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1、-初中数学论文：“平行四边形是否存在”问题教学引发的思考-第 6 页初中数学论文“存在型探索问题”解题思考三部曲“平行四边形是否存在”问题教学引发的思考摘要：“存在型探索性问题”是中考中的热点，是学生有兴趣尝试却又不得其法的一种题型，它让学生兴奋也让学生叹惜。究其原因是由于它变化抽象，涵盖数学知识丰富，及思想方式多样。针对学生在解决此类问题中的存在的思维障碍，提出一套问题解决的思维模式，以提高学生解决问题的信心与能力。关键词：存在；动点；思维模式一、问题讲解中的思考在九年级（上）的一次期末复习中，笔者在批改、讲解一道有关“平行四边形是否存在”问题时，发现学生解答此类问题的思维比较困难。于是笔者
2、对学生思维受阻的原因进行分析及尝试帮助学生解决此类问题的思维方式。案例：（2012丹东改编）：已知抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，点A的坐标是（-1，0），O是坐标原点，且OC3OA。（1）求抛物线的函数表达式；（2）直接写出直线BC的函数表达式；（3）如图1，点P（1，k）在直线BC上，点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以A、M、N、P为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由。解：(1);(2) (3)由（2）知点P（1，-2）图1假设存在符合条件的点M；当时，点N、P的纵坐标相同，即点N的纵坐标为-2，代入抛物线的解析式中有：时，平行四边形的对
3、角线PN、AM互相平分；设M（m，0），则 N（m-2，2），代入抛物线的解析式中，有：图2综上，存在符合条件的M点，且坐标为：【分析】本题的第(3)小题是一个典型的“存在型探索性”问题，其本质是“动点”，尽管有些抽象，但难度不算大，从学生得分情况来看却不容乐观，究其原因有：对于动点，部分学生首先心理防线崩溃，犹如“狗咬刺猬，无从下嘴”，由于背景干扰，不知道在图上怎么抓住关键，画出图形。知道在图上画出一两种情况，但由于对情况分析不清，往往出现漏画漏解，有种“盲人摸象”的感觉。计算上的错误。针对以上分析，笔者思考了两个问题:本题是基于二次函数为背景，抛物线是N点的运动轨迹，在运动过程中，“恰好”
4、与另外三点形成了平行四边形，除此之外二次函数毫无用处，它可以改成双曲线或直线等等，因此在处理问题时我们是可以抛开背景图的。寻找四点形成平行四边形时，由于背景图的干扰，学生难免遗漏个别“刁钻”的情形。基于以上的思考，笔者设计了如下问题：问题1任意画一个平行四边形，在顶点位置上标上AMNP四个字母表示平行四边形，有哪些表示方法？（本问意在简化图形，直接剖析四点形成平行四边形的情形）ANMPAMPNAMNP图3图4图5学生通过A点所对顶点字母的不同总结出如下三种情况（图3-5），问题2若A（-1，0），P（1,-2），M（m，0），你能用M表示出分别表示出三个图中点N的坐标吗？（本问将原题分解，让学
5、生完成实质性的工作）利用平行四边形对角线互相平分的性质及中点公式，学生不难表示出图（1）（2）（3）中的N点的坐标分别为（m+2，0）、（m-2，0）、（-m，-2）.问题3若N点刚好在抛物线上，你能求出M的值吗？学生只要分别把三个坐标代入函数解析式，就能解出M的值了。正如波利亚在怎样解题一书中所说：“如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。”三个问题一气呵成，将原题干扰性的因素剔除，只剩下学生熟悉的问题，从而让学生思维畅通，顺利解决问题。 为了检验这种分析方法的效果，笔者布置了一道类似的练习：练习已知点N是抛物线上的一点，点A（-1，0）、点P（1, 2）,若点M在y轴上，问
6、是否存在以AMNP为顶点的平行四边形？运用上述的分析方法，班上超过一半的学生顺利解决了这个问题。二、 “存在型探索性”问题的本质及思维模式设计“存在型探索性”问题是中考中的一个热点，常见于中考压轴题，题干直观、简单又富于变化，涉及到各种基础知识、技能及探究方法，通常以这样的面貌出现：“是否存在这样的点使得某某满足某种条件”，可见问题的本质是“点的运动”问题，当点按一定的轨迹运动时，“怡好”与已知事物产生关联，于是该情况就存在，否则就不存在。要解决好这类问题，需要学生有扎实的基础知识，更应该具有将新问题转化分解为简单的旧问题的思维。所以笔者制定如下的思维模式：将这些有限的情形画出来，这样就将问题
7、更直接形象的呈现在眼前；构建（利用）平面直角坐标系求出（表示出）此刻运动点的坐标；利用所需满足的关系构建方程进行求解（或是验证）。以上三个思维步骤简而言之就是“一画二表三代”，笔者将它简称为“画、表、代”三部曲。三、“画、表、代”思维模式的运用根据“动点”的个数，笔者将“是否存在”问题归结为以下几种类型，即“单动点”、“双动点”及“多动点”三种类型。1. “单动点”型例1（2013自贡）在东西方向的海岸线l上有一长为1KM的码头MN（如图6），在码头西端M的正西19.5KM一观察站A某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30，且与A相距40KM的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位
8、于A的北偏东60，且与A相距KM的C处（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；图6（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由【分析】题（2）的思考难度在于BC延长线与直线l的交点的抽象性，即学生知道有这么一个交点，却由于缺少参照物，学生不知道从何处着力。但如果换个角度，将轮船看作是一个动点，BC所在的直线就是它的运动轨迹，利用函数描述出运动轨迹直线BC,直线BC与直线l的交点即为轮船的停靠点，利用坐标就能确定是否在码头MN靠岸了。第（2）问解答如下：如图7，以A点为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，作于D，于E，延长BC交l于
9、F，图7在中，在中， 所以设直线BC的解析式为：，把B,C代入得，所以BC的解析式为：，令，所以19.5AF20.5，所以轮船不改变航向继续航行正好能与码头MN靠岸2. “双动点”型“双动点”指的是在问题中两个点同时按照一定的轨迹运动，难度相对于 “单动点”来说有所加大，“双动点”有时“各自为政”，只有简单的依附关系，比如教学引例中的“平行四边形是否存在”问题；由于两点确定一条直线，所以 “双动点”型问题有时呈现为直线的运动产生的是否存在问题，诸如下例：例2（2012梅州）如图8，矩形OABC中，A(6,0)、C(0,)、D(0, )，射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动
10、点，满足PQO=60。（1）点B的坐标是_；CAO=_度；当点Q与点A重合时，点P的坐标为_；（直接写出答案）图8（2）设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使AMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标为M，若不存在，请说明理由。【分析】第（2）问中虽然存在着两个动点P和M,但M点在AC上运动时形成等腰AMN的情形是固定的，即M点的位置是有限的，而M点固定则P点也随之固定。因此，只需求出M点的坐标即可得解。第（2）问解答流程如下：ANMANMANM“画”：由“两边相等的三角形是等腰三角形”这一判定，分三种情况AN=MN；AN=AM；AN=MN（图9-11）；图9图1
11、0图11“表”：由直线AC：设M点坐标（m,）；“代”：利用距离公式分别表示出MN2、AM2、AN2即可列方程求m的值，从而得出P点的值。此处省略详解过程。3. “多动点”型“多动点”型指的是三个或三个以上的动点，这类问题通常呈现为图形的运动，在运动过程中图形之间会出现各种各样的位置关系，比如相交、重合、相离等等，从而引出了 “是否存在”问题。例3（2010北京）在平面直角坐标系xoy中，抛物线与x轴的交点分别为原点O和点A，点B（2，N）在这条抛物线上（1）求点B的坐标；（2）点P在线段OA上，从O点出发向A点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得EDPE，以PD
12、为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当P点运动时，C点、D点也随之运动）当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；图12若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动）过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F，延长QF到点M，使得FMQF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当Q点运动时，M点、N点也随之运动）若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值.【分析】第（2）问由于P和Q的运动，从而两
13、个三角形相向而动，图形在不断的变化，加上作图内容较多，因此会对学生的视觉及思维产生很大的影响，难以全部画出如下三种位置关系图（图13-15），更难以对图形中的线段数量关系进行分析。图13图15图14图13PCDQNMPCDQNM（P）CDQNM“画”：简化背景，抓住两个等腰直角三角形的相对运动，两个三角形分别有一条边恰好落在同一直线上的情况有：直线DC与直线NQ重合；直线PC与直线MN重合；直线DP与直线MQ重合三种情形（图16-18）。图16图17图18 “表”、“代”：根据上图所画，由于两线倾斜程度相同，显然在情况中，只需满足点N落在直线DC上；情况中满足点N落在直线PC上；情况中满足P和
14、Q两点重合。利用上述的关系，只需要表示出相关点的坐标及直线的解析式，便能解决问题。第（2）解答如下：设P（t，0），Q(10-2t，0)，由题可得D(t，4t),C(3t，2t),N(10-3t,t),所以直线DC:,直线PC: 当DC与NQ重合时，将N点坐标代入得-（10-3t）+5t=t，解得t=;当PC与MN重合时，将N点坐标代入得10-3t-t=t，解得t=2;当MQ与DP重合时， 10-2t=t，解得t=综上所述：t的值分别为、2、。四、“画、表、代”思维模式解决“存在型探索性”问题的反思“点动成线、线动成面”，可谓点是线之魂，线是点之形，面是点之体。 “存在型”问题是点的运动问题，
15、 “画、表、代”思维模式为学生解决此类问题时提供了将新问题转化为旧问题的分解思路，让学生有章可循，减轻对此类问题的恐惧心理，降低思维的坡度，思维走势简洁明了，无需过多纠缠干扰视线的枝枝叶叶，只需着眼问题中的重点，着手抓住变化的本质，题目中的关系变得简单，学生不再“摸着石头过河”，而是根据本来就具备的知识去分析问题，解决问题。当然在此模式也有其一定的局限性，因为此模式的通常要用到中点坐标公式、距离公式、相似比等知识表示点的坐标或是相关的量，然后构建方程作解，虽理论都能解决，但解决过程或许比较繁琐，对于学生来说也有一些难度。波利亚指出:“中学数学教学的首要任务就在于加强解题能力的训练。”这从某种意义上讲要求教师在教学过程中教会学生如何解题，教会学生解决问题的思维方式。因此在平时的解题教学中，教师应有意识的引导、培养学生形成一些解决问题的思维模式，并能自觉的使用，但思维模式仅仅只是提供了一种相对稳定的样本，并非一成不变，亦非最佳思考途径，因此还需要让学生学会对模式的突破与重组，逐渐进入得心应手的境界，最终达到“无招胜有招”的境界。参考文献：1波利亚.怎样解题M. 上海科技教育出版社.2007-5.2朱广科.以二次函数为背景的存在性问题例析J.中国数学教育（初中版），2013，（10）：36.3吴增生.数学解题指导教学策略初探J.中国数学教育（初中版），2012，（6）：2.