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1、-流体力学题库26742-第 27 页第1章绪论 1 基本概念及方程 【11】底面积A的水容器，水面上有一块无重密封盖板，板上面放置一个重量为G13000N的铁块，测得水深h，如图所示。如果将铁块加重为G28000N，试求盖板下降的高度h。【解】:利用体积弹性系数计算体积压缩率： p为绝对压强。当地大气压未知，用标准大气压 代替。因 和 不是很大，可选用其中任何一个，例如，选用 来计算体积弹性系数：在工程实际中，当压强不太高时，可取 【22】用如图所示的气压式液面计测量封闭油箱中液面高程h。打开阀门1，调整压缩空气的压强，使气泡开始在油箱中逸出，记下U形水银压差计的读数h1150mm，然后关闭
2、阀门1，打开阀门2，同样操作，测得h2210mm。已知a1m，求深度h及油的密度。 【解】水银密度记为1。打开阀门1时，设压缩空气压强为p1，考虑水银压差计两边液面的压差，以及油箱液面和排气口的压差，有 同样，打开阀门2时， 两式相减并化简得 代入已知数据，得 所以有2 基本概念及参数 【13】测压管用玻璃管制成。水的表面张力系数，接触角8，如果要求毛细水柱高度不超过5mm，玻璃管的内径应为多少？ 【解】由于 因此 【14】高速水流的压强很低，水容易汽化成气泡，对水工建筑物产生气蚀。拟将小气泡合并在一起，减少气泡的危害。现将10个半径R1的气泡合成一个较大的气泡。已知气泡周围的水压强po600
3、0Pa，水的表面张力系数。试求合成后的气泡半径R。 【解】小泡和大泡满足的拉普拉斯方程分别是 设大、小气泡的密度、体积分别为、V和1、V1。大气泡的质量等于小气泡的质量和，即 合成过程是一个等温过程，T=T1 。球的体积为V4/3R3，因此 令xR/R1，将已知数据代入上式，化简得 上式为高次方程，可用迭代法求解，例如， 以 xo = 2作为初值，三次迭代后得x2.2372846，误差小于105，因此，合成的气泡的半径为 还可以算得大、小气泡的压强分布为 【15】一重W500N的飞轮，其回转半径30cm，由于轴套间流体粘性的影响，当飞轮以速度600转/分旋转时，它的减速度/s2。已知轴套长L5
4、cm，轴的直径d2cm，其间隙t=，求流体粘度。 【解】：由物理学中的转动定律知，造成飞轮减速的力矩MJ,飞轮的转动惯量J 所以力矩 另一方面，从摩擦阻力F的等效力系看，造成飞轮减速的力矩为： 为线性分布。 则 摩擦阻力矩应等于M，即T=M 即 所以 第2章 流体静力学【21】试求解图中同高程的两条输水管道的压强差p1p2，已知液面高程读数z118mm，z262mm，z332mm，z453mm，酒精密度为800kg/m3。 【解】设管轴到水银面4的高程差为ho，水密度为，酒精密度为1，水银密度为2，则 将z的单位换成m，代入数据，得 【22】用如图所示的气压式液面计测量封闭油箱中液面高程h。打
5、开阀门1，调整压缩空气的压强，使气泡开始在油箱中逸出，记下U形水银压差计的读数h1150mm，然后关闭阀门1，打开阀门2，同样操作，测得h2210mm。已知a1m，求深度h及油的密度。 【解】水银密度记为1。打开阀门1时，设压缩空气压强为p1，考虑水银压差计两边液面的压差，以及油箱液面和排气口的压差，有 同样，打开阀门2时， 两式相减并化简得 代入已知数据，得 所以有 【23】人在海平面地区每分钟平均呼吸15次。如果要得到同样的供氧，则在珠穆朗玛峰顶（海拔高度8848m）需要呼吸多少次？ 【解】:海平面气温T0=288,z=8848m处的气温为 峰顶压强与海平面压强的比值为 峰顶与海平面的空气
6、密度之比为 呼吸频率与空气密度成反比，即 【24】如图所示，圆形闸门的半径R，倾角45o，上端有铰轴，已知H15m，H21m，不计闸门自重，求开启闸门所需的提升力T。 【解】设y轴沿板面朝下，从铰轴起算。在闸门任一点，左侧受上游水位的压强p1，右侧受下游水位的压强p2，其计算式为 平板上每一点的压强p1p2是常数，合力为（p1p2）A，作用点在圆心上，因此 代入已知数据，求得T。 【25】盛水容器底部有一个半径r的圆形孔口，该孔口用半径R4cm、自重G的圆球封闭，如图所示。已知水深H20cm，试求升起球体所需的拉力T。 【解】用压力体求铅直方向的静水总压力Fz： 由于 ， 因此，【26】如图所
7、示的挡水弧形闸门，已知R2m，30o，h5m，试求单位宽度所受到的静水总压力的大小。 【解】水平方向的总压力等于面EB上的水压力。铅直方向的总压力对应的压力体为CABEDC 。 【27】如图所示，底面积为bb的方口容器，自重G40N，静止时装水高度h，设容器在荷重W200N的作用下沿平面滑动，容器底与平面之间的摩擦系数f，试求保证水不能溢出的容器的最小高度。 【解】解题的关键在于求出加速度a。如果已知加速度，就可以确定容器里水面的斜率。 考虑水、容器和重物的运动。系统的质量M和外力分别为 因此，系统的重力加速度为 代入数据得a = 5.5898 m/s2 容器内液面的方程式为 坐标原点放在水面
8、（斜面）的中心点，由图可见，当xb/2时，zHh，代入上式， 可见，为使水不能溢出，容器最小高度为。【28】如图所示，液体转速计由一个直径为d1的圆筒、活塞盖以及与其连通的直径为d2两支竖直支管构成。转速计内装液体，竖管距离立轴的距离为R，当转速为时，活塞比静止时的高度下降了h，试证明： 【解】活塞盖具有重量，系统没有旋转时，盖子处在一个平衡位置。旋转时，盖子下降，竖管液面上升。 设系统静止时，活塞盖如实线所示，其高度为h1，竖管的液面高度设为H1。此时，液体总压力等于盖子重量，设为G： 旋转时，活塞盖下降高度为h，两支竖管的液面上升高度为H。 液体压强分布的通式为 将坐标原点放在活塞盖下表面
9、的中心，并根据竖管的液面参数确定上式的积分常数C。当rR，zH1-h1H + h时，ppa， 因此，液体压强分布为 旋转时，液体压力、大气压力的合力应等于盖子重量，即 因盖子下表面的相对压强为 代入G式并进行积分，得到 代入上式，化简得 由图中看出，活塞盖挤走的液体都进入两支竖管，因此 所以有【29】如图所示，U形管角速度测量仪，两竖管距离旋转轴为R1和R2，其液面高差为h，试求的表达式。如果R1，R2，h，求的值。 【解】两竖管的液面的压强都是pa（当地大气压），因而它们都在同一等压面上，如图虚线所示。设液面方程为 不妨设竖管中较低的液面到转盘的高度差为h。现根据液面边界条件进行计算。 当r
10、R1，zh及rR2，zhh时 两式相减得 所以 【210】航标灯可用如图所示模型表示：灯座是一个浮在水面的均质圆柱体，高度H，底半径R，自重G1500N，航灯重W=500N，用竖杆架在灯座上，高度设为z。若要求浮体稳定，z的最大值应为多少？ 【解】浮体稳定时要求倾半径r大于偏心距e，即re 先求定倾半径rJ/V，浮体所排开的水的体积V可根据吃水深度h计算。 再求偏心距e，它等于重心与浮心的距离。设浮体的重心为C，它到圆柱体下表面的距离设为hC ，则 根据浮体稳定的要求 有 化简得 r，h的值已经算出，代入其它数据，有z 【211】如图所示水压机中，已知压力机柱塞直径D25cm，水泵柱塞直径d5
11、cm，密封圈高度h，密封圈的摩擦系数f，压力机柱塞重G981N，施于水泵柱塞上的总压力P1=882N，试求压力机最后对重物的压力F。【解】：P1所形成的流体静压力 压力机柱塞上的总压力 静压力作用在密封圈上的总压力为pDh ，方向与柱塞垂直。所以密封圈上的摩擦力 故压力机对重物的压力为 第3、4章 流体运动的基本概念及方程【31】已知平面流动的速度分布为 ， 试计算点（0，1）处的加速度。 【解】先将极坐标的速度分量换算成直角坐标的速度，然后再求直角坐标中的加速度。 将， ， 代入，得 所以有： 在点（0，1）处， 算得 【32】验证下列速度分布满足不可压缩流体的连续性方程： （1） ， （2
12、） ， （3） ， 【解】:（1） ， ， （2） （3）从速度分布的表达式看出，用极坐标比较方便。当然，使用直角坐标也可以进行有关计算，但求导过程较为复杂。 【33】已知平面流场的速度分布为 ， ， 试求t1时经过坐标原点的流线方程。 【解】对于固定时刻to，流线的微分方程为 积分得 这就是时刻to的流线方程的一般形式。 根据题意，to1时，x0，y0，因此C2 【34】如图所示的装置测量油管中某点的速度。已知油的密度为800kg/m3，水银密度为13600 kg/m3，水银压差计的读数h60mm，求该点的流速u。 【解】我们分析管流中的一条流至测压管管口的流线，即如图中的流线10。这条流线
13、从上游远处到达“L”形管口后发生弯曲，然后绕过管口，沿管壁面延伸至下游。流体沿这条流线运动时，速度是发生变化的。在管口上游远处，流速为u。当流体靠近管口时，流速逐渐变小，在管口处的点0，速度变为0，压强为po，流体在管口的速度虽然变化为0，但流体质点并不是停止不动，在压差作用下，流体从点0开始作加速运动，速度逐渐增大，绕过管口之后，速度逐渐加大至u。 综上分析，可以看到，流体沿流线运动，在点1，速度为u，压强为p，在点0，速度为0，压强为po，忽略重力影响，沿流线的伯努利方程是由此可见，只要测出压差为pop，就可以求出速度u。 不妨设压差计的右侧水银面与流线的高差为l。由于流线平直，其曲率半径
14、很大，属缓变流，沿管截面压强的变化服从静压公式，因此， 式中，和分别是油和水银的密度。将已知数据代入计算，h的单位应该是用m表示，h，得速度为u/s。【35】矿山排风管将井下废气派入大气。为了测量排风的流量，在排风管出口处装有一个收缩、扩张的管嘴，其喉部处装有一个细管，下端插入水中，如图所示。喉部流速大，压强低，细管中出现一段水柱。已知空气密度/m3，管径d1400mm，d2600mm，水柱h45mm，试计算体积流量Q。 【解】截面11的管径小，速度大，压强低；截面22接触大气，可应用伯努利方程，即 利用连续方程，由上式得 此外细管有液柱上升，说明p1低于大气压，即 式中，是水的密度，因此 由
15、d1400mm，d2600mm 可以求出A1和A2，而、h皆已知，可算得 【36】如图所示，水池的水位高h4m，池壁开有一小孔，孔口到水面高差为y，如果从孔口射出的水流到达地面的水平距离x2m，求y的值。如果要使水柱射出的水平距离最远，则x和y应为多少？ 【解】孔口的出流速度为 流体离开孔口时，速度是沿水平方向的，但在重力作用下会产生铅直向下的运动，设流体质点从孔口降至地面所需的时间为t，则 消去t，得 ，即解得 如果要使水柱射出最远，则因为 x是y的函数，当x达到极大值时，dx/dy0，上式两边对y求导，得 【37】如图所示消防水枪的水管直径d1，喷嘴出口直径d2，消防人员持此水枪向距离为l
16、12m，高h15m的窗口喷水，要求水流到达窗口时具有V310m/s的速度，试求水管的相对压强和水枪倾角。 【解】解题思路：已知V3利用截面22和33的伯努利方程就可以求出V2。而利用截面11和22的伯努利方程可以求出水管的相对压强p1pa。水流离开截面22以后可以视作斜抛运动，利用有关公式就可以求出倾角。 对水射流的截面22和截面33，压强相同， 将h、V3代入得V2/s。对于喷嘴内的水流截面11和截面22，有 式中，p2pa。利用连续方程，则有 喷嘴出口水流的水平速度和铅直速度分别是V2cos和V2sin，利用斜抛物体运动公式，不难得到上抛高度h和平抛距离l的计算公式分别为 消去时间t得到
17、代入数据，又 上式化为 【38】如图所示，一个水平放置的水管在某处出现30o的转弯，管径也从d1渐变为d2，当流量为Q3/s时，测得大口径管段中心的表压为104Pa，试求为了固定弯管所需的外力。 【解】用p表示表压，即相对压强，根据题意，图示的截面11的表压p1p1pa104Pa，截面22的表压p2可根据伯努利方程求出。而固定弯管所需的外力，则可以利用总流的动量方程求出。 取如图所示的控制体，截面11和22的平均流速分别为 弯管水平放置，两截面高程相同，故 总流的动量方程是 由于弯管水平放置，因此我们只求水平面上的力。对于图示的控制体，x，y方向的动量方程是 代入数据，得 【39】宽度B1的平
18、板闸门开启时，上游水位h12m，下游水位h2，试求固定闸门所需的水平力F。 【解】应用动量方程解本题，取如图所示的控制体，其中截面11应在闸门上游足够远处，以保证该处流线平直，流线的曲率半径足够大，该截面上的压强分布服从静压公式。而下游的截面22应选在最小过流截面上。由于这两个截面都处在缓变流中，总压力可按平板静水压力计算。控制体的截面11上的总压力为1/2gh1Bh1 ，它是左方水体作用在控制面11上的力，方向从左到右。同样地，在控制面22上地总压力为1/2gh2Bh2，它是右方水体作用在控制面22上的力，方向从右到左。另外，设固定平板所需的外力是F，分析控制体的外力时，可以看到平板对控制体
19、的作用力的大小就是F，方向从右向左。 考虑动量方程的水平投影式： 流速和流量可根据连续性方程和伯努利方程求出： 由以上两式得 ； 将已知数据代入动量方程，得 我们还可以推导F的一般表达式。 上面已经由连续方程和伯努利方程求出速度V2，因而 将此式代入动量方程得 【310】如图所示，从固定喷嘴流出一股射流，其直径为d，速度为V。此射流冲击一个运动叶片，在叶片上流速方向转角为，如果叶片运动的速度为u，试求： （1）叶片所受的冲击力； （2）水流对叶片所作的功率； （3）当u取什么值时，水流作功最大？ 【解】射流离开喷嘴时，速度为V，截面积为A=d2/4，当射流冲入叶片时，水流相对于叶片的速度为Vu
20、，显然，水流离开叶片的相对速度也是Vu。而射流截面积仍为A。采用固结在叶片上的动坐标，在此动坐标上观察到的水流运动是定常的，设叶片给水流的力如图所示，由动量方程得 叶片仅在水平方向有位移，水流对叶片所作功率为：当V固定时，功率P是u的函数。令因此，当uV/3时，水流对叶片所作的功率达到极大值。【311】如图所示，两股速度大小同为V的水射流汇合后成伞状体散开，设两股射流的直径分别为d1和d2，试求散开角与d1、d2的关系。如果d2 d1，是多少度？不计重力作用。【解】射流暴露在大气中，不考虑重力影响，根据伯努利方程，各射流截面的流速相等。汇合流是一个轴对称的伞状体，其截面积逐渐减小，但汇合流量总
21、是不变的，它等于两个射流量Q1和Q2之和。 作用在水体上的外力和为零，根据动量方程， 可以求出张角与d1、d2的关系。 当d2 d1时, cos，70o 【312】如图所示，气体混合室进口高度为2B，出口高度为2b，进、出口气压都等于大气压，进口的速度 u0和2 u0各占高度为B，出口速度分布为 气体密度为，试求气流给混合室壁面的作用力。 【解】利用连续性方程求出口轴线上的速度um： 用动量方程求合力F： 【313】如图所示，旋转式洒水器两臂长度不等，l1，l2，若喷口直径d25mm，每个喷口的水流量为Q3103m3/s，不计摩擦力矩，求转速。 【解】水流的绝对速度等于相对速度及牵连速度的矢量
22、和。本题中，相对速度和牵连速度反向，都与转臂垂直。 设两个喷嘴水流的绝对速度为V1和V2，则 根据动量矩方程，有 以V1、V2代入上式，得 第8章 相似原理及量纲分析【81】液体在水平圆管中作恒定流动，管道截面沿程不变，管径为D，由于阻力作用，压强将沿流程下降，通过观察，已知两个相距为l 的断面间的压强差 p与断面平均流速V，流体密度，动力粘性系数以及管壁表面的平均粗糙度等因素有关。假设管道很长，管道进出口的影响不计。试用定理求p 的一般表达式。 【解】列出上述影响因素的函数关系式 函数式中N7 ；选取3个基本物理量，依次为几何学量D、运动学量V和动力学量，三个基本物理量的量纲是 其指数行列式
23、为 说明基本物理量的量纲是独立的。可写出N3734个无量纲项： ， ，根据量纲和谐原理，各项中的指数分别确定如下（以1为例）： 即 解得x11，y10，z10，所以， ， ，以上各项根据需要取其倒数，但不会改变它的无量纲性质，所以 求压差p 时，以 ， 代入，可得 ； 令：，最后可得沿程水头损失公式为上式就是沿程损失的一般表达式。【82】通过汽轮机叶片的气流产生噪声，假设产生噪声的功率为P，它与旋转速度，叶轮直径D，空气密度，声速c有关，试证明汽轮机噪声功率满足 【解】由题意可写出函数关系式 现选，D， 为基本物理量，因此可以组成两个无量纲的项： ，基于MLT 量纲制可得量纲式 联立上三式求得
24、x13，y11，z15 所以，故有一般常将c/D 写成倒数形式，即D/c ，其实质就是旋转气流的马赫数，因此上式可改写为 【83】水流围绕一桥墩流动时，将产生绕流阻力FD，该阻力和桥墩的宽度b（或柱墩直径D）、水流速度V、水的密度、动力粘性系数及重力加速度g有关。试用定理推导绕流阻力表示式。 【解】依据题意有 现选、V、b为基本物理量，由定理，有 对于1项，由量纲和谐定理可得 求得x11，y12，z12 ； 故 对于2项，由量纲和谐原理可得 解得x21，y21，z21 ；故 对于3项，由量纲和谐定理可得 第5章 管流损失和水力计算【5-1】动力粘性系数kg/（m.s）的油在管径dm的圆管中作层
25、流运动，流量Q3103m3/s，试计算管壁的切应力o 。 【解】管流的粘性切应力的计算式为 在管流中，当r增大时，速度u减小，速度梯度为负值，因此上式使用负号。 圆管层流的速度分布为 式中，V是平均速度；r0是管道半径。由此式可得到壁面的切应力为 由流量Q和管径d算得管流平均速度，代入上式可算出0： 【52】明渠水流的速度分布可用水力粗糙公式表示，即 式中，y坐标由渠底壁面起算。设水深为H，试求水流中的点速度等于截面平均速度的点的深度h。 【解】： 利用分部积分法和罗彼塔法则，得 平均速度为 当点速度恰好等于平均速度时， 可见，点速度等于平均速度的位置距底面的距离为yH，距水面的深度为hH。【
26、53】一条输水管长l1000m，管径d，设计流量Q3/s，水的运动粘性系数为106m2/s，如果要求此管段的沿程水头损失为hf3m，试问应选择相对粗糙度/d为多少的管道。 【解】由已知数据可以计算管流的雷诺数Re和沿程水头损失系数。 由水头损失 算得0.02915。 将数据代入柯列勃洛克公式，有 可以求出， 【54】如图所示，密度920kg/m3的油在管中流动。用水银压差计测量长度l3m的管流的压差，其读数为h90mm。已知管径d25mm，测得油的流量为Q104m3/s，试求油的运动粘性系数。 【解】：式中，13600 kg/m3是水银密度；是油的密度。代入数据，算得hfm。 算得。设管流为层
27、流，64/Re，因此 可见油的流动状态确为层流。因此【55】不同管径的两管道的连接处出现截面突然扩大。管道1的管径d1，管道2的管径d1。为了测量管2的沿程水头损失系数以及截面突然扩大的局部水头损失系数，在突扩处前面装一个测压管，在其它地方再装两测压管，如图所示。已知l1，l23m，测压管水柱高度h180mm，h2162mm，h3152mm，水流量Q=3/s，试求和。 【解】在长l2的管段内，没有局部水头损失，只有沿程水头损失，因此 将数据代入上式，可得。 在长l1的管段内，既有局部水头损失，也有沿程水头损失，列出截面1和2的伯努利方程： 因此 V1Q/A1/s，代入其它数据，有 【56】水塔
28、的水通过一条串连管路流出，要求输水量Q0.028 m3/s，如图所示。各管的管径和长度分别为：d1， l1600m，d2，l2300m，d3，l3500m，各管的沿程水头损失系数相同，。由于锈蚀，管2出现均匀泄漏，每米长度上的泄漏量为q，总泄漏量为Qtql23/s。试求水塔的水位H。 【解】不计局部水头损失，则有 现分别计算各管的沿程水头损失。 对于管道1，其流量应为 于是流速和水头损失分别为 管道2有泄漏，其右端的出口流量也为Q，即Q2Q3/s。其沿程损失 管道3的流速和水头损失为 总的水头损失为 【57】如图所示，两个底面直径分别为D12m，D2的圆柱形水箱用一条长l8m，管径d的管道连通
29、。初始时刻，两水箱水面高差h0，在水位差的作用下，水从左水箱流向右水箱。不计局部水头损失，而沿程水头损失系数用光滑管的勃拉休斯公式计算，即 式中， ，水的运动粘性系数 ，试求水面高差从hh0变为h0所需的时间T。 【解】设初始时刻，左、右水箱水位分别为H1和H2，水位差h0H1H2。某时刻t，左、右水箱的水位分别为h1和h2，水位差hh1h2。显然，h是时间的函数hh（t）。变水位出流问题仍使用定常公式进行计算。对两水箱的液面应用伯努利方程，有 将已知量代入上式，得： 水从左边流向右边，使左水箱水位下降，右水箱水位上升，根据连续性方程，有 将已知数据以及V的表达式代入上式，得 【58】如图所示
30、的具有并联、串联管路的虹吸管，已知H40m， l1200m，l2100m，l3500m，d1，d2，d3， 12，3，求总流量Q。 【解】管1和管2并联，此并联管路又与管3串联，因此 （1） （2） （3） 由（2）式得 代入(3)式得 由式（1）得 将已知数值代入上式，计算得 【59】如图所示，水管直径d200mm，壁厚6mm，管内水流速度u0/s，管壁材料的弹性模量为Es201010Pa，水的体积弹性系数为E2109Pa，试求由于水击压强p引起的管壁的拉应力。 【解】水击波传播速度c和水击压强p： 管内外的压强差必然会产生管壁的拉应力，如图所示。现取单位长度管道，沿管轴线切开，分析图示的管
31、壁的受力平衡。根据曲面静压力公式知，压强p作用在图示的曲面上的总压力为pd，管壁切面的总拉力为 ，因此 一般钢材的许用应力约为=30106Pa，可见水击引起的拉应力差不多到了许用值。第7章 气体的一维流动【71】空气气流在两处的参数分别为： ， ， ， ，求熵增。 【解】：又因 所以 注：空气的气体参数为： 【72】过热水蒸汽的温度为430，压强为5106Pa，速度为525m/s，求水蒸汽的滞止参数。 【解】： 所以： 注：水蒸汽的气体参数为： 【73】滞止参数为，p0 = 4105Pa， T0 = 380K的过热蒸汽经收缩喷管流出，出口外部的背压为pe105Pa，出口截面积A=10-4m2，
32、某截面面积为A1=610-4m2，试确定这两个截面上的马赫数Ma和Ma1。【解】： ， 因此出口截面上的气流达临界状态，即：Ma=1。 ； 由上三式得到关于Ma1的代数方程，令xMa1，则此方程为 用迭代法解： 得到x和（舍去），因此， 【74】空气从气罐经拉伐尔喷管流入背压为pe105Pa的大气中，气罐中的气体压强为p07105Pa，温度为T0313K，已知拉伐尔喷管喉部的直径为d*25mm，试求：（1）出口马赫数Ma2；（2）喷管的质量流量；（3）喷管出口截面的直径d2。【解】：（1） ； ；所以 （2）由于出口马赫数大于1，因此气流在喉部达临界状态，流量按下式计算： （3） ， 【75】
33、马赫数Ma1，滞止压强p01106Pa，滞止温度T01600K的空气进入一条等截面无摩擦的加热管道，如果出口马赫数Ma21，试求加热量q，出口压强p2，滞止压强p02，出口温度T2，滞止温度T02。【解】本题的解题步骤为：(1)计算进口参数 p1，T1；(2)由Ma1，Ma2求T02，q；(3)计算出口参数。(1) 进口参数计算： ， ， (2) T02和q的计算： (3) 出口参数计算： ， ； ； 第 章 理想流体的有旋及无旋流动【 1】已知平面流动的速度分布ux22x4y，v2xy2y。试确定流动：（1）是否满足连续性方程；（2）是否有旋；（3）如存在速度势和流函数，求出它们。【解】：（
34、1） ，连续性方程得到满足。（2） ，流动有旋。（3） 此流场为不可压缩流体的有旋运动，流函数 存在，速度势不存在。 因为 所以 ； ， 注意：复位势W（z）不存在。【 2】已知平面流动的流函数 求势函数，并证明速度大小与点的矢径r的平方成正比。 【解】： 因为： 所以： 【 3】已知复位势为 (1) 分析流动由哪些基本势流组成； (2) 圆周x2y22上的速度环量和流量Q。 【解】： (1) 对比点源（汇），点涡，偶极子的复势，可以看出此流动由下列简单势流叠加而成： 位于原点的偶极子，其强度M2，方向角（由点汇指向点源）； 在点（0，1）和点（0，1）各有一个点源和点涡，点源强度Q12，点涡
35、强度12，方向为顺时针方向； 在点（0，2）和点（0，2）各有一个点源和点涡，点源强度Q24，点涡强 度26，方向为逆时针方向。 (2) 圆周x2y22内部区域有两个同向涡点（强度为1），还有两个点源（强度为Q1），因此在圆周x2y22上的速度环量和流量分别为 【 4】势流由一个速度为V，方向与x轴正向一致的均匀流和一个位于坐标原点的强度为Q的电源叠加而成，试求经过驻点的流线方程，并绘出该流线的大致形状。 【解】： 驻点就是速度为零的点，令 得 可见，驻点的位置为 ， 或 ， 经过驻点的流线为 当/2 时， 当0时， 流线形状如图所示。 【 5】求如图所示的势流的流函数以及经过驻点的流线方程。
36、已知：V5，Q20，a2。 【解】： 令： ， ，则 下面求驻点位置： 所以 ，即 当x2，y0（驻点）时，1/4，2/4，过驻点流线方程为 【 6】已知平面流场的速度分布为uxy，vy，试问（1）流场是否有旋？（2）沿如图所示的曲线ABCD 的速度环量时多少？ 【解】： 可见，流场内处处有旋，涡量为常数。使用 斯托克斯定理，可以使曲线ABCD的速度环量的计算变得简单 当然也可以由速度的线积分直接计算。速度为线性分布，矩形每条边的平均速度等于两端点的速度之和的一半，故 121/21（2）41/212 答案虽然一样，但计算要复杂得多。 【 7】已知速度分布为 试证流线和涡线平行，并求涡量与速度之
37、间的数量关系，式中k，C为常数。 【解】： 涡线方程为 可以看出，涡线方程与流线方程完全相同。 【 8】设不可压缩流体平面运动的流线方程在极坐标下的形式是=(r)，速度只是r的函数，试证涡量为 【解】：不可压缩流体运动的连续性方程为 由于速度与无关，上式左边第二项为零，因此 流线的方程式为 涡量的表达式是 上式右边的第二项为零，因此 【 9】已知速度场为 求 所围的正方形的速度环量。 【解】： 根据斯托克斯定理有 【 10】已知速度场u2y，v3x，求椭圆4x2+9y2=36周线上的速度环量。 【解】:椭圆方程可写为 其长、短轴分别为a3，b2， 根据斯托克斯定理，有 【 11】在平面上有三个
38、强度和方向相同的点涡，位置如图所示。试求各个点涡的运动速度。 【解】： 位于点（3，0）处的点涡的运动速度为 位于点（3，0）处的点涡的运动速度为 位于点（0，3）处的点涡的运动速度为 【 12】横截面是一个边长为 （高为 ）的如图所示的等边三角形的柱体内部充满理想不可压缩的均质流体，柱体和其内的流体原先都是静止的，当柱体绕中心轴线以角速度作等角速度旋转时，求流体对于三角形柱体的相对运动速度，并确定相对于柱体的流线形状。 【解】：建立如图所示的坐标系，其中等边三角形的高与x轴重合，三条边的方程为 设流函数为 C为待定系数，显然，在边界上 流体的旋转角速度为2，即 用流函数表示上式，有 再将 的
39、表达式代入上式，有 流线的一般方程为 【 13】在理想不可压缩流体的无界流场中有一对点涡如图所示，无穷远处有一股均匀流V恰好使这对点涡静止不动，试求V与的关系。 【解】： 位于（0，b）的点涡的运动速度为 若使点涡静止，必有 第 章 粘性流体绕过物体的流动【 1】如图所示，液膜沿倾角为的斜面向下流动，设流动定常，液膜厚度h为常数，试求液膜的速度分布式。【解】设x轴沿壁面法向，如图所示，y向速度为零，即v0。流动定常，x向速度与时间无关。质量力的分量为， 运动方程式为 由上式第二个方程积分得 液面上流体压强与当地大气压pa相等，即 由此式得到了待定函数f（x），于是 由于h常数，因而液体压强p与
40、x无关，这样x方向运动方程变为 积分得积分常数由下列边界条件确定， ： ； ： 因此，C1h，C20 【 2】如图所示，两平行的水平平板间有互不相混的不可压缩粘性流体，这两层流体的密度、动力粘性系数和厚度分别为1、1、h1和2、2、h2，设两板静止，流体在常压强梯度作用下发生层流运动，试求流体的速度分布。 【解】这两层流体的运动方程都是 积分得 因此，两层流体的速度分布可分别表示为 由边界条件确定积分常数， 由以上四个边界条件解出积分常数C1、C2、D1、D2： 最后得速度分布分别为 【 3】考虑振荡平板上方的粘性流动。设有一块无限大平板，此平板上方充满粘性流体，如果平板以速度U0cost作振
41、荡，试求流体的速度。【解】本问题的微分方程及边界条件分别为 ， ； ， 本问题采用复数解法，设本问题的解为 的实部。将此表达式代入原式，得到函数f（y）的方程及边界条件： ； ， 设此解为 则 ， ， 因此，本问题的解为 【 4】如图所示，两个半径分别为a和b的同轴圆柱面之间充满均匀不可压缩粘性流体，此两个圆柱分别以角速度1和2绕轴旋转，试求流体的速度分布。【解】这种流动只有切向速度v，径向速度和轴向速度都为零，流动为定常。由于对称关系，流动参数与角度无关，因而由圆柱坐标中的N-S方程可得 或 边界条件 运动方程是欧拉方程，设解为： 则得 代入边界条件得积分常数C1、C2因此速度分布为 【 5】如图所示，粘性不可压缩流体在无限长的矩形截面管道中作定常层流运动，设矩形的边长分别为2a和2b，试求此管流的速度分布。【解】设x轴沿管轴线，管截面上的坐标为y和z，原点在矩形中心，设速度仅在x轴上有分量，其余两个速度分量为零，于是x轴上的速度u与x无关，uu（y，z），且管轴线上的压强梯度是一个常数。运动方程和边界条件分别是 ； 方程是非齐次的，但边界条件是齐次的。我们设法使方程变为齐次，同时使一个边界条件保持齐次。令