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1、在响应曲面方法中三类中心复合设计的比较研究,航天工程试验设计方法及数据分析 2011年12月13日,目 录,一、中心复合设计(CCDs)的一些概念,响应曲面方法包括两阶段设计。第一阶段设计包括进行因子试验设计(部分因子试验或全因子试验)，拟合一阶数学模型，确定模型及最速上升(或下降)方向并求取该阶段最优值。根据最速上升或下降方向，可以确定下次试验各控制变量的变化范围。第二阶段设计的主要工作是当发现模型拟合误差显著时，拟合二次回归方程，绘制出响应曲面与等值线图。 CCDs得以最广泛应用的原因可归因于以下三方面: (1) CCDs的序贯本质, 它自然地将因子点划分为两个子集, 第一个子集估计线性和
2、两因子交互效应, 第二个子集估计曲性效应; (2) CCDs很有效, 以最少的试验循环提供了关于实验变量和实验误差的诸多信息; (3)CCD s很灵活, 其设计类型可以应用于不同的操作域和设计域。因而CCDs被广泛应用于工程、科学和工业中。,1.1 一些概念,操作域(Operability Region)，也称可行域。 是在安全性允许的条件下，加工设备和生产过程的加工操作范围所定义的变量集合，其上下限所界定的几何区域，用O(x)表示。除非对过程有深入的了解，一般情况下，操作域是不明确的。,设计域(Region of Interest)，也称定义域。 指由设计变量各个水平集合的上下限所界定的几何
3、区域，用R表示。在此区域内，可以用一个多项式模型很好地拟合真实的函数关系。每个试验各自的区域或相同或不同，但都在操作域之内。,1.1 一些概念,1.1 一些概念,1.2 CCDs简介,因子点：立方体的顶点。主要用于估计线性项以及交互项。 中心点：位于图形中间的点。中心点提供关于模型中是否存在曲性的信息并可以提供有关纯误差项的信息。 轴向点：“星”点。如果存在曲性，轴向点可用于估计纯二次项。不能提供有关交互作用项的信息。,1.3 CCC、CCI和CCF简介,1.4 轴向距离和中心点数目的作用,二、设计的评价、比较和应用选择,在RSM设计进行评价比较时, 应该根据以下三个方面的标准来衡量: 首先是
4、Box and Wilson(1951)在其文章中引入了复合设计的概念, 从而能够有效地估计二阶模型的平方项, 利用预测方差在其设计域上的分布来评价一个设计, 得出了旋转性这一特性; 另一个重要方面是指出了预测方差应具有稳定性这一特点, 因为很多设计在其设计边界上的方差是不稳定的, 从而得出了一致精度的概念; 第三个有影响的工作是Box and Draper( 1959, 1963) 在其文章中引入了RSM 设计对模型不符合规格限(Model Misspecification) 的稳健性概念, 不仅由于模型不符合规格限所造成的偏移应该考虑, 即使是中等程度的不符合, 使用者也必须在设计选择中认
5、真考虑。,2.1 从设计域及其复杂性上比较,为了成功地运行任一安排的试验, 操作域必须包括设计域。这意味着过程必须能够在设计域上具有可操作性, 因此, 正确的选择CCDs的第一步就是将设计域与操作域相比较。 在球形域中, 当对给定变量的最大尺寸进行变动时, 可以不必考虑操作域问题。如果实验者能够充分推测出优化目标存在于所研究的变量区域内, 一般采用球形域。在许多实际情况下, 当过程不能够在设计域的一个或者多个边界点上操作时, 设计域与操作域相同, 这时设计域是个立方体。 如果过程不能在区域的一个或者多个立方体的顶点上操作, 那么CCF是不合适的, 这就留给实验者两个选择: 减少变量的区域产生一
6、个新的CF, 或者产生一个CCI。由于将轴向点放在变量范围的上下界, 析因点就落在了设计空间的内部, CCI限制了由变量所定义的区域的真实设计空间。,2.1 从设计域及其复杂性上比较,2.1 从设计域及其复杂性上比较,第三步考虑设计的复杂性。 在应用CCC 时, 延伸所定义的变量界限得到轴向点, 这就需要操作过程中的每个变量具有五个水平(对于CC I同样)。相反, 对于CCF, 仅需要每个变量的三个水平, 使之成为一个更简单的设计。实验者应该充分重视由于设计水平的增加而增加的复杂性, 即使一个重新装配过程的成本不高且不费时间, 但这会引起更多的实验误差变异来源。根据经验, 在应用实验设计时,
7、最常见的失效原因是由于无法预期的较大的实验误差所引起的, 因此选择误差来源少的设计是有道理的, 因为在多数情况下, 可旋转性设计的优势不能够补偿所增加的复杂性和相关的风险。,2.2 从设计的稳健性方面进行比较,三、举例,发动机连杆装配的例子进行模拟分析, 已知有三个因子(底座基准面的平面度、连杆长度和连杆的垂直度) 显著地影响目标函数(损失函数和加工成本之和), 将三个因子的公差水平设为五个和三个水平来模拟这三个设计, 并将利用JMP分析所得到的实验结果总结于表1中。,三、举例,首先注意到三个设计所拟合的模型都是显著的(p0.05), 即模型是充分代表了真实函数的,没有偏倚误差。而且三个设计所
8、达到的拟合程度基本一致，这也说明了CCDs的有效性。其次从均方误差(RMSE ) 来看, CCI最小, CCC最大, 这是由于预测误差的大小是随着设计点与设计域之外的距离呈几何增长的缘故,而在这三种设计中,CCC 的设计域最大; 相对于CCC而言, CCI和CCF对预测响应的外推的稳健性要好, 由此说明轴向距离的选择(设计域) 极大地影响了设计外推的稳健性。,三、举例,从模型系数的估计精度可看出, CCC的估计精度最高, 尤其是平方效应的估计, CCI最差, CCI明显地不如CCC 有效, 这表明设计空间对模型参数的估计精度有影响。而从优化点的坐标值可推断出, 设计域同时极大地影响着优化点的位
9、置。,三、举例,从设计点的预测误差来看, CCC、CCI的轴向点和析因点性能相似; CCF 轴向点要显著地好于析因设计点, 这说明球形设计的一致精度比立方域要好。对于被CCI排除但仍然在CCF的操作域之内的各个顶点而言, 意味着预测误差增加了27%(36.1575435/28.3826518 -1)。从中心点的预测方差来看, CCF具有最高的精度, 误差小, 这说明CCF设计对中心点的数目是稳健的。,四、结论,四、结论,从模拟例子的分析可以看出, 在模型的拟合程度方面这三种设计同样有效, 但在模型的估计精度、方差的稳定性和一致精度以及模型外推的稳健性方面都不同。,四、结论,四、结论,选择CCD
10、s的指导原则 基于可利用的资源和因子集合的限制来选择经典CCDs, 选择由经典设计所推荐的轴向距离和中心点的数目。只要优化点靠近设计空间的中心,设计的选择就不是关键的; 如果优化点位于设计域之外靠近轴向点时, 一致精度和可旋转性就尤其关键。当在CCC和CCF之间决策时, 实验者必须知道是否CCC具有一致的预测误差, 并且设计域的延伸是否充分地弥补由于附加了每个变量两个水平所增加的操作过程的复杂性。 CCC、CCI和CCF各有其优劣和应用条件, 不能等同视之, 在实践应用中必须做出正确的选择才能得到有效的实验设计。,Thank you !,参考文献： 1张志红，何桢，郭伟，在响应曲面方法中三类中心复合设计 的比较研究J，沈阳航空工业学院学报，2007，Vol.24 2胡雅琴，响应曲面二阶设计方法比较研究D，天津：天津 大学，2005,