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1、-圆锥曲线定比弦的存在定理-第 5 页圆锥曲线定比弦的存在定理摘要 本文研究了圆锥曲线中过定点并以此点为定比分点的弦的存在问题，给出了圆锥曲线中定比弦存在的较为一般的判定定理。关键词 圆锥曲线 定点 中点弦 定比弦首先给出如下定义：定义 设P点为定点，T为圆锥曲线，AB是它的弦，若AB所在直线过P点，且被P点所分成的有向线段代数长之比（定值），则AB便叫做T的定比弦。当时，定比弦即是中点弦。本文研究定比弦的存在定理，对此，我们有定理一 椭圆存在以P（）（x02+ y020）为分点，为定比的定比弦的充要条件是：（1）当0时，（）b2x02+a2y02a2b2；（2）当=0时，b2x02+a2y0
2、2=a2b2（）（3）当0时（-1），b2x02+a2y02（）证明：设A（x，y），则B（），则有b2x2+a2y2=a2b2b2（1+）x0-x2+a2（1+）y0-y2=a2b22（*）两式相减，得b2（1+）2x02-2b2（1+）x0+a2（1+）2y02-2a2（1+）y0y-a2b2（2-1）=0（*）当y00时，y=代入,并化简得到：（）假设弦AB存在，则,所以上述方程有实根，从而0，对其化简整理，得：0解此不等式，即得：（1）当0时，（）b2x02+a2y02a2b2；（2）当=0时，b2x02+a2y02=a2b2（3）当0时（-1），b2x02+a2y02（）当=0时，这
3、时P点为（x0，0）.由（*）得：x=又因，即即，由此得（1）当0时，（）x02a2（2）当=0时， x02=a2（3）当0时，x02（）这个结论就是（）式中取的情形，故不管是否零，（）式总成立。（）反过来，若（）式成立，由于以上的推导过程可逆，因而以P（x0，y0）为分点，而以为定比的定比弦必存在。由于当x0=0时，y0=0时P为椭圆的中心，此时相应弦只能是中点弦，不能随的改变而改变，且中点弦亦不唯一，故P点不能为椭圆的中心。综上所述，可知定理一定成立。定理二 抛物线y2=2px（p0）存在以（x0，y0）为分点，以为定比的定比弦的充要条件是：（1）0（-1）时，（）0；（2）=0时， （）
4、 证明：设A（x，y），则B（），得两式相减得到：当y00时，y=代入y2=2px，得（）设弦AB存在，则xR，方程有实根，0，对此化简即得：（1）0（-1），（y02-2px0）0；（2）=0时，y02=2px0.当y0=0时，这时P点为（x0，0）由（* *）得x0=x，又因y2=2py，所以y2=2px00，由此得，当0时，x00，当=0时，x0=0.这个结论就是（）式中取y0=0时的情形，故不管y0是否为零，（）式总成立。反过来，若（）式成立，由于以上推导过程可逆，因而以P（x0，y0）为分点，则以为定比的定比弦必存在.定理三 双曲线存在以P（）（x02+y020）为分点，以为定比的定
5、比弦的充要条件是：（1）当0时，b2x02-a2y02（）或b2x02-a2y02a2b2（2）当=0时，b2x02-a2y02=a2b2 （）（3）当0时，b2x02-a2y02（）或b2x02-a2y02a2b2.证明与前面类似.证明了定比弦的存在定理，中点弦的存在定理也就证明了，其相应定理只需将上述定理中改为1即可，于是我们有下述推论：推论一 椭圆b2x02+a2y02= a2b2存在以P（x0，y0）（x02+y020）为中点的中点弦的充要条件是：b2x02+a2y02a2b2.（）推论二 抛物线y2=2px存在以P（x0，y0）为中点的中点弦的充要条件是：y022px0（）推论三 双
6、曲线b2x2-a2y2=a2b2 存在以P（x0，y0）（x02+y020）为中点的中点弦的充要条件是b2x02-a2y02a2b2，或b2x02-a2y020 （）推论四 圆x2+y2=R2存在以P（x0，y0）（x02+y020）为中点的中点弦的充要条件是：x02+y02R2（）下面举例定比弦存在定更换一些应用举例：例1 若椭圆4x2+9y2=36存在以P（x0，y0）为分点，以-2为定比的定比弦，求P点的存在范围。解：由定理1知当0（-1）时，椭圆b2x2+a2y2=a2b2存在以P（x0，y0）为分点，为定比的定比弦的充要条件是b2x02+a2y02（），将a2=9，b2=4，=-2代
7、入得364x02+9y02324，故P点在存在范围是由椭圆4x2+9y2=36与4x2+9y2=324所夹的区域（含4x2+9y2=324）.例2 P（x0，y0）在何区域内，双曲线x2-4y2=4不存在以P（x0，y0）为分点，以-2为定比的定比弦？解：由定理三知，当0（-1）时，双曲线存在以P（）为分点，为定比的定比弦的充要条件是b2x02-a2y02（）或b2x02-a2y02a2b2，将a2=4,b2=1, =-2代入得x02-4y0236或x02-4y024，从P点所在区域就是x02-4y0236且x02-4y024，即双曲线x2-4y2=36与x2-4y2=4，所夹的区域（含双曲线
8、x2-4y2=4）例3 过点P（1，2）作椭圆x2+4y2=4的弦AB，若P点分AB所成的线段比为，求的最大、最小值。解：P（1，2）为椭圆x2+4y2=4外的一点，P为外分点，从而0，于是由定理一，知该椭圆存在以P（1，2）为分点，为定比的定比弦的充要条件是4（）217，解此不等式，得：-1，-1-的最大值为-，的最小值为-，例4 过点A（1，1）的直线与双曲线交于P1 、P2两点，求线段P1 P2的中点P的轨迹方程。解：设P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则有，两式相减，并化简得设P点坐标为x，则上式化为2x-yk=0，k=，即为P1P2的斜率，直线L的方程为。化简整理，即得。因为由推论3知，双曲线存在以P（x0，y0）（x02+y020）为中点的中点弦的充要条件是：b2x02+a2y020，或b2x02+a2y02a2 b2所以所求P点的轨迹方程是2x2-y2-2x+y=00，或2