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1、数学归纳法,:由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法,结论一定可靠,结论不一定可靠,考察全体对象,得到一般结论的推理方法,考察部分对象,得到一般结论的推理方法,归纳法分为完全归纳法 和 不完全归纳法,归纳法,思考:归纳法有什么优点和缺点?,优点:可以帮助我们从一些具体事 例中发现一般规律,缺点:仅根据有限的特殊事例归纳 得到的结论有时是不正确的,解:,猜想数列的通项公式为,验证:同理得,啊,有完没完啊?,正整数无数个!,(1)求出数列前4项,你能得到什么猜想?,(2)你的猜想一定是正确的吗?,情境二,二、引导探究,寻求解决方法,1、第一块骨牌倒下,2、任意相邻的两块骨牌,前一块倒下一定导
2、致后一块倒下,条件(2)事实上给出了一个递推关系,换言之就是假设第K块倒下,则相邻的第K+1块也倒下,请同学们思考所有的骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件,(二)师生互助,多米诺骨牌游戏原理,(1)当n=1时,猜想成立,根据(1)和(2),可知对任意的正整数n,猜想都成立。,通项公式为 的证明方法,三、类比问题,师生合作探究,(一)类比归纳,当一个命题满足上述(1)、(2) 两个条件时,我们能把证明无限问题 用有限证明解决吗?,(二)理解升华,一般的,证明一个与正整数有关的命题,可按下列步骤进行:,(1) 【归纳奠基】证明当n取第一个值n0(n0 N* ) 时命题成立; (2) 【归纳递推】假设
3、当n=k(kN* ,k n0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立. 从而就可以断定命题对于n0开始的所有正整数n都成立。 这种证明方法叫做 数学归纳法。,(四)提炼概念,四、例题研讨,学生实践应用,(一)典例析剖,(二)变式精炼,用数学归纳法证明,135(2n1) ,用数学归纳法证明,n2,即当n=k+1时等式也成立。,根据(1)和(2)可知,等式对任何都成立。,证明:,135(2k1)+2(k+1)1,那么当n=k+1时,(2)假设当nk时,等式成立,即,(1)当n=1时,左边1,右边1,等式成立。,(假设),(利用假设),注意:递推基础不可少, 归纳假设要用到, 结论写明莫忘掉。,(
4、凑结论),(三)能力提升,用数学归纳法证明,证明:,(1)当n=1时,,左边=12=1,等式成立,(2)假设当n=k时等式成立,即,那么,当n=k+1时,即当n=k+1等式也成立,根据(1)和(2),可知等式对任何 都成立.,凑出目标,用到归纳假设,数学归纳法步骤,用框图表示为:,归纳奠基,归纳递推,注:两个步骤,一个结论,缺一不可,思考1:试问等式2+4+6+2nn2+n+1成立吗?某同学用数学归纳法给出了如下的证明,请问该同学得到的结论正确吗?,解:设nk时成立,即,这就是说,nk+1时也成立,2+4+6+2kk2+k+1,则当n=k+1时 2+4+6+2k+2(k+1) k2+k+1+2
5、k+2(k+1)2+(k+1)+1,所以等式对任何nN*都成立,事实上,当n1时,左边2,右边3 左边右边,等式不成立,该同学在没有证明当n=1时,等式是否成立的前提下,就断言等式对任何nN*都成立,为时尚早,证明:当n=1时,左边,右边,假设n=k时,等式成立,,那么n=k+1时,等式成立,这就是说,当n=k+1时,等式也成立,根据(1)和(2),可知等式对任何nN都成立,即,第二步的证明没有在假设条件下进行,因此不符合数学归纳法的证明要求,因此,用数学归纳法证明命题的两个步骤,缺一不可。第一步是递推的基础,第二步是递推的依据。缺了第一步递推失去基础;缺了第二步,递推失去依据,因此无法递推下
6、去。,1.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为 n(n3) 条时,第一步检验n等于 () A.1B.2 C.3 D.0,解析:因为n3,所以,第一步应检验n3.,答案:C,2.用数学归纳法证明1aa2an1 (a1), 在验证n1时,等式左端计算所得的项是 () A.1 B.1a C.1aa2 D.1aa2a3,解析:因为当n1时,an1a2,所以验证n1时, 等式左端计算所得的项是1aa2.,答案:C,3.利用数学归纳法证明“(n1)(n2)(nn) 2n13(2n1),nN*”时,从“nk”变到“nk 1”时,左边应增乘的因式是 () A.2k1 B.2(2k1) C. D.,解析:当n
7、k(kN*)时,左式为(k1)(k2)(kk); 当nk1时,左式为(k11)(k12)(k1k1)(k1k)(k1k1), 则左边应增乘的式子是 2(2k1).,答案:B,4.用数学归纳法证明: , 第一步应验证左式是, 右式是.,解析:令n1则左式为1 ,右式为 .,答案:,5.记凸k边形的内角和为f(k),则凸k1边形的内角和 f(k1)f(k).,解析:由凸k边形变为凸k1边形时,增加了一个三角形,故f(k1)f(k).,答案:,六、巩固作业,分层布置,课本P96习题2.3 A组 1、2(必做) (选做题) 用数学归纳法证明,时,由n=k(k1)时不等式成立,推证n=k+1,左边应增加的项数是( )项 A. 2k-1 B.2k+1 C.2k-1 D.2k,