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1、-哈尔滨市中考数学题库增容试题精选-第 14 页一次函数与几何综合4探究综合4方程性应用题4统计应用题4几何证明题4方案设计题4二次函数小应用题2解直角三角形2画图题2【探究题】如图，在平面直角坐标系中，ABC是直角三角形，ACB=90,点A (-15,0), AB=25，AC=15,点C在第二象限,点P是y轴上的一个动点,连结AP,并把AOP绕着点A逆时钟方向旋转.使边AO与AC重合.得到ACD。(1) 求直线AC的解析式；(2) 当点P运动到点(0，5)时，求此时点D的坐标及DP的长；(3) 是否存在点P，使OPD的面积等于5，若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。【答
2、案】（1）；（2），；（3）设,则当时，解得，（舍去）当时，解得，当时，解得（舍去），存在点，使OPD的面积等于5，；【探究题】如图，将边长为4的正方形纸片，置于平面直角坐标系内，顶点A在坐标原点，AB在x轴正方向上，E、F分别是AD、BC的中点，M在DC上，将ADM沿折痕AM折叠，使点D折叠后恰好落在EF上的P点处(1)求点M、P的坐标；(2)求折痕AM所在直线的解析式 (3)设点H为直线AM上的点，是否存在这样的点H，使得以H、A、P为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：(1)依据题意AP=AD=4，AE=2EP=P点坐标为(2，2) 设
3、DM=x，则MP=x，过M作MNEF，垂足为N，则MN=2，PN=2x在RtMNP中，22(2x)2=x2解之得：x=M点坐标为(，4) (2)设折痕AM所在直线的解析式为y=kx(k0)，则4=kk=折痕AM所在直线的解析式为y=x (3)H1(2，2)，H2(，2)，H3(2，2)，H4(2，6) 【探究题】如图，矩形OABC的边OC、OA分别与轴、轴重合，点B的坐标是，点D是AB边上一个动点（与点A不重合），沿OD将OAD翻折，点A落在点P处（1）若点P在一次函数的图象上，求点P的坐标；（2）若点P满足PCB是等腰三角形，求点P的坐标；（3）当线段OD与PC所在直线垂直时，在PC所在直线
4、上作出一点M，使DM+BM最小，并求出这个最小值【答案】解：（1）点P在一次函数的图象上，设P如答图1，过P作PH轴于H在中，PH，OH，OP=1，解得：，（不合题意，舍去） P（2）连结PB、PC.若PB=PC，则P在BC中垂线上设P.如答图2，过P作PH轴于H在中，PH，OH，OP=1，解得：，（不合题意，舍去）P. 若BP=BC，则BP=1，连结OBOP=1，OP+PB=2在中，OCB=90，OB=OP+PB=OB，O、P、B三点共线，P为线段OB中点。又P. 若CP=CB，则CP=1，OP=1，PO=PC，则P在OC中垂线上设P.过P作PH轴于H在中，PH，OH，OP=1，解得：，P或
5、P（3）如答图3，OAD沿OD翻折，点A落在点P处，OD垂直平分AP.PCOD，A、P、C三点共线.在中，OAD=90，OA=1，又可得：AOD=30，AD=AO，D. 作点B关于直线AC的对称点，过点作AB于点N，连结，与AC交点为M，此点为所求点。=60，=30，=30在中，=90，DM+BM的最小值为【探究题】如图，在RtABC中，A90，AB6，AC8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQBC于Q，过点Q作QRBA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动设BQx，QRy（1）求点D到BC的距离DH的长；（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自
6、变量的取值范围）；（3）是否存在点P，使PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由【答案】解：（1），点为中点，（2），即关于的函数关系式为：（3）存在，分三种情况：当时，过点作于，则当时，-10分当时，则为中垂线上的点，于是点为的中点，综上所述，当为或6或时，为等腰三角形【统计初步】在“六一”儿童节来临之际，初中某校开展了向山区“希望小学”捐赠图书活动，全校1000名学生每人都捐赠了一定数量的图书.已知各年级人数分布的扇形统计图如图（1）所示.学校为了了解各年级捐赠图书情况，从各年级中随机抽查了200名学生，进行捐赠图书情况的统计，绘制成如图（2）的频数分布
7、直方图.根据以上信息解答下列问题： （1）本次调查的样本是 ；（2）从图（2）中，我们可以看出人均捐赠图书最多的是 ；（3）随机抽查的200名学生中初三年级学生共捐赠图书多少册？（4）估计全校共捐赠图书多少册？【答案】解：（1）本次调查的样本是所抽取的200名学生捐赠图书的情况； （2）人均捐赠图书最多的是初二年级； （3）200355=350（册）； 答：初三年级学生共捐赠图书350册 . （4）1000354.510003551000306=5125（册）【统计初步】某中学学生会为考察该校学生参加课外体育活动的情况，采取抽样调查的方法从篮球、排球、乒乓球、足球及其他等五个方面调查了若干名学
8、生的兴趣爱好（每人只能选其中一项），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次考察中一共调查了多少名学生？（2）在扇形统计图中，“乒乓球”部分所对应的圆心角是多少度？（3）补全条形统计图；（4）若全校有1800名学生，试估计该校喜欢篮球的学生约有多少人？【答案】（1），这次考察中一共调查了60名学生 （2）， 在扇形统计图中，“乒乓球”部分所对应的圆心角为 （3）补全统计图略： （4）， 可以估计该校学生喜欢篮球活动的约有450人【统计初步】今年4月，国民体质监测中心等机构开展了青少年形体测评专家组随机抽查了某市若干名初中学生坐姿、站姿、走姿的好坏
9、情况我们对专家的测评数据作了适当处理(如果一个学生有一种以上不良姿势，我们以他最突出的一种作记载)，并将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请你根据图中所给信息解答下列问题：（1）请将两幅统计图补充完整；（2）在这次形体测评中，一共抽查了 名学生，如果全市有10万名初中生，那么全市初中生中，三姿良好的学生约有 人；（3）根据统计结果，请你简单谈谈自己的看法【答案】解：（1）扇形图中填：三姿良好12%，条形统计图略 （2）500，12000 （3）答案不惟一，只要点评具有正确的导向性，且符合以下要点的意思，均可给分要点：中学生应该坚持锻炼身体，努力纠正坐姿站姿走姿中的不良习惯，促进身心健康发展
10、 【统计初步】某校为了了解九年级学生体育测试成绩情况，以九年级（1）班学生的体育测试成绩为样本，按A、B、C、D四个等级进行统计，并将统计结果绘制成下两幅统计图（如图），请你结合图中所给信息解答下列问题：（说明：A级：90分100分；B级：75分89分；C级：60分74分；D级：60分以下）（1）D级学生的人数占全班人数的百分比为 ；（2）扇形统计图中C级所在扇形圆心角度数为 ；（3）该班学生体育测试成绩的中位数落在等级 内；（4）若该校九年级学生共有500人，请你估计这次考试中A级和B级的学生共有多少人。【答案】（1）4.（2）.（3）B级（4）由题意可知，A级和B级学生的人数和占全班总人数
11、的%，%.估计这次考试中A级和B级的学生共有380人.【解直角三角形】哈尔滨市在城市建设中，要折除旧烟囱（如图所示），在烟囱正西方向的楼的顶端，测得烟囱的顶端的仰角为，底端的俯角为，已量得 拆除时若让烟囱向正东倒下，试问：距离烟囱东方远的一棵大树是否被歪倒的烟囱砸着？请说明理由()【答案】解：在中，在中，烟囱高这棵大树不会被歪倒的烟囱砸着【解直角三角形】小明站在A处放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米，这时测得CBD=60，若牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面高度。(计算结果精确到0.1米，)【答案】解：在RtBCD中，CD=BCsin60=20，又DE=AB=1.5CE=CDDE=(
12、米)答：此时风筝离地面的高度约是18.8米【画图题】将图，将一张直角三角形纸片ABC折叠，使点A与点C重合，这时DE为折痕，CBE为等腰三角形；再继续将纸片沿CBE的对称轴EF折叠，这时得到了两个完全重合的矩形（其中一个是原直角三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形），我们称这样两个矩形为“叠加矩形”.图 图 图（1）如图，正方形网格中的ABC能折叠成“叠加矩形”吗？如果能，请在图中画出折痕；（2）如图，在正方形网格中，以给定的BC为一边，画出一个斜三角形ABC，使其顶点A在格点上，且ABC折成的“叠加矩形”为正方形；【答案】【画图题】已知两个连体的正方形（有两条边在同一条直线
13、上）在正方形网格上的位置如图所示，请你把它分割后，拼接成一个新的正方形.要求：在正方形网格图中用实线画出拼接成的新正方形且新正方形的顶点在网格的格点上，不写作法）.【答案】【方案设计】为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A、B两类薄弱学校全部进行改造。根据预算，共需资金1575万元。改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元.（1）改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元？（2）我市计划今年对该县A、B两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担。若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的
14、改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元。请你通过计算求出有几种改造方案？【答案】(1) 设改造一所A类学校和一所B类学校所需的改造资金分别为a万元和b万元依题意得 a+2b=230 2a+b=205解之得 a=60b=85(2) 设今年改造A类学校x所，则改造B类学校为（6-x）所，依题意得：50x+70(6-x)40010x+15(6-x)70解得 1x4 x取整数 x=1，2，3，4.即共有4种方案。【方案设计】2007年我市某县筹备20周年县庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配两种园艺造型共50个摆放
15、在迎宾大道两侧，已知搭配一个种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来（2）若搭配一个种造型的成本是800元，搭配一个种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？【答案】解：设搭配种造型个，则种造型为个，依题意，得： 解这个不等式组，得：， 是整数，可取，可设计三种搭配方案：种园艺造型个种园艺造型个种园艺造型个种园艺造型个种园艺造型个种园艺造型个 （2）方法一：由于种造型的造价成本高于种造型成本所以种造型越少
16、，成本越低，故应选择方案，成本最低，最低成本为：（元）方法二：方案需成本：（元）方案需成本：（元）方案需成本：元应选择方案，成本最低，最低成本为元【方案设计】某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半电视机与洗衣机的进价和售价如下表：类别电视机洗衣机进价（元/台）18001500售价（元/台）20001600计划购进电视机和洗衣机共100台，商店最多可筹集资金161 800元（1）请你帮助商店算一算有多少种进货方案？（不考虑除进价之外的其它费用）（2）哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多？并求出最多利润（利润售价进价）【答
17、案】解：（1）设商店购进电视机x台，则购进洗衣机（100x）台，根据题意，得，解不等式组，得x即购进电视机最少34台，最多39台，商店有6种进货方案（2）设商店销售完毕后获利为y元，根据题意，得y（20001800）x(16001500)(100x)100x10000 1000，当x最大时，y的值最大即当x39时，商店获利最多为13900元【方案设计】某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李（1）设租用甲种汽车辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案；（
18、2）如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请你选择最省钱的一种租车方案【答案】解：（1）由租用甲种汽车辆，则租用乙种汽车辆由题意得： 解得： 即共有2种租车方案：第一种是租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆；第二种是租用甲种汽车6辆，乙种汽车2辆 （2）第一种租车方案的费用为元；第二种租车方案的费用为元第一种租车方案更省费用【几何证明题】如图，两个全等的直角三角形ABC和A1B1C1中，ACBA1C1B1 90，两条相等的直角边AC，A1C1在同一直线上，A1B1 与AB交于O，AB 与B1C1交于E1，A1B1 与BC交于E（1）写出图中除ABCA1B1C1外的所有其它各组
19、全等三角形（不再连线和标注字母）；（2）求证：B1E1 BE【答案】（1）ACEA1C1 E1，OBEO1B1 E1 （2）ABCA1B1C1，AC A1C1 ，BC B1C1A C1A1 C 已知AA1 ，ACEA1C1 E1 90，ACEA1C1 E1，CEC1 E1，又BC B1C1 ，B1E1 BE【几何证明题】已知：如图，在梯形ABCD中，ADBC，BC=DC，CF平分BCD，DFAB，BF的延长线交DC于点E求证：（1）BFCDFC；（2）AD=DE【几何证明题】如图，以锐角CDE的边CD、DE为边长向外分别作正方形ABCD和DEFG，连接AE和CG，交于点H，CG与DE交与点K.
20、（1）求证：AE=CG；（2）求证：DGEK=GKHE【几何证明题】如图，点D是O的直径CA延长线上一点，点B在O上，且ABADAO求证：BD是O的切线【一次函数与几何综合题】如图，直线：与两直线：，：分别相交于M、N两点.设点P为x轴上的一点，过点P的直线：与直线、分别交于A、C两点，以线段AC为对角线作正方形ABCD.（1）写出正方形ABCD各顶点的坐标（用b表示）；（2）当点P从原点O出发，沿着x轴的正方向运动时，设正方形ABCD和OMN重叠部分的面积为S，求S与b之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.【答案】（1） 由，得，A，同理C， 四边形ABCD是正方形， ABDCy轴，AD
21、BCx轴，可得B，D； (图1)(图2)当D在上时（如图1），当B在上时（如图2）， 当时（如图1、3），直线l在直线上或下方，点D在直线上或下方，正方形ABCD的边长， 当时（如图4），直线l在直线下方，点D在直线上方，设DC与直线交于点E，则E 当时，直线在直线上或上方，且点B在下方，（如图5），若设AB与直线交于点F，则F， ， 当时，直线在直线上方，且点B在上或上方（如图2）， （图3)(图4)(图5)说明：只要分类表达清楚，可不用图表示。【一次函数与几何综合题】如图，以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，1），直线x=1交x轴于点B。P为线段AB上一动点，作直线PCPO，交直线
22、x=1于点C。过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交直线x=1于点N。证明：OP=PC；当点P在第一象限时，设AP长为m，OBC的面积为S，请求出S与m间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使PBC成为等腰三角形的点P的坐标；如果不可能，请说明理由。【答案】【一次函数与几何综合题】如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCO的边AB=12,BC=6.直线y=x+b与y轴交于点P,与边OC交于点E,与边AB交于点F.(1)若直线y=x+b平分矩形ABCO的面积,求b的值;(2)当直线y=
23、x+b沿(1)情形下的PFE为始边绕点P顺时针旋转时,与直线AB和x轴分别交于点N、M,问:是否存在ON平分ANM的情况.若存在,求线段EM的长,若不存在,说明理由.(3)沿在(1)条件下的直线将矩形ABCO折叠.若点O落在边AB上,求出该点坐标,若不在边AB上,求将(1)中的直线沿y轴怎样平移,使矩形ABCO沿平移后的直线折叠,点O恰好落在边AB上.【答案】解:(1)因为直线y=x+b平分矩形ABCO的面积,所以其必过矩形的中心，由题意得矩形的中心坐标为(6,3)， 3=6+b,解得b=12 (2)假设存在直线y=x+b以PFE为始边绕点P顺时针旋转时,与直线AB和x轴分别交于点N、M,且O
24、N平分ANM的情况.当直线y=x+12与边AB和OC相交时.过点O作OQPM于点Q,因为ON平分ANM,且OAAB,所以OQ=OA=6,由(1)知OP=12,在RtOPQ中,解得OPM=30; NMQ在RtOPM中,解得OM=4;当y=0时,有x+12=0,解得:x=8,所以OE=8所以ME=8-4当直线y=x+12与直线AB和x轴相交时.同上可得:ME=8+4 (或由OM=MN解得)O/(3) 假设沿直线y=x+12将矩形ABCO折叠,点O落在边AB上O/处.连结PO/,OO/.则有PO/=OP,由(1)得AB垂直平分OP,所以PO/=OO/,则OPO/为等边三角形.则OPE=30,则(2)
25、知OPE30所以沿直线y=x+12将矩形ABCO折叠,点O不可能落在边AB上. 10分设沿直线y=x+a将矩形ABCO折叠,点O恰好落在边AB上O/处.O/P/连结P/O/,OO/.则有P/O/=OP/=a,则由题意得: AP/= a-6,OPE=AO/O在RtOPE中,tanOPE=在RtOAO/中,tanAO/O=所以=,即=所以AO/=9在RtAP/O/中,由勾股定理得:(a-6)2+92=a2解得:a=所以将直线y=x+12沿y轴向下平移单位得直线y=x+,将矩形ABCO沿直线y=x+折叠,点O恰好落在边AB上. 【一次函数与几何综合题】在直角梯形OABC中，OABC，A、B两点的坐标
26、分别为A（13，0），B（11，12），动点P、Q从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC向C运动，当点P停止运动时，点Q同时停止运动.线段OB、PQ相交于点D，过点D作DEOA，交AB于点E，射线QE交轴于点F.动点P、Q运动时间为t（单位：秒）.（1）当t为何值时，四边形PABQ是平行四边形，请写出推理过程；（2）当t=3秒时，求PQF的面积；（3）当t为何值时，PQF是等腰三角形？请写出推理过程.【答案】1）设要四边形PABO为平行四边形，则（2）当时，OP=6，CQ=113=9，BQ=3.AF=6，F（19，0）（3）QP=AP，作O
27、G轴于G，则PQ=FP，FQ=FP，综上，当时，PQF是等腰三角形. 【方程型应用题】我国是一个严重水资源缺乏的国家，为了鼓励居民节约用水，某市城区水费按下表规定收取：每户每月用水量不超过10吨（含10吨）超过10吨的部分水费单价1.30元/吨2.00元/吨学生张伟家三月份共付水费17元，他家三月份用水多少吨？【答案】解：设他家三月份用水x吨 依题意，得 1.310（x10）217 解这个方程，得 x=12 答：张伟家三月份用水12吨. 【方程型应用题】如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地怎样围才能使矩形场地的面积为750m2?能否使所围矩形场地的面积为81
28、0m2，为什么?【答案】解：设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为米依题意，得 即，解此方程，得 墙的长度不超过45m，不合题意，应舍去当时，所以，当所围矩形的长为30m、宽为25m时，能使矩形的面积为750m 不能因为由得又(80)2411620=800，上述方程没有实数根因此，不能使所围矩形场地的面积为810m2【方程型应用题】学校这了美化校园环境，在一块长40c，宽20m的长方形空地计划新建一块长9m，宽7m的长方形花圃。（1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1m2，请你给出你认为合适的三种不同的方案；（2）在学校新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加2m2，如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由。【答案】