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1、-勾股定理经典题目及答案-第 7 页 勾股定理1勾股定理是把形的特征（三角形中有一个角是直角），转化为数量关系（a2b2=c2），不仅可以解决一些计算问题，而且通过数的计算或式的变形来证明一些几何问题，特别是证明线段间的一些复杂的等量关系. 在几何问题中为了使用勾股定理，常作高（或垂线段）等辅助线构造直角三角形.2勾股定理的逆定理是把数的特征（a2b2=c2）转化为形的特征（三角形中的一个角是直角），可以有机地与式的恒等变形，求图形的面积，图形的旋转等知识结合起来，构成综合题，关键是挖掘“直角”这个隐含条件.ABC中CRta2b2=c23为了计算方便，要熟记几组勾股数：3、4、5； 6、8、1
2、0； 5、12、13； 8、15、17；9、40、41. 4勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一. 一般地说，在平面几何中，经常利用直线间的位置关系，角的相互关系而判定直角，从而判定直角三角形，而勾股定理则是通过边的计算的判定直角三角形和判定直角的. 利用它可以判定一个三角形是否是直角三角形，一般步骤是：（1）确定最大边；（2）算出最大边的平方，另外两边的平方和；（3）比较最大边的平方与另外两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形； 5勾股数的推算公式 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家17891853）任取两个正整数m和n(mn),那么m2-n2，2mn,m2+n2是一组勾股
3、数。 如果k是大于1的奇数，那么k, ,是一组勾股数。 如果k是大于2的偶数，那么k, ,是一组勾股数。 如果a,b,c是勾股数，那么na,nb,nc(n是正整数)也是勾股数。典型例题分析例1 在直线l上依次摆放着七个正方形(如图1所示)，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4=_ 依据这个图形的基本结构，可设S1、S2、S3、S4的边长为a、b、c、d 则有a2+b2=1，c2+d2=3，S1=b2，S2=a2，S3=c2，S4=d2S1+S2+S3+S4=b2+a2+c2+d2=1+3=4例2 已知线段a
4、，求作线段a 分析一：a a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边。分析二：aa是以3a为斜边，以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边。作图（略）例3 如图：(1)以RtABC的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边的面积，S1、S2、S3之间有何关系，说明理由。(2)如图(2)，以RtABC的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积S1，S2，S3之间有何关系？ (3)如果将图(2)中斜边上的半圆沿斜边翻折180，成为图(3)，请验证：“两个阴影部分的面积之和正好等于直角三角形的面积”(此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙) 分析：(1)中S1，S2，S3的表示均与直角三角形的
5、边长有关。 所以根据勾股定理可得出S1，S2，S3的关系，S1+S2=S3(2)类似于(1)：S1+S2=S3(3)图中阴影部分的面积是S1+S2+SABC-S3S阴影=SABC例4. 如图3，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若所有的正方形的面积之和为507cm2，试求最大的正方形的边长。分析：此题显然与勾股定理的几何意义有关，即S1+S2=S3，S5+S6=S4，S3+S4=S阴所以S1+S2+S5+S6=S3+S4=S阴从而有3S阴=507，即S阴=169(cm2)最大的正方形的边长为13cm例5 图(7)中，若大正方形EFGH的边长为1，将这个正方形的四个角剪掉，
6、得到四边形ABCD，试问怎么剪才能使剩下的图形ABCD仍为正方形，且剩下图形的面积为原正方形面积的5/9 (3)设剪去的四个直角三角形的直角边长为a，b且ab，则 将正方形EFGH的边长三等分，使 顺次连结A、B、C、D，所得正方形ABCD的面积即为原正方形面积的 ，只要剪去ABE，BCF，CDG，DAH即可。二、要学会用方程观点解题例6. 已知：如图7，ABC中，AB=3，BC=4，B=90，若将ABC折叠，使C点与A点重合，求折痕EF的长。分析：当解这样的问题时，由轴对称的概念，自然想到连AF。由已知，可得 ，因此欲求EF，只要求AF的长。设AF=x，则FC=x，BF=4-x只要利用RtA
7、BF中，AF2-BF2=AB2这个相等关系布列方程x2-(4-x)2=9，问题就可以解决例7. 在RtABC中，C=90，若a，b，c为连续整数(ab0，只有x=4a+b+c=(x-1)+x+(x+1)=3x=12例8. 已知：如图8，ABC中，AB=13，BC=21，AC=20，求ABC的面积。分析：为了求ABC的面积，只要求出BC边上的高AD若设BD=x，则DC=21-x，只要利用AB2-BD2=AD2=AC2-DC2这个相等关系，列方程132-x2=202-(21-x)2，求出x的值问题就能解决例9 细心观察图，认真分析各式，然后解答问题： (1)用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化
8、规律；(2)推算出OA10的长；(3)求出 的值。答案 (1)例10.如图已知ABC中，ADBC，ABCDACBD,求证：ABAC证明：设AB，AC，BD，CD分别为b,c,m,n则c+n=b+m, c-b=m-nADBC，根据勾股定理，得AD2c2-m2=b2-n2c2-b2=m2-n2, (c+b)(c-b)=(m+n)(m-n)(c+b)(c-b) =(m+n)(c-b) (c+b)(c-b) (m+n)(c-b)0(c-b)(c+b)(m+n)0c+bm+n, c-b=0 即c=bABAC例11 .已知：正方形ABCD的边长为1，正方形EFGH内接于ABCD，AEa，AFb,且SEFG
9、H求：的值解：根据勾股定理a2+b2=EF2SEFGH ;4SAEFSABCDSEFGH2ab=得（a-b）2=例12 .已知ABC中，ARt，M是BC的中点，E，F分别在AB，AC，MEMF求证：EF2BE2CF2答案 .延长EM到N，使MNEM，连结CN，显然MNCMEB，NCBE，NFEF例13 .RtABC中，ABC90，C60，BC2，D是AC的中点，从D作DEAC与CB的延长线交于点E，以AB、BE为邻边作矩形ABEF，连结DF，则DF的长是。答案与提示：.可证DFDE2（选讲）例14 如图，圆柱的高为10 cm，底面半径为2 cm.，在下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与
10、A点相对的B点处，需要爬行的最短路程是多少?答案练习1 在边长为整数的ABC中，ABAC，如果AC = 4，BC = 3，求AB的长. 分析：此题没有指明是直角三角形，因此只能用三角形三边的关系定理求解，从AC AB AC+ BC知：4 AB7，得AB为5或6.2 如图，在等腰ABC中，ACB=90，D、E为斜边AB上的点，且DCE=45。求证：DE2=AD2+BE2。分析：利用全等三角形的旋转变换，进行边角的全等变换，将边转移到一个三角形中，并构造直角三角形。3 如图，在A BC中，AB=13,BC=14,A C=15，则BC边上的高A D= 。答案12。4 如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=4，将长方形沿AC折叠，点D落在点E处，则重叠部分AFC的面积是 。设EF=x，那么AF=CF=8-x，AE2+EF2=AF2,所以42+x2=(8-x)2,解得x=3，S=4*8/2-3*4/2=10答案：105 如图，长方体的高为3 cm，底面是边长为2 cm的正方形. 现有一小虫从顶点A出发，沿长方体侧面到达顶点C处，小虫走的路程最短为多少厘米? 答案AB=56 在ABC中，AB=15 ,AC=20,BC边上的高A D=12，试求BC边的长.答案25或7 7 在A BC中，D是BC所在直线上一点，若AB=l0,BD=6,AD=8,AC=17，求ABC的面积。答案84或36