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1、风子编辑,填 数 阵 图,五年级,教育目标,认识和了解一些简单的数阵图结构,教育重点,用代数思想解决数阵图问题,教育难点,填数阵图需要综合运用各种知识点，包括代数思想、以数助形等,掌握填数阵图的两种方法：待定系数法和试验法,学会代数思想的运用，并能够用来解决实际问题,第一课 基础部分,例1、如图，内分别填入1，2，7这七个数，如果6个三角形的顶点处内的数字之和是64，那么，中间内填入的数是什么？,【分析】在填数阵图时，我们要学会代数思想的运用，左图是“形”，“形”可以形象的表示对象与对象之间的关系，“数”可以进行计算并定位。,填数阵图的过程，也就是对每个圆圈进行准确定位。但我们只知道七个圆圈内
2、要填的数是17这七个数，而不知道哪个数对应哪个圈。,当“数”与“形”存在不确定关系时，我们可以用代数思想，用符号来表示某个“形”所代表的数。,设七个圆圈内对应的数分别为a、b、c、d、e、f、g，并随机的填在七个圆圈中。,a,b,c,d,e,f,g,根据6个三角形顶点处的数字之和为64，可以得到一个等式。,(a+b+c)+(a+c+d)+(a+d+e)+(a+e+f)+(a+f+g)+(a+g+b)=64,即：4a+2（a+b+c+d+e+f+g）=4a+2（1+2+3+4+5+6+7)=64 所以，得：a=2,思考？1）边上的六个圆圈内的数是否影响6个三角形的而数字和；2）如果每个三角形的和
3、为12，该如何填？,例2、请在如下图所示的88表格的每个格子中填入1或2或3，使得每行、每列所填数的和各不相同。,【分析】条件为：1）每个格子中填1或2或3，2）每行每列所填数的和都不同。,分析左边表格：规则、每行每列的格子数相同。,我们可以按照规律填写，使每次填写的数，有一格比上次填的数大1,1 1 1 1 1 1 1 1,1 1 1 1 1 1 2,1 1 1 1 1 1 3,1 1 1 1 2 3,1 1 1 1 3 3,1 1 2 3 3,1 1 3 3 3,2 3 3 3,3 3 3 3,3 3 3,3 3 3,3 3 3,3 3 3,想一想，还能怎么填？注意填写规律。,例3、请将1
4、个1、2个2、3个38个8、9个9填入如下图所示的表格中，使得相同的数所在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边）。现在已经给出了其中8个方格的数，并且知道A、B、C、D、E、F、G各不相同，那么五位数CDEFG是什么？,【分析】在左图能够填的数时9个，而AG共七个字母。1个1已填在左图上，而5离已填的字母太远（最近距离超过4个格子），所以AG代表的数对应2、3、4、6、7、8、9这七个。,从最少的数开始尝试。2个2，一个已经填好，还有一个必须在七个字母中出现，且与已填的2相邻，所以D=2,2,3个3。从已填的3到填字母这一行，最近距离正好三格，所以C=3,3,3,从已填的数去字母这一行
5、，如果先向右走一格，则2的右边一格无数可填。所以，4的必须往上走，且E=4,4,4,此时，已填数的右边或下边填4，就会影响8、9的走向，所以，应该继续往上走,4,现在可以看出，7的右边两个只能时7，所以7往下突破，B=7。后边几个7不往下走，会影响到与A相连的数。,7,7,7,7,7,7,接着，可以设计5的走向与8、9之间的关系，可以得到F=8、G=9,5,5,5,5,8,8,8,8,8,8,8,9,9,9,9,9,9,9,9,6,6,6,6,6,6,剩下一个A与6，显然A=6符合要求,所以，这个五位数为32489.,例4、如下图的第一行的五个内填上五个不同的自然数，然后从第二行开始每个内的数
6、都是上一行与它相邻的两个数之和，一直计算到最后一个数恰好是50，且满足14个内的数也各不相同。,50,【分析】题目给定了圆圈中数的相互关系，这就需要我们能够用“数”的概念来解决这个数阵图。先在每个圈中天上相应的字母符号，以便于计算相互之间的关系。,a1,a2,a3,a4,a5,b1,b2,b3,b4,c1,c2,c3,d1,d2,根据题目给定条件，可以写出等式如下：,d1+d2=50 d1=c1+c2 d2=c2+c3 则有c1+2c2+c3 =50,c1= b1+b2 c2= b2+b3 c3= b3+b4 则有b1+3b2+3b3+b4 =50,b1= a1+a2 b2= a2+a3 b3
7、= a3+a4 b4= a4+a5 则有a1+4a2+6a3+4a4 +a5=50,采用确定大系数项数（使尽可能的小），再用系数为1的项做调整的方法。取a2=2， a3=1， a4=4 ，则有a1+8+6+16+a5=50，即a1+a5=20,对20进行拆分，拆分时避免出现已经出现过的数字。则有 20=17+3=15+5=14+6=13+7=12+8=11+9,共有6组拆分方式，试填这六种方法，可以发现满足14个内的数各不相同的仅三种,a1=14 ，a2=2， a3=1， a4=4， a5=6； a1=13 ，a2=2， a3=1， a4=4， a5=7； a1=7 ，a2=2， a3=1，
8、a4=4， a5=13,例5、将110这10个数填入如下图的10个内，要求任意两个相邻的数之差不少于3。,【分析】因为10不能被3整除，且1033，所以可以用隔2个填一个数的方法填数。,2,7,5,4,8,9,10,6,1,3,因为10为偶数，我们也可以采用使相对的两数之差足够小的方法，即让1和2，3和4，5和6，7和8，9和10相对。,4,3,10,7,6,8,9,2,1,5,有兴趣的小朋友可以尝试去构建一个类似的数字圈,请问，这两种方法，哪种填写更方便？,例6、如下图中有十三个空白圆圈，要求把113这十三个数填入各空白圆圈内（其中3、4已经填好），使得上面两个圆圈内数的和，等于和它相连的下
9、面圆圈内的数，并且最下面四个圆圈中的数之和等于43。,43,3,4,【分析】本题与例1和例4类似，都需要用到代数思想。我们先赋予空白圆圈一个字母，以代表这个圆圈的数。,A,F,D,C,B,I,G,K,J,E,H,根据题目给出的条件，我们可以得到如下等式：,A+B+C+D=43 4+E=A H+I=E I+F=B 3+J=C J+K=G G+K=D,因为这13个圆圈分别填上113这十三个数，所以 A+B+C+D+4+E+H+I+F+G+K+3+J=91 43+A+H+B+C+D=91 43+43+H=91 H=5,A=4+E=4+5+I=9+I，因为A13，所以I4，3、4已经给出，则I=1或2
10、,J+K=G G+K=D 即J+K+K=D13，所以K6。当K=6时，J=1，则C=4（不符），而3、4、5已经给出，所以K=1或2,当K=2，I=1，可以按要求填出如图所示的数,1,5,6,10,2,9,11,12,13,7,8,当K=1时，G=J+1，D=J+2，C=J+3说明J、G、D、C是连续自然数，剔除I、E、H的值，剩余数为6、8、9、10、12、13，没有连续四个自然数，所以不符。,第二课 提高部分,例1、根据下图，小偷与警察每人每次走一步，警察先走，问警察最少走几步能抓住小偷。,A,B,C,D,小偷,警察,【分析】说这个是数阵图，到不如说更是一个数阵游戏。,按照习惯思维，警察抓
11、小偷，就应该步步紧逼。比如，警察应该先跳到A或D点。可是，这样的话，小偷可以还是能够跑掉。,小朋友一起在纸上演示下吧，看看哪两个人的方法最好。,给大家一个方法：警察先到C小偷只能去A警察去D小偷只能去B 警察进入中间位置，这时小偷不管去A还是C，都会被警察抓住。,所以，警察最少要走4步才能抓住小偷。,上面的游戏启发我们，做事情要懂得以退为进。,例2、将113这自然数分别填入下图的各个内，使每条线段上5个内数的和相等，并且两个六边形6个顶点上内数的和也相等。,【分析】观察左图，找出这个图的特点。,这个图由两个六边形和中间一个 ，及三条直线组成数阵图。显然，这是一个复合型数阵图。具有双重约束。,我
12、们先不考虑六边形约束，使五条线段上的5个内的数的和相等。中间交叉位置是关键点，被重复使用三次。,假设中间位置上的数字为a，因为1+2+3+13=91 所以3|91-a,又因为两个六边形顶点上的数字和相等，所以 2|91-a,所以，符合条件的a有1、7、13,确定中间数为1，则每条直线上的数字之和为（91-1）3=30，且每个六边形上的数字之和为45.,剩下的步骤请大家自己完成，也可以尝试7或13作为中间位置的数字,观察图形，结合之前学过的知识，如何利用位置规律来填数,例3、如下图所示，试分别填入1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字，使得图中用线段连结的两个小圆圈内所填的数字之差（大数字减小
13、数字）恰好是1、2、3、4、5、6、7这七个数字。,C,A,E,F,G,H,B,D,【分析】先问大家一个问题，1、2、38，这8个数中任意两个数相减（大数减小数），差最大是多少？,当然是7。最大的那个数减去最小的数，差肯定最大。所以，8和1必须是一对。,假设A=8,C=1。第二个问题是，把大数放在8周围，得到小差值，是否可行,显然是不行的。如果F=7,E=6 ，那么剩下的数2、3、4、5这四个数没法得到差为6。所以，A周边要选尽量小的值,因此，E=2,F=3。剩下4、5、6、7，且已经有的差是7、6、5,4、5、6、7这四个数任意两个相减，最大可以得到3，最小是1。,第三个问题，如果不考虑AB间的差值，把4、5、6、7这四个数填到B、D、G、H四个圆圈后，7个数字之差还缺哪个数？,缺少一个4。所以B=4。最后把D、G、H分别天上5、6、7，得到差为1、2、3,极端处理，可以帮助我们确定一些关键值。,（答案不唯一）,知识点小结,数阵图的 三种类型,辐射型数阵图,封闭型数阵图,复合型数阵图,数阵图：把一些数字按照一定的要求，排成的各种各样的图形,区分数阵图中的普通点和关键点（方格）,通过已得到的信息进行尝试，或者运用综合的数学方法进行填数,在关键点上设置未知数，计算关键点与相关点的数量关系，取得关键点的取数范围,辐射型数阵图,通过局部到整体，再到局部的解题方法，具体可以分三步走：,