更新定理记，则。若。定义4.3.1（格点分布
34、）：若存在，使得，则称随机变量服从格点分布。同时称满足上述条件的最大的为此格点分布的周期。定理4.3.2 Blackwell更新定理 记(1) 若不是格点分布，则对一切，当时，有。(2) 若是格点分布，周期为，则当时，有。定理4.3.3 关键更新定理 记，设函数满足：(1)非负不增；(2) 。 是更新方程的解，那么(1) 若不是格点分布，有(2) 若是格点分布，对于，有例4.3.1：某控制器用1节电池供电，设电池寿命（=1,2,）服从均值为45小时的正态分布，电池失效时需要去仓库领取，领取新电池的时间（=1,2,）服从期望为0.5小时的均匀分布。求长时间工作时，控制器更换电池的速率。例4.3.
35、2：设有一个单服务员银行，顾客到达可看作速率为的Poisson分布，服务员为每一位顾客服务的时间是，服从均值为的指数分布。顾客到达门口只能在服务员空闲时才准进来。试求：（1） 顾客进银行的速率.（2） 服务员工作的时间所占营业时间的比例.例4.3.3:考虑离散时间的更新过程（n=0,1,2,），在每个时间点独立地做Bernoulli试验，设试验成功的概率为p，失败的概率为q=1p，以试验成功作为更新事件，并以记此过程的更新函数，求其更新率例4.3.4:某电话交换台的电话呼叫次数服从平均1分钟次的Poisson过程，通话时间，是相互独立且服从同一分布的随机变量序列，满足E 0 ，称为相对安全负荷
36、.假定3：调节系数存在唯一性假定首先，要求个体索赔额的矩母函数至少在包含原点的某个邻域内存在；其次，要求方程 存在正解， 记为R.定理4.4.1 若假定1假定3成立，则有（1）;（2）Lundberg不等式： , （3）LundbergCramer 近似：存在正常数C，使得 , . 即 习 题1、判断下列命题是否正确：（1） t（2） n t（3） n t2、更新过程的来到间隔服从参数为的分布。（1）试求的分布；（2）对更新过程，证明当时，有 a.s. , 其中（3）试证 a.s. 3.设，计算第五章 Brown运动5.1 基本概念与性质定义5.1.1：随机过程如果满足：（1）（2）具有平稳独
37、立增量（3）对每个服从正态分布则称为Brown运动，也称为Wiener过程。常记为或注：如果称之为标准Brown运动。如果是标准Brown运动。性质5.1.1：Brown运动是具有下述性质的随机过程（1）（正态增量）（2）（独立增量）独立于过程的过去状态（3）（路径的连续性）是t的连续函数注：性质5.1.1中没有假定，因此称之为始于的Brown运动。也记为。易见例5.1.1：设是标准Brown运动，计算和定义5.1.2：Brown运动的二次变差定义为当取遍0,t的分割,且时，依概率收敛意义下的极限下面是Brown运动的路径性质。从时刻0到时刻T对Brown运动的一次观察称为Brown运动在区间
38、0,T上的一个路径。Brown运动的几乎所有样本路径都具有下述性质。（1） 是t的连续函数（2） 在任意区间（无论区间多么小）上都不是单调的（3） 在任意点都不是可微的（4） 在任意区间（无论区间多么小）上都是无限变差的（5） 对任意t，在0,t上的二次变差等于t5.2 Gauss过程定义5.2.1：所谓的Gauss过程是指所有有限维分布都是多元正态分布的随机过程。注：本节的主要目的是证明Brown运动是特殊的Gauss过程。引理5.2.1 设是相互独立的，则。其中均值，协方差矩阵定理5.2.1 Brown运动是均值函数为m(t)=0,协方差函数为的Gauss过程。例5.2.1 设是Brown
39、运动，求B(1)+B(2)+B(3)+B(4)的分布例5.2.2 求的分布例5.2.3 求概率5.3 Brown运动的几种变化5.3.1 Brown桥 (Brown Bridge)定义5.3.1 设是Brown运动。令，则称随机过程为Brown桥。 （数理金融中经常用到的过程）注：因为Brown运动是Gauss过程，所以Brown桥也是Gauss过程，其n维分布由均值函数和协方差函数完全确定。且对，有5.3.2 有吸收值的Brown运动设为Brown运动首次击中的时刻，令则是击中后，永远停留在的Brown运动。5.3.3 在原点反射的Brown运动由定义的过程称为在原点反射的Brown运动。它
40、的概率分布为：5.3.4 几何Brown运动由定义的过程称为几何Brown运动例5.3.1 （股票期权的价值）设某人拥有某种股票的交割时刻为T，交割价格为K的欧式看涨期权，即他具有在时刻T以固定的价格K购买一股这种股票的权利。假设这种股票目前的价格为y，并按照几何Brown运动变化，我们计算拥有这个期权的平均价值。5.3.5 有漂移的Brown运动设B(t)是标准Brown运动，我们称为漂移的Brown运动，其中常数称为漂移系数。例5.3.2 （行使股票期权）假设某人有在将来某个时刻以固定价格A购买一股股票的期权，与现在的市价无关。不妨取现在的市价为0，并假定其变化遵循有负漂移系数的Brown运动。问在什么时候行使期权？习题：1、设为标准Brown运动，验证是Brown桥。2、设为标准Brown运动，计算条件概率，问事件与是否独立？3、设、为相互独立的标准Brown运动，试证是Brown运动。