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1、-求异面直线所成角一个公式-第 4 页求异面直线所成角的一个公式江苏省姜堰中学 张圣官（225500）求两条异面直线所成的角，一般都用“引平行线作角，再解三角形”这一思路。本文通过对一道课本习题的变形、分析，得出求异面直线所成的角的一个公式，简单易记且便于使用。如图1，AB和平面所成的角是1，AC在平面内，AC和AB在上的射影AB所成的角为2，设BAC=，则有cos=cos1cos2（证明略）。我们把该题作如下变形：在平面内作一条平行于AC的直线l，显然l与AB异面，当2为锐角时，BAC的大小即为异面直线l与AB所成的角。如图2，设a、b是两条异面直线，b，a为平面上的射影记为c。若a与所成的
2、角为1，b与c所成的角为2，两条异面直线a和b所成的角为，则cos=cos1cos2(*)。使用公式(*)时首先要确定1和2，而它们都与射影c有关。因此，如何恰当选择，以便于作出a在上的射影c就成了关键，下面以几道高考题为例。例1（1992年全国高考题）如图3所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为A1B1、BB1的中点，那么AM与CN所成角的余弦值是 （ ）（A） （B） （C） （D）解析选平面AB1为公式中的，显然CN、AM、BB1就是公式中的a、b、c。选D.例2（1990年全国高考题）如图4，正三棱锥SABC的侧棱与底面的边长相等，如果E、F分别为SC、AB的
3、中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于 （ ）（A）900 （B）600 （C）450 （D）300解析选平面SCF为公式中的，AB平面SCF，SF为SA在平面SCF上的射影，SA、EF、SF分别为公式中的a、b、c，选C.例3（1995年全国高考题）如图5，A1B1C1ABC是直三棱柱，BAC=900，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是 （ ）（A） （B） （C） （D）解析选平面AC1为公式中的，BCAC，BC平面AC1. D1F1/B1C1/BC，D1F1平面AC1，CF1为BD1在平面AC1上的射影，直线BD1、AF1
4、、CF1就是公式中的a、b、c. 选A.例4（1996年全国高考题）如图6，正方形ABCD所在的平面与正方形ABCDEF所在的平面成600的二面角，则异面直线AD与BD所成角的余弦值是_.解析选平面BF为公式中的，过D作DHAF于H，BA平面DAH，BADH，DH平面BF。这样，AH为DA在平面BF上的射影，DA、BF、AH就是公式中的a、b、c。由条件，即为所求。例5（2000年上海高考题）如图7，四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且AB=BC=2，E是AC的中点，异面直线AD与BE所成角的大小为，求四面体ABCD的体积。 解析选平面ABC为公式中的，则AD、BE、AB即为公式
5、中的a、b、c。设BD=x，则，而，由得x=4. .例6（2002年全国高考题）如图8，正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1中，底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是 （ ） （A）900 （B）600 （C）450 （D）300解析选平面BC1为公式中的过D作DHBC于H，则DH，又E1G，C1H为E1D在上的射影，E1D、BC1、C1H即为公式中的a、b、c. 在直角梯形E1C1HD中，E1C1=，DH=，E1D=，C1H=，. 在C1BH中，BC1=，. 因此，.选B. 公式(*)巧妙地把求异面直线所成的角的问题转化成了求线面角及同一平面内线线角的问题，不必添加过多的辅助线，运算上一般都化为解直角三角形的问题，也在一定程度上提高了运算的准确性。