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1、-初中数学论文：由一道中考填空题引发的解法探究-第 4 页初中数学论文由一道中考填空题引发的解法探究1 源试题背景及分析M图1图3图2（2013哈尔滨）如图1，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OEAC交AB于E，若BC=4，AOE的面积为5，则sinBOE的值为_在中考复习时，我将本题作为锐角三角函数专题练习呈现给学生，发现多数学生对本题束手无策，或者思考停留时间过长，后我向学生进行了解，发现学生面临这两个问题：不能充分挖掘本题条件以致无从入手，计算繁冗以致费时。在回答正确的学生中，继续了解发现，学生基本解法是过E点(或B点)作OB的垂线，构造直角三角形，利用相似（或锐角三角
2、函数）计算相应直角三角形的所需边长，再求sinBOE。通过对学生解题过程的详细了解，我觉得本题的解题价值还可以进一步挖掘，可以通过对图形的研究考察，联系条件和结论，挖掘隐性圆，找到更简洁的方法，实现优化解题过程。于是，练习讲评时，我对这道题进行了重点讲评，并筛选同类练习引导学生举一反三，通过寻找隐形圆，让解题思路豁然开朗，进一步让学生明白对充分研究题目条件的重要性。2 教学片段回放学生1：我的解题思路是这样的。解：如图2，连接EC由题意可得，OE为对角线AC的垂直平分线.CE=AE，又BC=4，AE=5，EC=5，在RtBCE中，由勾股定理得：AB=8，教师：(用敬佩的眼光看着学生)学生1的解
3、法很严谨，基本知识扎实，运用娴熟。教师：但是，经历如此繁冗的解题过程，等到的结果竟然是如此简洁。我们不禁要反思，结合结果我们能否有新的发现？学生2：我发现。学生3：根据学生2的发现，由锐角三角函数的定义，我们如果能证，问题就可以解决了。 教师：有什么办法可以证明学生3的猜想？ （学生立即议论起来，方法各有不同） 学生4：EBC+EOC=90+90=180，（不需要作垂线EM，如图3）B、C、O、E四点共圆，BOE=BCE 教师：（惊喜）学生4通过将B、C、O、E四点的圆化隐为显，使角与角是转化变得轻松，也大大简便了计算过程，。至此，可以看到，这道题的解题和教学功能得到了很好的释放。学生在经历繁
4、冗的计算过程后，隐形圆的发现让求解过程变得轻松而富有魅力，学生欣然接受甚至迷上隐形圆，也在不知不觉中开始注重条件信息的充分挖掘，探索解题技巧，为完善数学思维插上一对隐形的翅膀。教师：题目的难易程度，有时关键在于我们对条件的整合梳理。请同学们仔细阅读下题。抛物线与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C（1）如图4求点A的坐标及线段OC的长；（2）点P在抛物线上，直线PQBC交x轴于点Q，连接BQ若含45角的直角三角板如图2所示放置其中，一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上求直线BQ的函数解析式；若含30角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上，另
5、一个顶点E在PQ上，求点P的坐标（1）把x=0代入抛物线得：y=，点A（0，），抛物线的对称轴为x=1，OC=1；教师：问题（2）中，按照常规的做法，由CDE是等腰直角三角形，分别过点D作x轴和PQ的垂线，通过三角形全等得到DQO=45，求出点Q的坐标，然后用待定系数法求出BQ的解析式分点P在对称轴的左右两边讨论，根据相似三角形先求出点Q的坐标，然后代入抛物线求出点P的坐标 学生5：问题（2）中，根据已知条件，我发现C、D、E、Q四点共圆，所以，这样，在小题中我们可以得到等腰直角三角形BCQ,在小题中我们得到，通过分类讨论，易得Q点的坐标，从而求出P点的坐标。 教师：（微笑以示肯定）学生5是怎
6、么这么快就发现了隐形圆的？ 学生6：因为，根据直径所对的圆周角为，可以发现一个以CE为直径的隐形圆。图6图7 教师：根据同学的发现，我们现在来进行动手操作：有一张直角三角形ABC纸片，我们将翻折，使得点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（如图6）（点E、F分别在边AC、BC上），当点D是AB的中点时，CEF与ABC相似吗？请说明理由 学生7：当点D是AB的中点时，CEF与ABC相似。如图7，连接CD,发现C、E、D、F四点共圆,得到，由于CD是斜边上的中线，得到，所以，所以，又所以和相似，即CEF与ABC相似。 教师：对于上述图形中，同学们都能找到一个隐形圆，那么是不是只有上述情形中才能有
7、隐形圆呢？其实，并非仅仅如此。更多不同情形下的隐形圆，等待同学的用心发现。3 教学分析3.1 利用填空题进行解法技巧教学填空题的考查功能之一，是可以有效地考查学生的阅读能力、观察和分析能力，学生读懂了，理解透彻了，正确的结论也就出来了，在加快解题速度的训练上，有较明显的教学教育功能。所以，在学生熟练掌握概念、法则、公式、性质的前提下，综合分析，往往可以有意外的收获，得到简洁的解题方法。就像现在所见到的这道填空题，学生领悟了其解题技巧，就可以触类旁通、举一反三，在解答题中同样可以加以运用，且极大地减少了推理步骤和计算过程。因此，有必要鼓励、引导学生对综合性较强的填空题尝试用多种方法完成，从而加深
8、对题目的本质理解，找到最佳解题方案。3.2 让学生尝试困难后寻求提升在第一道填空题的讲评中，首先放手让学生去探究尝试，有学生受阻不会，也有学生成功解答，但大多数是类似于学生1的解法，计算繁冗，但至少已经点燃了学生的好奇欲或让成功作答的学生得到了思维锻炼和信心提升，为后续发现隐形圆提供了很好的铺垫，以致后来学生马上“爱上”了利用隐形圆转化问题。对于上述题目，解题方法其实都不仅仅是以上所提供的一种，但在教学实践中，我发现，在第一道填空题的解法引导下，多少学生会乐意用第一题的解题思路来解决后续题目，对原本认为难度极大的第二题也轻松理解，解题信心倍增。 如波利亚指出：“拿一个有意义且又不复杂的问题去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域”。看山是山，看水是水；看山不是山，看水不是水，在没有圆的图形中发现隐形圆，并添出辅助圆，是直线形和圆之间度量关系或位置关系相互转化的桥梁。隐形圆，如数学理性思维中的一对隐形的翅膀，为学生开辟解题捷径的同时，更让学生体会到数学的无穷魅力。