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1、-高中数学常用公式及知识点(北师大版必修1-必修5及选修2-1)-第 22 页北师大版教材高中数学常用公式及知识点记忆检测（必修1必修5及选修2-1）目录必修13必修27必修310必修413必修518选秀2-122后记28必修1 集 合 1.集合的基本运算2. .集合的包含关系:； 3.识记重要结论： ;4对常用集合的元素的认识中的元素是方程的解，即方程的解集；中的元素是不等式的解，即不等式的解集；中的元素是函数的函数值，即函数的值域；中的元素是函数的自变量，即函数的定义域；中的元素可看成是关于的方程的解集，也可看成以方程的解为坐标的点，为点的集合，是一条直线。5. 集合的子集个数共有 个；真
2、子集有1个；非空子集有1个；非空的真子集有2个.6.方程在上有且只有一个实根,与不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程有且只有一个实根在内,等价于,或且,或且.7.闭区间上的二次函数的最值问题：二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系。二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a0时，若，则；(2)当a0和x0和x0)或向右(0)或向下(b0)移b单位图象11. 函数图像变换12.分数指数幂 ：(1)（，且）;(2)（，且）.13根式的性质：（1）;（2）当为奇数时，；当为偶数时，.1
3、4有理指数幂的运算性质(1);(2);(3).15.指数式与对数式的互化式： .16.对数的换底公式 ： (,且,且, ).推论 (,且,且, ).17对数有关性质：的符号有口诀“同正异负”记忆；对数恒等式：设函数,记.若的定义域为,则，且;若的值域为,则，且.对于的情形,需要单独检验.；18. 对数函数的图像和性质分析：的符号1xyo1图像定义域值域单调性在(0,+)上是增函数在(0,+)上是减函数过定点函数值的分布情况时，；时，时，；时 ，指数函数的图像和性质分析：的符号图像1yxo1o1x1y定义域值域单调性在上是增函数在上是减函数过定点函数值的分布情况时，； 时， 时，；时，19. 平
4、均增长率的问题如果原来产值的基础数为N，平均增长率为，则对于时间的总产值，有.必修2 立体几何初步1.常用公理和定理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理4：平行于同一条直线的两条直线平行定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直一个平面过另
5、一个平面的垂线，则两个平面垂直一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行垂直于同一个平面的两条直线平行两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直2.三余弦定理（最小角定理:立平斜公式）设AB与平面所成的角为,AC是内的任一条直线，且AC与AB的射影AB/所成的角为，图AB/与AC所成的角为则.如右图。3. 面积射影定理: . (平面多边形及其射影的面积分别是、，它们所在平面所成锐二面角的为).如图。4. 已知：长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为，因此有；若长方体的体对角线
6、与过同一顶点的三侧面所成的角分别为，则有图。（线线面12）5棱锥的平行截面的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比）6球的半径是R，则其体积,其表面积；球的半径（R），截面圆半径（），球心到截面的距离为（）构成直角三角形，因而有关图系：，它们是计算球的关键所在，如图.7.球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2
7、)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. 8柱体、锥体的体积（是柱体的底面积、是柱体的高）;（是锥体的底面积、是锥体的高）. 解析几何初步1.斜率公式 一般两点斜截距（、）；直线的一个方向向量为2.直线的五种方程（1）点斜式 (直线过点，且斜率为)（2）斜截式 (b为直线在y轴上的截距).（3）两点式 ()(、 ().(4)截距式 (分别为直线的横、纵截距，)（5）一般式 (其中A、B不同时为0).3.两条直线的平行和垂直 (1)若，则有(2)若,且A1、A2、B1、B2都不为零,有谁垂（
8、吹）谁（3）直线:中，若,则垂直于轴；若,则垂直于轴。4四种常用直线系（具有共同特征的一族直线）方程 (1)定点直线系方程：经过定点的直线系方程为(除直线),其中是待定的系数; 经过定点的直线系方程为,其中是待定的系数(2)共点直线系方程：经过两直线,的交点的直线系方程为(除)，其中是待定的系数(3)平行直线系方程：直线中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程与直线平行的直线系方程是()，是参变量(4)垂直直线系方程：与直线 (A0，B0)垂直的直线系方程是,是参变量5.点到直线的距离 (点,直线：).6. 圆的三种方程（1）圆的标准方程 ；（2）圆的一般方程 (0).（3）圆的直径式方程
9、 (圆的直径的端点是、).7.点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种若，则点在圆外;点在圆上;点在圆内.8.直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有三种:;.其中.9.两圆位置关系的判定方法：设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，10.圆的切线方程：已知圆过圆上的点的切线方程为;11.空间直角坐标系中点的坐标及距离公式：3.设A，B，则必修三统计1. 抽样方法主要有：简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常常用于总体个数较多时，它的主要特征就是均衡成若干部分，每一部分只取一个；分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用
10、于总体中有明显差异。它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等。每层样本数量与每层个体数量的比与样本容量与总体容量的比相等或相近。即：或者 2.简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较类 别共同点各自特点联 系适 用范 围简 单随 机抽 样（1）抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等（2）每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样从总体中逐个抽取总体个数较少将总体均分成几部 分，按预先制定的规则在各部分抽取在起始部分样时采用简随机抽样总体个数较多系 统抽 样将总体分成几层，分层进行抽取分层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成分 层抽 样3.总体分布的估计：用样本估计总体的方法就是
11、把样本的频率作为总体的概率。一般地，样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图.4. 用样本的数字特征估计总体的数字特征中位数：算出来可避免极端数据，代表着数据总体的中等情况。 （ 如果总数个数是奇数的话,按从小到大的顺序,取中间的那个数 ； 如果总数个数是偶数个的话,按从小到大的顺序,取中间那两个数的平均数）众数： 一般来说，一组数据中，出现次数最多的数就叫这组数据的众数。 例如：1，2，3，3，4的众数是3。 但是，如果有两个或两个以上个数出现次数都是最多的，那么这几个数都是这组数据的众数。 例如：1，2，2，3，3，4的众数是2和3。 还有，如果所有数据出现的次
12、数都一样，那么这组数据没有众数。 例如：1，2，3，4，5没有众数。样本平均数：；样本方差：；样本数据x1,x2, xn的标准差 5. 回归直线必过样本平均点，其中为斜率，如，则变量每增加1个单位时，变量平均减少1个单位；线性回归方程方程为系数公式: , 。算法初步开始S1=0,i=1i=4输出S结束是否图输入S1=S1+xii=i+11. 画出计算的程序框图，如图； 对图，若输入，则执行程序后输出y的值为:_开始s=0i=2s=s+i2i=i+2i1输出y结束N输入yYy=4xx1NY图开始S=0,k=1k11输出s结束是否图 某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月
13、均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为:(单位：吨)。根据如图所示的程序框图，若分别为1，1.5，1.5，2，则输出的结果s为_. 如果执行下面的程序框图，如图，输入N=5,则输出的数等于_； 阅读下面的程序框图，运行相应的程序后，则输出S的值为_.概率1.等可能性事件的概率：= （古典概率公式）2. P（A）=（几何概率公式）必修4三角函数1终边相同的角的集合：;角度与弧度的换算：弧长与扇形的面积公式：弧长，扇形面积.常见三角不等式若，则；若，则； .半个月亮爬上来2.常用三角函数不等式及相关等式的解集： 的集合是的集合是的集合是所谓伊人 在水一方 的集合是；的集合是的集合是
14、。3. 对于“”三个式子，已知其中任意一个式子的值，可求出其余二式的值。三角函数的诱导公式: “奇变偶不变，符号看象限， ， ”形似角中的角不论多大，都看作锐角；形似角在原名称、原象限中的符号作为等式右边的符号；注意：总共两套诱导公式（一套是函数名不变；另一套是函数名必须改变）；对于余弦函数和正切函数的诱导公式规律记忆同正弦函数。4.三角函数的周期公式 函数，xR及函数，xR(A,为常数，且A0，0)的周期；函数，(A,为常数，且A0，0)的周期.作y=sinx（长度为2p的某闭区间）的图像得y=sin(x+)的图像得y=sinx的图像得y=sin(x+)的图像得y=sin(x+)的图像得的图
15、象，先在一个周期闭区间上再扩充到R上。沿x轴平移| 个单位（左加右减）横坐标伸长或 缩短到原来的 倍横坐标伸长或缩 短到原来的 倍沿x轴平移|个单位（左加右减）纵坐标伸长或缩 短到原来的A倍纵坐标伸长或缩 短到原来的A倍5.类正弦函数的图像的变换：两种办法殊途同归。类正弦函数的参数计算：振幅，。注意：对于类余弦函数也有以上相应的结论。7.正弦函数和余弦函数的图像和性质函数图像定义域R值域最值时，时，时，时，单调性时，增函数 时，减函数 时，减函数时，增函数奇偶性奇函数偶函数周期性最小正周期为对称性对称轴：对称中心：对称轴：对称中心：8.正切函数的图像和性质函数图像 定义域值域R单调性时，增函数
16、 奇偶性奇函数周期性最小正周期为对称性对称中心：平面向量尾首接 首尾联1.向量的加减法的代数结构： 首首接 尾尾联 指向被减向量 2.平面向量基本定理 如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1、2，使得a=1e1+2e2（不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底）3向量平行与垂直的坐标表示设=,=，且，则 ()；.4. a与b的数量积(或内积)：ab=|a|b|cos其几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积5.平面向量的坐标运算(1)设a=,b=，则a+b=；(2)设a=,b=，则a
17、-b=；(3)设A，B,则；(4)设a=，则a=；(5)设a=,b=，则ab=.6.两向量的夹角公式：(a=,b=).7.平面两点间的距离公式：=(A，B).8.线段的定比分公式：设，是线段的分点,是实数，且，则中点的向量形式：平面内，设线段的中点为，为直线外任意一点，则有;设此时，则中点的坐标公式：9.三角形的重心坐标公式：ABC三个顶点的坐标分别为、,则ABC的重心的坐标是.10. 三角形四“心”向量形式的充要条件设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则（1）为的外心.（2）为的重心.（3）为的垂心.（4）为的内心.三角恒等变换1.同角三角函数的基本关系式：，=推论：；（正负号取决于所在的
18、象限）2.和角与差角公式(正弦平方差公式); =(辅助角所在象限由点所在的象限来决定,且 ).3.二倍角公式：辅助直角三角形万能公式：4.半角公式（降幂公式）：必修5 数 列1.自然数和公式：常见的拆项公式： ；数列的通项公式与前n项的和的关系 （注：该公式对任意数列都适用） （注：该公式对任意数列都适用）2. 等差数列的通项公式：一般式：；推广形式： ；前项和形式（注：该公式对任意数列都适用）前n项和公式为： 数列为等差数列（，为常数） 常用性质：若m+n=p+q ，则有 ；特别地：若的等差中项，则有2n、m、p成等差数列；等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如，）仍是等差数列；为等
19、差数列，为其前n项和，则，也成等差数列； ； 1+2+3+n=3. 等比数列的通项公式：一般形式：；推广形式：，（视的奇数或偶数等来开方得到的值）前项和形式（注：该公式对任意数列都适用）前n项的和公式为：，或.数列为等比数列 常用性质：若m+n=p+q ，则有 ；特别地：若的等比中项，则有 n、m、p成等比数列;等比数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如，）仍是等比数列；为等比数列，为其前n项和，则，也成等比数列（当或者且不是偶数时候成立）；设等比数列的前项积为，则，成等比数列解三角形地位相同等号两边1.正弦定理：.（R为外接圆的半径，也是外接圆半径的一种算法。）.，等；，等；余弦定理正弦
20、定理和余弦定理的应用解题常与三角形内角和定理相伴。解题时注意一种重要关系：在中，给定角的正弦或余弦值，则角的正弦或余弦有解（即存在）2. 三角形内角和定理：在ABC中，有3. 面积定理（1）（分别表示a、b、c边上的高）.（2）(3) (其中为的外接圆的半径)（R为外接圆的半径，也是外接圆半径的一种算法。）(其中为的内切圆的半径，也能导出内切圆半径的一种算法。顺便说下，直角三角形中内切圆的半径，其中为两条直角边，为斜边。)(其中，海伦公式)（注意：此时以坐标原点O为一个顶点的三角形的面积公式）；设，则不 等 式1.常用不等式：重要不等式：(当且仅当ab时取“=”号)；均值不等式：(当且仅当ab
21、时取“=”号)；三角形不等式：（对于时，当同号时右边取等号，当异号时左边取等号；对于时，易判断等号成立的条件）；（对于时，当同号时左边取等号，当异号时右边取等号；对于时，易判断等号成立的条件+）“积定和最小 和定积最大”“一定二正三相等”2.极值定理已知都是正数，则有（1）若积是定值，则当时和有最小值；（2）若和是定值，则当时积有最大值.推广形式：已知，则有（1）若积是定值,则当最大时,最大；当最小时,最小.（2）若和是定值,则当最大时, 最小；当最小时, 最大.对于的情形“大射线小线段”3.一元二次不等式，如果与同号，则其解集在两根之外；如果与异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根外，异
22、号两根间.简单的高次不等式的解法：数轴标根法（穿针引线法）。注意重因式的处理，奇次重根一次穿过，偶次重根穿而不过。-3-115-例如：，如图 从图中易知解集为大射线 小线段4.含有绝对值的不等式，当a 0时，有；或5. 理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：，；6. 或(其中A、B不同时为0).所表示的平面区域设直线，则或所表示的平面区域是：是0，（0，1）、（1，0）试非0，（0、0）试若,则用原点试，结果适合不等式，表示原点所在的平面区域就是。否则，边界的另一区域才是；若，则用点或者试，方法同上。选修2-1常用逻辑用语1.真值表（表1）非或且真真假真同真为真同
23、假为假真假相对真真假假真假假真真真假假假真假假2.常见结论的否定形式（见表2）原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有个至多有（）个小于不小于至多有个至少有（）个对所有，成立存在某，不成立或且对任何，不成立存在某，成立且或12.四种命题的相互关系如下图所示原命题“”逆命题“”否命题“”逆否命题“”互逆互逆互否互否为互逆否互为逆否交换位置 同时否定一个命题一种形式两样说法13.充要条件（1）若，则说是的充分条件，同时是的必要条件（2）充要条件：若，且，则是的充要条件.另外：如果条件最终都可化为数字范围，则可转化为集合的包含关系来刻画，二者逻
24、辑关系一目了然。小充分 大必要 等充要设， 若，则是的充分不必要条件； 若,则是的必要不充分条件；若，则是的充要条件。空间向量与立体几何1.空间向量的直角坐标运算律（1）若，； 夹角：(规定：)模长公式： ，2.若，如下图，则.3.直线的方向向量： 我们把直线上的向量以及与共线的向量叫做直线的方向向量.4.平面的法向量：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量。5.用向量描述空间线面关系：设空间两条直线的方向向量分别为，两个平面的法向量分别为，则由如下结论空间线面关系平 行垂 直与与与6.法向量在求面面角中的应用：原理：一个二面角的平
25、面角1与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角2相等或互补。7.法向量在求线面角中的应用：原理：设平面的斜线l与平面所的角为1，斜线l与平面的法向量所成角2，则1与2互余或与2的补角互余。8.利用向量求二面角的大小。方法一：转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的两个向量的夹角（注意：要特别关注两个向量的方向）如图：二面角-l-的大小为，A，Bl，AC，BD, ACl，BDl 则= 方法二：先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角。如右图：已知二面角-l-，在内取一点P， 过P作PO，及PAl,连AO，则AOl成立，PAO就是二面角的平
26、面角 用向量可求出|PA|及|PO|，然后解三角形PAO 求出PAO。方法三：转化为求二面角的两个半平面的法向量夹角的补角。如右图P为二面角-l-内一点，作PA， PB，则APB与二面角的平面角互补。 圆锥曲线与方程1.椭圆定义：；（即，注意） 设是椭圆上任意一点，且，则有下表是椭圆的标准方程及几何性质。标准方程图形xyF1F2OA1A21B21B1F1F2yxOB1范围|x|a,|y|b|x|b,|y|a对称性关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称顶点坐标焦点坐标半长轴长半轴椭长为，短半轴长为焦距焦距为 关系离心率 分母较大者的分子是谁，焦点就在谁轴上（1）椭圆焦半径公式：，；（2）椭圆
27、的的内外部：点在椭圆的内部；点在椭圆的外部；椭圆与直线相切的条件是.2.双曲线定义：，（即，注意，其中为同一象限内的实顶点、虚顶点，为坐标原点。）设是双曲线上任意一点，且，则有设是双曲线上任意一点，有（当且仅当点落在顶点时取到等号。）下表是其标准方程及几何意义。标准方程图形范围或者或者对称性关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称顶点坐标焦点坐标半长轴实半轴长为，虚半轴长为焦距焦距为 关系离心率 渐近线平方项为正者的分子是谁，焦点就在谁轴上 (1)双曲线的焦半径公式：，;(2)双曲线的内外部： 点在双曲线的内部；点在双曲线的外部;双曲线与直线相切的条件是.3. 抛物线的焦点弦（过焦点的弦）为
28、，则有如下结论：焦半径公式：；焦点弦长；通径长为；，.抛物线的内外部： 点在抛物线的内部；点在抛物线的外部；抛物线上的动点可设为P，可简化计算。 抛物线的切线方程： 抛物线上一点处的切线方程是；抛物线与直线相切的条件是.四大方程 四条规律：一次项是啥，对称轴是啥轴；一次项系数的正负，代表开口方向的上下或右左；焦点坐标一个是0，另一非0，且刚好是 一次项系数的；准线方程的数值刚好是焦点的非0坐标的相反数。.抛物线：平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的点轨迹。下表是其标准方程及图形方程焦点准线图形4.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或（弦端点A，由方程 消去y得到，,为直线的斜率）;中心在原点，
29、坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为；处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设A为椭圆上不同两点，是中点，则；对于双曲线，类似可得：；对于抛物线有.5.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线关于点成中心对称的曲线是.（2）曲线关于直线成轴对称的曲线是（其中这里的跟的相同）后记依据本人10多年的一线高中数学教学经历和经验，整理了北师大版教材必修1必修5以及选修2-1的各章节常用公式及知识点，形成该资料。有目录，按章节顺序编排。对于教师上课、出试卷、编排教案、制作课件等工作大有帮助。将会带来很大的方便，以致于节省更多的时间投入科研或家庭生活。对于同学们，也是学习中现成的系统化的好材料，不仅将给学习带来很大的收获，同时为自己节省更多时间，投入数学更多的别的方面的学习时间。由于本人水平有限，失误和错误之处在所难免，恳请读者批评指正，谢谢！未完待续